(完整版)空间向量的夹角、距离计算同步练习题(教师版)

1、空间向量的夹角、距离计算同步练习题、选择题1. 已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(l,-4,1)，则直线AC与AB的夹角为(C)A.300B.450C.600D.9002. 已知向量a=(0,2,1),b=(1,1,2),贝Va与b的夹角为()A.0°B.45°C.90°D.180°解析：选C.已知a=(0,2,1),b=(1,1,2)，则cosa,b=0,从而得出a与b的夹角为90°.3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是a=(0,2,1),b=(说，唐，岛)，那么这条直线与平面的夹角为(D)A.900B

2、.600C.450D.3004. 边长为a的正六边形ABCDEF所在平面为a,PA丄a且PA=a,则PC与a所成的角为(A)A.30°B.60°C.45°D.90°5. 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D中，M是AA：的中点，则点兔到平面MBD的距离是(A.66aD.3解析：以D为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为a,则A1(a,0,a),A(a,0,0),0,B(a,a,0),D(0,0,0),设n=(x,y,z)为平面BMD的法向量，则nBM=0,且nDM=0,而BM=I0,a,<x+jz=0,<所以1y=2z，1lx=2z，令

3、z=2,贝iJn=(1,1,2),叽=(a,0,&),则兔到平面BDM的距离是4=气严=¥乩答案：A6. 已知向量n=(1,0,-1)与平面a垂直，且a经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到0的距离为(B)A.1B.亍C.D.27. 正方体ABCDA1B1C1D;的棱长为1,0是Ag】的中点，则0到平面ABCR的距离为(A)AB.丁C.TD.f8. 若直线l的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面a所成的角等于()A.120°B.60°C.30°D.60°或30°解析：选C.由题意得直线l

4、与平面a的法向量所在直线的夹角为60°,：直线l与平面a所成的角为90°60°=30°.9. 设ABCD,ABEF都是边长为1的正方形，FA丄面ABCD,贝异面直线AC与BF所成的角等于()A.45°B.30°C.90°D.60°解析：选D.以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(1,0,o),C(0,1,0),F(1,0,1),AC=(1,1,0),BF=(1,0,1).cosAC,Bf)=|.a<aE,BF=120°.AC与BF所成

5、的角为60°.10.在长方体ABCD-ABCD中，AB=2,BC=2,3伍70DD=3,iA.0C.则AC与BD所成角的余弦值为()遵1解析:alAi7选A.建立如图坐标系，则片(0,0,BD1=(2,2,3),3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),AC=(2,2,0).Acos眄,1111B号15D.5=0.A(BD,AC)=90°，其余弦值为0.|Bd1|ac|111.在正方体ABCDABCD,中，E是CC的中点，则直线BE与平面BBD所成的角的正弦值为()A血A5解析：选B.设平面BD的法向量为n=(x,y,z).Vn±BD,n丄Bl,

6、12x2y=0,2z=0.x=y,z=0.令y=l,则n=(l,l,0).cosfJn,f=口倔=学，设直线BE与平面BBD所成角为e,则sin6=|n|BE|51n,BE|=¥°12.在正方体ABCDABCD中，M、a.9b.9/5cosN分别为棱AA和叫的中点，则sinCM,DN的值为()2D3C.解析：设正方体棱长为2,以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知CM建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),B/2,2,2),E(0,2,l).前=(2,2,0),BB1=(0,0,2),葩=(2,

7、0,1).cos而，呼=-1，sinCM,钉=堺DC门.¥F1;'、11S/D厂rAi(2,2,1),DN=(2,2,l),答案：B二、填空题I3.已知a，b是直线，a,0是平面，a±a，b丄0,向量&在4上，向量b】在b上，3=(1,°,1),b=(l,2,1),则a,B所成二面角的大小为90°.14. 正三角形PAB与正方形ABCD所在平面互相垂直，正方形的边长为a,则点D到直线PB的距离是_a_.15. 平面a的法向量为(1,0,1),平面B的法向量为(0,1,1)，则平面a与平面B所成二面角的大小为解析：设u=(1,0,1),v=

8、(0,1,1)，则cosn2n答案：§或飞-。=±|cosu,v1|=±2T2|=±2-或罕16. 已知在棱长为a的正方体ABCDA，B，CD'中，E是BC的中点.则直线A，C与DE所成角的余弦值为解析:如图所示建立空间直角坐标系，则A，(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a,|,oj,A厂C=(a,a,a),DE/.cos<AC,DE=A，CDE|ArC|，|15答案:,''1515三、解答题17. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AR、A£的中点.求：异面直线AE与CF所成角

9、的余弦值.解：11111111设正方体棱长为2,分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,则A(2,0,0)、C(0,2,0).E(1,0,2)、F(1,1,2),则,=(1,0,2),CF=(1,1,2),/.|AE|=；5,|CF|=：j6.AECF=1+0+4=3.又.AECF=|AE|CF|cos(AE,CF=；30cos(AE,CF,所求角的余弦值为理0/cos18已知正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为a,E、F、G分别是CC、AD、AB的中点，求点A到平面EFG的距离.解析：如图建立空间直角坐标系,Ac则A(a,0,0),El0,a，2J，

10、f12,0,a>心，2,0>IaEF七a,EG=a,GA=|0,2，0)设n=(x,y,nz)是平面EFG的法向量，贝、n EF=0 EG=0，x2y+z=02xyz=0xaf/、i|GAn|2边y=z,可取n=(1,1,1),d=|n|=伍=6即点A到平面EFG的距离为a.19. 正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为一中点.(1)求证：AB1丄平面A1BD；(2)求二面角AApB的余弦值.解析：(1)取BC中点0,BC中点0,以0为原点，OB、OO、OA的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直1111角坐标系.则B(1,0,0),D(1,1,0),A/0,2,V3)

11、,A(0,0,£),B1(1,2,0),AB=(1,2,3),BD=(2,1,0),BA=(1,2,3).ABBD=2+2+0=0,1ABBA=1+43=0,AB丄BD,AB丄BA.AB丄平面ABD；1111111设平面AAD的法向量为n=(x,y,z),AD=(1,1,/3),眄=(0,2,0).n±AD,n丄眄，.JnAD=0,.vx+y£z=0,.Jy=0，mAA=0.2y=°.x=_迈乙1令z=1,得n=(Q3,0,1)为平面A1AD的一个法向量由(1)知AB】丄平面AD,nAB边边|n|AB22也码为平面A1BD的法向量.cosn,AB1二面角

12、AA1DB的余弦值为斗6.20. 如图,PABCD是正四棱锥，ABCDABCD是正方体，其中AB=2,PA=；6.(1)求证：PA丄B1D1；(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值.解：以D1为原点，D1A1所在直线为x轴，D1C所在直线为y轴，D所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,0),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),P(1,1,4).(1)证明：AP=(1,1,2),DB=(2,2,0),.APDB=2+2+0=0,PA丄BD.11ii平面BDDiBi的法向量

13、为AC=(2,2,0)DA=(2,0,0),OP=(1,1,2).设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),则n丄DA,n±DP2x=0,x+y+2z=0,'x=0,y=2z,取n=(0,2,1),设所求锐二面角为9,nAC贝Hcos9AC|04+0|你=22X5=521. 如图，四边形ABCD为正方形，PD丄平面ABCD,PDQA,QA=AB=-PD.2(I)证明：平面PQC丄平面DCQ；(II)求二面角QBPC的余弦值.解析：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(I)依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(

14、0，2，0).则DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ二(1,1,0).所以PQ-DQ二0,PQ-DC二0.即PQ丄DQ,PQ丄DC.故PQ丄平面DCQ.又PQu平面PQC，所以平面PQC丄平面DCQ.(II)依题意有B(1，0，1)，CB二(1,0,0),BP二(1,2,1).设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量，则|n-CB=0,日口即n-BP=0,x=0,一x+2y一z=0.9mBP0m(1,1,1)所7以cos<m,n>=因此可取n=(0,1,2).设m是平面PBQ的法向量，则彳一，可取5、m-PQ0.一逅故二面角QBPC的余弦值为5.22. 如图，四棱锥PA

15、BCD中，底面ABCD为矩形，PA丄底面ABCD,PA=AB=/6,E是棱PB的中点.(1)求直线AD与平面PBC的距离;若AD=；3，求二面角AECD的平面角的余弦值.D,0,解析：设D(0,a,0)，则B(/6,0,0),C(/6,a,0),P(0,0,寸6),所以AE=,BC=(0,a,0),PC=(p6,0,寸6)，则AEBC=O,AEPC=O.所以AE丄平面PBC.又由AE丄AD,故直线AD与平面PBC的距离为|AE|=：3.因为IAD|=/3，则D(0,3,0),C(寸6,寸3,0).设平面AEC的法向量气=(x.,y.,z.),/厂厂、A/6xi+p5yi=0,则气AC=0,nA

16、E=0.又AC=(爲，诵，0),AE=,0,xi+亍1=0,所以y=迪X,zi=1x.可取Z=(2，贝则n=(边,2,边)设平面DEC的法向量n2=（X2,y,z),则nDC=0,nDE=0.2222所以X2=0,Z2=冷2y2又dC=/6,o,o),DE=P|X2=0，L'故區6八I弋-X#3y+*Z=0.I22222可取y2=1，则n2=（o,i,边）.故cos气，气23.如图，在四面体ABOC中，0C丄0A,0C丄OB,|n|山厂12ZAOB=120°,乎所以二面角AECD的平面角的余弦值为乎.且OA=OB=OC=1.设P为AC的中点，Q在AB上，且AB=3AQ,面角O

17、ACB的平面角的余弦值.解析：取O为坐标原点，以OA、OC所在的直线为X轴，Z轴，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.则goaCZD'BHAQ=|aB=I1i2'半,0丿又¥0)OQ=oA+AQ=i,6lA26丿pQ=o5op=(0,6IPQOA=o,¥2)(1,0,0)=0.PQ丄OA.2丿设平面ABC的法向量n=(气，气，气)，则由n丄CA,n丄AB且CA=(1,0,1),得nn=0,1333c2ni+Tn2=0.取气=1,则n=(1,Q3,1).又平面OAC的法向量为e=(0,1,0),Acosn,e=1,0,1,051于故二面角OACB的平面角的余弦值为徑24.在三棱锥SABC中，AABC是边长为