(完整版)量子力学总结

1、量子力学总结第一部分量子力学基础（概念）量子概念所谓“量子"英文的解释为：afixedamount（份份、不连续），即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征简单的说就是不连续性。描述对象：微观粒子微观特征量以原子中电子的特征量为例估算如下：1137“精细结构常数”（电磁作用常数），e2=7297x10-3旋2原子的电子能级厂（e2丫me4e2“Emc2=27eV（屁方2a0即：数10eV数量级3原子尺寸：玻尔半径：力2a=0me20.53a般原子的半径1A速率:e2cVc-22x106m/sc137时间：原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期t。

2、単15x10-16秒角频率®4.2x1016秒C,0即每秒绕轨道转1016圈（电影胶片21张/S,日光灯频率50次/S）6角动量：Jamv工me2e2方1、光电效应2、康普顿效应3、原子结构的波尔理论波尔2个假设：定态轨道定态跃迁4、物质波及德布洛意假设（德布洛意关系）任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”,认为物体若以大小为P的动量运动时，则伴随有波长为九的波动。九：p,h为普朗克常数同时满足关系E=hv=°因为任何物质的运动都伴随这种波动，所以称这种波动为物质波(或德布罗意波)。Eh称u万几p德布罗意波关系例题：设一个粒子的质量与人的质量相当，约

3、为50kg，并以12秒的百米速度作直线运动，求粒子相应的德布罗意波长。说明其物理意义。答：动量p=波长九=h/p=h/(gv)=6.63x10-34/(50x12)=11x10-36m晶体的晶格常数约为lOTm，所以，题中的粒子对应的德布罗意波长<<晶体的晶格常数，因此，无法观测到衍射现象。5、波粒二象性(1) 电子衍射实验1926年戴维逊(CJDavisson)和革末(LHGevmer)第一观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象，证实了电子的波动性，求出电子的波长九=0.167nm趣电流计电子菓54V人射电丁虫Hu-甲汤姆逊(GPThomson)用高速电子穿过金属衍进行实验，也获得了

4、电子衍射的图样。如错误!未找到引用源。是电子在Au多晶的衍射图样。23(2) 电子干涉实验2、鮎个电子产比的*渺阳r产比冏一砂剛何伽q牛电r产生的1%图(儿百丿个电r产外的：轸開干涉实验说明：.大量电子的一次性行为与单个电子的多次性行为表现出同样的波动性。.干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，它并不是由微观粒子相互之间作用产生的，而是微观粒子其个性的集体表现。结论：.干涉、衍射现象是波动本质的体现，波动是无条件的，干涉、衍射现象的观测是有条件的。.干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，它并不是由微观粒子相互之间作用产生的，而是微观粒子其个性的集体表现。.粒子的波粒二象性，从量子观点看，所

5、谓粒子性是它具有质量、能量、动量等粒子属性。所谓波动性是指其具有频率、波长，至二定条件下，可观察出干涉和衍射,波和粒子性是物质同时具有的两个属性（但是不能同时观测），如同硬币的两面。备注：宏观粒子（如子弹）仍然具有波动的属性（“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，认为物体若以大小为P的动量运动时，则伴随有波长为九的波动）但是，观察不到干涉现象。（1）波函数：表示一个体系的粒子状态，即用粒子坐标和时间为变量的波函数作为体系粒子状态全面的数学描述。几率密度|屮|2：解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率或在一定空间间隔内的几率密度）（3）几率|屮bdt：空间

6、di体积内的几率备注：波函数的统计诠释：|e|2解释为“光子密度的几率量度”首先考察光的双缝干涉图样。由波动图像，屏幕上某点的强度I由下式给出I=£cIE|2（2-13）0式中：E为该点的电场强度；8为真空介电常数；c为光速。另0一方面，由光子图像，屏幕上一点的强度为I=hvN式中：hv是一个光子的能量;N为打在屏幕上该点的光子通量（单位时间通过单位面积的光子数），虽然单个光子到达屏幕什么地方无法预测，但亮带光子到达的几率大，暗带光子到达的几率小，在屏幕上一点的光子通量N便是该点附近发现光子几率的一个量度。因为I=8cIE|2=hvN，所以N*1E|20上式说明，在某处发现一个光子的

7、几率与光波的电场强度的平方成正比。这就是爱因斯坦早在1907年对光辐射的量子统计解释。刚2解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率由于电子也产生类似的干涉条纹，几率大的地方，出现的电子多，形成明条波；在几率小的地方，出现的电子少，形成暗条纹。与爱因斯坦把|E|2解释为“光子密度的几率量度”相似，玻恩把I屮|2解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率。玻恩指出“对应空间的一个状态，就有一个由伴随这状态的德布罗意波确定的几率”。玻恩由此获得了1954年诺贝尔物理奖。4）微观物体任意运动状态（任意态）的描述（非定态波函数）及普遍物理诠释按照态迭加原理，非征态屮可以表示成本征态的迭

8、加：屮=YC屮nn'1Cn12代表总的几率，可见1Cn12就是屮态中本征态屮n的相对强度（成分），也就是屮态部分地处于屮n的相对几率。1Cn12=在态屮中力学量F的取值九n的几率，这就是对波函数屮的普遍物理诠释。备注：可以认为屮是部分地处于*，部分地处于屮2,因此F的取值可以是入.，也可以是九2总之，只要v=VCv中存在屮项，相对应的nnn12本征值入就是F的一个取值。n由（4-22）式C的公式知C=JvVdTnn对（4-21）取共轭后：v*=VC*v*nn4-23）（4-21）与（4-23）相乘，再积分|C|2nmnmnnnnmnnJv*vdT=JdTVC*v*VCv=VVC*C8=

9、VC*C=Vnnmmnm如果屮是归一化的,VIC|2=1n如果屮没有归一化,nmnm即JvVdT=1，则4-24)（本征态的正交归一性JvvdT=8）4-25)VIC|21二=1Jv叩dTnC|2nn就是V态中本征态V的相对强度（成分），也就是v态部分地处于vnn由（4-24）式和（4-25）式得出V|C|2代表总的几率，可见|的相对几率。IC|2=在态屮中力学量F的取值入n的几率，这就是对波函数v的n普遍物理诠释。7、波函数的性质波函数及其一次微商在全部分布空间中都必须有限，单值、连续的，平方可积。 “有限”的要求是从波函数的几率诠释产生出来的，因为，屮*屮代表几率，而几率总是有限的。 “单

10、值”是从波函数作为状态的全面数学描述提出的要求，如果波函数“连续”的要求是多值函数，状态性质就无法确定了。 “连续”可以从定态一维薛定谔方式：-方屮+V(x)屮=E屮中直接得出，则上式变为：2mdx2d即=2"V(x)-EN，-E)Vdxdx2九2dx力2不管被积函数(V-E)屮是否连续，(有时V(x)不连续，在个别点有跃变)，只要它是有限的，则其积分总是连续的，因此纭是连续的。 “平方可积”：为了计算方便，常引入一些不是平方可积的波函数(相当于粒子运动范围实际上没有限制，粒子可以达无限远处)，这时只要作合理数门屮|2dT=有限值学处理，仍可用，归一化几率。8、波函数的叠加原理从经典

11、物理中波的概念知，波具有干涉、衍射现象，满足叠加原理，微观粒子具有波粒二象性，即具有波动的特性，因此，微观粒子的波函数也同样具有叠加性，称之为态叠加原理。叠迭加性表现在：任何一个态(波函数屮)总可以看成是由其他某些态(巴，屮2)线性叠加而成:w=C屮+C屮+1122C，C为复数12如果波函数”，屮2，是可以实现的态时，则它们的线性叠加式屮='Cn屮n总是一个可以实现的态。n当粒子处于叠加态屮时，可以认为它是部分地处于巴态，部分地处于屮2态，部分地处于态.9、几率密度与几率流密度几率密度w：w(r,t)=f(r,t)2(2T7)几率流密度j=-二(屮*V屮-屮V屮*)2mw+Vj=0t(

12、2-22)几率连续性方程，其积分形式为fwdt=-j!jdSdtVsS(2-23)j的物理意义：(几率流密度)(2-23)式中：左边代表在封闭区域V中找到粒子的总几率(或S粒子数)在单位时间内的增量，右边(注意符号!)内通过则应代表单位时间VS的封闭表面S而流入V的内的几率(粒子数)，所以jS具有几率流(粒子流)密度的意义，是一个矢量。这个表达式的物理意义是十分清楚的，即单位时间内空间某一区域V中增加的几率等于该区域边界S流入的几率。9、定态(几率)、束缚态(波函数为零)、本征态10、本征方程、本征函数、本征值11、算符的对易性12、常用力学量算符(能量E=说A、哈密顿算符dtH-h2V2+V

13、(r)、动量PT-滴V、动能TT尿V2、势能V(r)TV(r)、2m2m坐标rTr、角动量、角动量z轴分量),，13、力学量算符的性质(线性、厄米)14、线性算符的性质15、厄米算符的性质(1) 、厄米量算符的本征值为实数(2) 、厄米量算符不同本征值对应的本征函数正交，归一。(3) 、厄米算符在一定条件下，厄米算符的本征函数组成完备系。13、14、15结论：(1) 、力学量算符的本征值为实数(2) 、力学量算符不同本征值对应的本征函数正交，归一。(3) 、在一定条件下，力学量算符的本征函数组成完备系。16、隧道效益、塞曼效益、史塔克效益17、微扰的含义18、全同粒子、费米子、波色子、洪特法则

14、、泡利不相容原理19、海森堡测不准关系(两个物理量同时测量测不准)20、两个物理量同时测准的条件第二部基本公式1、薛定谔方程量子波动方程，称薛定谔方程。三维情况：V2-工+二+二称拉普拉斯算符ex2dy2dz2八h2定义：日=丽V2+V(r)称为哈密顿算符dwh2三维薛定谔方程:讪贡-丽V2+V(r，t)wihdw=HHwdt2、定态薛定谔方程在势能项V中不含时间t时，哈密顿算符H也不显含时间。将屮(r,t)中与时间有关的因子分离出来，令屮(r,t)二屮(r)f(t)分离变量后得：f(t)=ce-iEt?c为常数。因此，薛定谔方程的解可以表示为屮（r,t）=屮（r）eiEt片波函数的空间部分屮

15、（r）满足方程：2-15)H屮(r)=V2+V(r加=EIm粒子处于该状态时能量为EE与r、t无关是个常量，取确定值，所以由式（2-14）表示的状态叫（能量）定态，这种形式的波函数叫定态波函数。方程（2-15又叫定态薛定谔方程。定态波函数屮（r，t）=屮（r）e-前特点（判断依据）：几率密度W二屮叩勻屮12T屮（r）|2与时间无关（驻波）。而含时间的薛定谔方程（2-12）的一般解，可以表示为这些定态波函数的线性叠加：2-16a)屮（r,t）=工c屮（r）e-叫庄nnn式中cn为常数。3、一维无限深势阱势的解（能量本征方程、能量定态）4、谐振子的能量本征方程及其解（能量定态）5、动量本征方程及其

16、解（动量定态）6、角动量本征方程及其解(角动量定态)7、中心力场问题的解(三维)8、算符的对易性一般来说，若算符A和B满足AB=BA，则称为“可对易”类似乘法的互易性；如果AB丰BA，则称为A和B“不可对易”定义A-B三AB-BA对易关系式当A-B0时，称对易式当A-B丰0时，称不对易式9、动量与坐标、能量与时间的测不准关系10、任意态的波函数、其所含本征态系数及几率表达公式设力学量F的正交归一本征函数系为屮n,由于其完备性，任意一个波函数屮(r)都可以展开为屮(r)工c屮(r)(4-21)nnn展开式系数cn与位置矢r无关，以屮*乘(4-21)式两端，并对全空间积分两端，并对nm全空间积分，

17、考虑到正交归一条件即得mncm4-22)4-23)Jv*(r)屮(r)dT*(r)cv(r)du工cJv*(r)v(r)du工c6mmnnnmnnn将cTcmncJv*(r)v(r)dTnn可得展开式系数C的公式对(4-21)取共轭后：V*=C*V*nn(4-21)与(4-23)相乘，再积分|2JvVdT=Jdp工C*V*工CVC*C6-工C*C-工ICnnmmnmnmnnnnmnmnn(本征态的正交归一性JvvdT=6)nmnm如果屮是归一化的，即J屮*KdP=1，则4-24)如果屮没有归一化，则|C|2n屮叩dT4-25)11、任意态物理量值的平均值公式F=工九ICI2=工九CC*=工C/

18、J屮屮*dTnnnnnnnn=JdT屮*工C九屮nnn=JdT屮*工CFVnn=JdTV*F工CVnn=JdTV*Fv上式为平均值公式，即F=工九IC|2=*屮*FVdTnn4-29)据此公式知，只要知道波函数屮，就可以直接计算任何力学量F的平均值，而不需要预先求出F的全部本征值（进而求加权平均）和本征函数。若屮没有归一化，则_工九IC|2Fnn乙IC|2n4-30)戸dTJv*VdT4-31)第三部分习题1、求最大几率半径3-8第一激发态谐振子2a解由V()=axe-a2x2/2知1冗1/4a2x2e-«2x22a几率密度w(x)=IV|2=1J冗6-3令=aX，贝yw(X)TX(

19、g)=2e-g22a2g2eg2=x=±1/a(=±1V=:er/a°兀a30Qr=fv*VdT=fv叩rr2drd0-4兀r3e2r/a0dr=-a30兀a200Qr兀a300"Sse-g2(lg2)3=a204e21!e2sa30(2)2a0QrTr+dr球索内出现电子的概率4w(r)dr=4兀V*Vr2=r2e2ra0dra30几率密度w(r)=r2e2ra0a30dw428r由=(2re2r/a0r2e2r/a0)=re2ra0(1)=0dra30a30r=0,1r=g,2r=a30进一步讨论可知，只有r=a0才是最大值处,所以最可几半径r=a。

20、2、定态方程（能量本征态方程）求解3-7一维势阱°，定态方程为1)2)令a2=竽,E>0，所以a为实数，2d2屮+a2屮=0dx2其通解为：屮(x)=Asinax+Bcosax由连续条件x=a:方程1)3)4)化为x=a:5)(6)若B=0,2a=nK0=Asinaa+Bcosaa0=Asinaa+Bcosaa2Bcosaa=0则AhO,sinaa=05)6)(7)nK屮Asinxna(6)(5)得2Asinax0若A=0,贝UBhO,cosaa=0K1所以aa(2n+1)-(n+)兀22(n+)2兀2Ea22n2卩n2卩a28)9)(n+1)kx屮(x)=Bcos-na7)、

21、(9)两式可改写为10)口=(2n)2兀2力2En8卩a2CT)门(2n+1)2兀2力2En8卩a2(9)8)、(10)也可改写为屮=Asinx(8')n2ac(2n+1)/、屮=Bcosx(9')n2a将(9')(10')四式合之有a.n冗xAsin2a0,IxIWa（n为偶数）IxI>an冗xBcos2a0,n2冗2128卩a2IxI>a（n为奇数）(n=1,2,3,)注两个屮n可合为:归一化常数A=B=屮-sin(x+a)na2a(IxIWa)ii93-10解由E满足OvEvVo，分区求解定态方程可得屮=Ae氏（x<a）屮=Bsin(ax

22、+8)II屮=Ce-0x(x>a)III当屮及屮'的连续性条件有x=-a:屮'/屮=屮'/屮I IIIII艮卩ctg(aa+8)=ax=a:屮'/屮=屮'/屮IIIIIIIII艮卩ctg(aa+8)=-a由(1)、(2)得余卩-aa+8=n+ctg-()1a卩Ae-PaaBcos(-aa+8)Ae-PaBsin(-aa+8)(1)aBcos(aa+8)一卩Ce-PaBsin(aa+8)Ce-Pa(2)(3)4)aa+5=n兀+ctg-i()=n兀一ctg-i()2a2a4)(3)得：2aa=(n-n)兀一2ctg-i()21a令n=n-n(为整数)

23、，则有2i兀aa=n-一ctg-i()(5)2aa但ctg-i()=sin-i-aJa2+2而a2+2=2卩E+2卩(V-E)/加=2pV/加oo故(5)式可化为：n兀ahaa=sin-1(6)2J2pV¥0=J2pE/h进而求出En。采用数值解法或作图法可求得不同n值的叫值，由a3-11不对称力场中的粒子V x<0i解：V=<0xWxWaV (<V)xa2i束缚态要求E<V(但E0)2与上题解法相类似令a2=2pE/加，=2p(V-E)"2iY2=2p(V-E)/加，a、Y均为实数2分别求解定态方程，利用XT±Q屮有限条件有屮二Ae卩x(

24、x<0)i<屮二Bsin(ax+5)(0Wx£a)ii屮二Ce-yx(xa)iii由x=0,a时，屮、屮，的连续性得ctg5=(i)actg(2a+5)=(2)a由(i)sin5=-a2+22pV所以6=sin-i3)由(2)3-12平面转子解：平面转子作一维运动，绕z轴旋转2d2由砂(p)"27莎屮=砂®)1)令a2=2IE/方,(a为实数)，方程(1)可化为“W®)+a2屮(甲)=0dq22)方程的解为：屮(q)=Aea+Bew(3)由周期条件屮仲+2兀)=屮仲)得e+ia2兀=1a-2兀=m-2兀，a=m(m=0,±1,

25、77;2,±3,)(4)(3)中A项表示逆时针转动，B项表示顺时针转动，a=m中，a可正可负，所以只需保留一项，W(q)=Aeimq5)能级E4=也m2121(m=0,±1,±2,±3)3-13范德瓦尔斯力6)解：V(x)詔V,0-V,10x<0xWx<aaWxWbxb-V<E<0为束缚态。分区求解定态方程可得屮二0I屮二AeaX+BeaxII屮二A'sin(卩x+5)III屮二A''e-yxIV1233a22卩(V-E)o方2p2二2卩(E+V1)2由x=0,屮=屮=0，得A+B=0,所以B=A屮=A(e

26、-axeax)(1)IIx=a：屮'/屮=屮'/屮，由之得II IIIIIIIIAa(eaa+eaa)PA'cos(Pa+5)A(e-aa-eaa)A'sin(pa+5)ctg(Pa+5)=+pacthaa2)x=b：屮'/屮=屮'/屮，由之得III IIIIVIVPA'cos(Pb+5)yAe-ybA'sin(Pb+5)A"e-yb3)ctg(pb+aPa+5=n兀+ctg1(cthaa)yPb+5=n兀一ctg1()2P5)(4)得：yaP(ba)=(nn)兀一ctg1()ctg1(cthaa)21PP令n=nn为整

27、数，则有yaP(ba)=n兀ctg1(p)ctg-1(pcthaa)=P2)式得4)3)式得：5)aBatgp(b-a)=(1+cthaa)/(cthaa)YB阶梯势的散射问题2d2(-+V(x)屮(x)=刖(x)2mdx22m(E-V)门力2令k2=2m(E-V0)2E>V0时屮+匸屮=0x屮"+k2屮=0,a=±kix<0,在V=V0时,屮"+k2屮111x>0,在V=V0时,屮"+k2屮222,2m(E+V)k2=o1方2,2m(E-V)k2=02方2屮=A-eiqx+Beiy111屮=C-eik?x+De-ikgX2粒子一旦越过

28、x=0的点(阶势)，则无阻挡，所以，无返回的波，即D=0屮=AeikX+Beik'X1屮=Ceik?x22由x=0的连续性条件:也(0)屮2(0)屮；(0)2屮'(0)2A+BiAkikBCik1121ik2ik(A+B)=ik(A一B)21k(A+B)=k(A-B)21k-kC=A+B=A+r2k+k12iAk+k12k+k(k-k)2kA=r212A=k+k12(k+k)B=A(k-k)1212kkB=i2Ak+k12IB|2/k-k、R=(+才)2|A|2k+k丁门(k+k)2-(k-k)24kk(k+k)2(k+k)212123、算符对易性4-3(1)x,=一1dxx,

29、冲=(x.屮今)=xf屮即，=屮dxdxdxxx(2)P2P2P2H,P=+V(r),P=(.P+V(r)P)P(+V(r)=V(r)PPV(r)2m2m2mH,PM(x)=V(x)PxPxV(x)“(x)=V(x)Pxy(x)Pxy(x)-V(x)=ihV(x)殂+注V(x)型+注空凶+注空血屮(x)&axaxax工V(x)/、=i屮(x)axH,P=i/z他ax(3),x2=(x2d2)屮=。(x2屮)x2=2即+x2屮'一x2屮'=2即dxdxdxdxdxd,x2=2xdx(4)力2d2力2d2x方2d2H,x=(+V(x),x=x2mdx22mdx22mdx22

30、d(x,屮)2d2屮力2dd/、2mdx2一方2d/(V+x2mdx2H,x=-mH,xV=+x=(x，屮)2mdx22mdxdx方2屮'+屮'+2m例题、计算算符的对易关系叫e哙Hi为虚数单位）解：设屮为任意波函数dddddeix,eixW=eixeix屮eeixW=e2xWe&ieixW+e&Wdxdxdxdd=e2ixWie2ixWe2ixW=ie2ixWdxdx所以，对易关系为eix,eix=dxie2ix414、平均值的求解4-9解：0(x,0)=1;1u(x)+u(x)+cu(x)502231)由-+-+c2=1得c25233310c312)由时间因

31、子eiEt/,E=(n+)方有n20(x,t)=uei®t/2+uei5®t/2+uein®t/250221033)E(t)=J0*(x,t)H0(x,t)dx=（2）T=wE+1E+E=50221034-10基态一维谐振子1解：（1）利用8题结果可直接得出：V=w4C(p,方)=Jv*屮(x,t)dx积分第二项为奇导数，结果为0，故积分项I=2Jea2x2/2COS-PXdX=l2兀e-p2/2a2“2a:aJ2兀ei3t/2e一p2/2a222方兀3/2a1九ei3t/2e-p2/2a22兀1/2,1九3(p,t)=C*(p,t)C(p,t)=e_p2/a22a方/兀4-11屮(x,0)=A(sin2加+2cos加)1)求P、T屮(x,0)=A(1-cos2如+cos力x22ei2kx/力111e-i2kx/+.eikx/+e-ikx/=v22v-屮-屮+V+v4"一-c=v'2kA,022P_2PP-Pc=c=-c=-c2p-2p1pp1=工Ic|2=2kAA2(1+4x丄)=兀九A2i416p=c2p+c2p+c2(一p)+c2(2p)+c2(_2p)=00p-p2p-20平均动能1一纠丄纠一一一一f1P2=c2-0+c2p2+c2(p)2+c2(2p)2+C2(-2p)22|H0p-p2