第4章 量子计算机(2)

1、第四章 量子计算机 (2) 第三节 量子编码 2 (一) 相关的量子力学预备知识 一, 态矢量空间 (1) 右矢空间 在量子力学中，体系的一个物理状态可以用复矢量空间中 的一矢量表示，这被称为态矢量。通常采用狄拉克符号标 记态矢量, 符号 “ | ” 称为态右矢, 简称右矢。为了表明各 种特定意义的状态，在符号内再附加相应的标志. 1, 加法 | + | = | *2, 数乘 3 令 c 为任何复数， 有 c | = | 若 c 为零，则 | 为零右矢。 物理上假设，在 c 0 时 | 和 c | 表示同一个物理状态。 因此，在该矢量空间中，仅只 “方向” 是有意义的。 这里论及的是射线，而不

2、是矢量。( 矢量有长度 ) 另有 c ( | + | ) = c | + c | ( c 1 + c 2 ) | = c 1 | + c 2 | c 1 c 2 | = c 1 ( c 2 | ) c | = | c *3, 算符作用 4 力学量用算符表示, 在矢量空间中，一个算符 A 从左边作用到右矢上，即 A | = A | = | 当 | 是 A 的本征态时，有 A 的本征方程 A | i = a i | i , ( i = 1, 2, - N ) 其中， a i 为 A 的本征值谱， | i 为相应的 N 个线性无关的本征矢（设非简并情况）。A 的 N 个本征右矢张开一 N 维 矢量空

3、间。任一右矢 | 可以写为 | = i ci | i 其中 c i 为复数，上式的唯一性可以由本征矢的正交性证明 *( 2 ) 左矢空间 5 左矢空间是右矢空间的对偶空间或共轭空间。左矢以符号 “ | ” 标记。左矢空间和右矢空间的态矢量有如下对应关系 | | | 1 ，| 2 - 1 | , 2 | - | + | | + | 但是，c | 的对偶不是 c |，而是 c* |。 或称 c* | 为 c | 的共轭态。 更一般地，有 c1 | + c2 | c1* | + c2* | *( 3 ) 内积 6 1, 内积的定义 构成内积总是从左矢空间和右矢空间各取一个矢量。 定义左矢和右矢的内积

4、为 | = ( | ) ( | ) 一般情况下，内积为一复数。 2, 内积的两个基本性质： (a) | 和 | 互为共轭。 在实矢量空间，两者相同。 | = | (b) | 0，为实数。 * 3, 态矢量正交 7 若 | = 0， 则 | 和 | 正交 4, 态矢量归一化 归一化右矢 | = 1 / ( | )1/2 | | = 1 由于 | 和 c | 表示同一个量子态， 因此可以认为态矢量都已归一化了。(4) 希尔伯特 ( Hilbert ) 空间 Hilbert 空间是由某量子体系的 ( 本征 ) 态矢量构成的空间; n 双能级量子体系对应的 Hilbert 空间是 2n 维. *(二)

5、 量子编码的基本思想 ( 量子编码方案不是唯一的 ) 8 一, 量子信息载体的基本单元: 量子比特 ( qubit ) 任何双能级量子系统 二, 逻辑态 ( 纠缠态 ) Shors Code and Steanes Code 将 1 量子比特的原始信息编成 n ( = 9, 7 ) 量子比特的量子码; 用 n 元体系 Hilbert 空间的纠缠态来表示逻辑态的两个状态 | 0 L = i i | i - (1) | 1 L = i i | i - (2) 其中 | i = | in-1 - i0 是 n 元体系 Hilbert 空间的 2n 个基 逻辑态 | Q = | 0 L + | 1L

6、展开成一个二维 Hilbert 子空间 ( 后面将进一步讨论 ) 逻辑态 ( 纠缠态 ) 不是原始信息状态的简单复制, 从而避开了量子态的不可克隆 ( 复制 ) 性 *三, 差错的产生 ( 与环境的相互作用 ) 9 (1) 环境对第 k 个量子比特的作用 | e | 0 k = | e 0 , | e 1B | 0 k | 1 k | e 0 B , | e 1 | 1 k - (3) | 0 k 、| 1 k 为第 k 个量子比特的两个状态 | e = | e 0 , | e 1B 是环境作用矩阵, 为幺正变换 | e 0 B , | e 1 环境态 | e 中各项 | e 0 、| e 1

7、 、| e 0B 和 | e 1B 具有一定 任意性, 通常为某数, 可以为复数. (2) 环境对逻辑态的作用 | e | 0 L = | e 0 , | e 1B | 0 L | 1 L | e 0 B , | e 1 | 1 L *(3) 环境作用矩阵的分介 10 | e = | e 0 , | e 1B | e 0 B , | e 1 = | e + I + | e - z k + | e +B x k - | e -B i y k - (4) 1, | e + = ( | e 0 + | e 1 ) / 2 - (5) | e - = ( | e 0 - | e 1 ) / 2 - (

8、6) | e +B = ( | e 0B + | e 1B ) / 2 - (7) | e - B = ( | e 0B - | e 1B ) / 2 - (8) 2, I = 1 0 0 1 3, x = 0 1 y = 0 -i z = 1 0 1 0 , i 0 , 0 -1 此为三个泡利矩阵 ( 并非表示自旋 ) *4, i k ( i = x, y, z ) 表示作用在第 k 个量子比特的 Pauli 矩阵 115, 对于单一差错的情况, 环境对逻辑态 | 0 L 的作用可看 | 1L 成仅对某一量子比特 | 0 k ( k = 0, 1 - n-1 ) 的作用 | 1 k 6, 公

9、式 (4) 的验证 将 (5) - (8) 式代入 (4) 式右边得 | e+ 1 0 + | e- 1 0 + | e+B 0 1 + | e-B 0 -1 0 1 0 -1 1 0 1 0 = | e + + | e - , | e +B - | e -B = | e 0 , | e 1B | e +B +| e -B , | e + - | e - | e 0B , | e 1 = (4) 式左边的矩阵项 *泡利矩阵对量子比特的作用 12 1, z k 的作用 zk | 0 k = 1 0 | 0 k = | 0 k | 1 k 0 -1 | 1K - | 1K 1) 对第 k 个量子比

10、特的作用是 “1” 态前面加负号 ( 相位的翻转 ); 2) 此变换与 | e- 相关联; 见公式 (4) 3) 此变换用 Sk 表示 2, x k 的作用 x k | 0 k = 0 1 | 0 k = | 1 k | 1 k 1 0 | 1K | 0 K 1) 对第 k 个量子比特取 “非” ( 位值的翻转 ); 2) 此变换与 | e+B 相关联; 见公式 (4) 3) 此变换用 Bk 表示 * 3, - i y k 的作用 13 - i y k | 0 k = 0 -1 | 0 k = - | 1 k | 1 k 1 0 | 1K | 0K 1) 对第 k 位量子比特的 “1” 态前面

11、加负号 ( 相位的翻转 ), 再对此量子比特取 “非” ( 位值的翻转 ); 2) 此变换与 | e-B 相关联; 见公式 (4) 3) 此变换用 BSk 表示 ( 为 Sk 和 Bk 的相继作用 )(5) 基本差错的种数 由 (4) 式可知, 环境对逻辑态 | 0 L 的作用有很多种, 即量 | 1 L 子码的差错有很多种. 但它们都由 3n 个基本作用 ( 差错 ) 构成. 其中, n 为量子码的量子比特数, 3 为三个泡利矩阵 z k、x k 和 - i y k 的作用 *四, 量子纠错码量子比特数 n 的限制 (仅限于本量子编码体系) 14 (1) 分析 1, 逻辑态 | 0 L 和

12、| 1 L 展开成一原始的二维 Hilbert 子空间, 2, 每一个不同的由环境引起的差错 ( 可用 Sk 、Bk 或 BSk 表示 ) 对应于一个与原始二维 Hilbert 子空间正交的二维 Hilbert 子 空间, 两者之间的关系为一幺正变换. 3, 原始量子态测量后改变, 可以通过简单的幺正变换还原; 该还原用的幺正变换由测量结果确定. (2) n 应满足的条件 1, 不同的差错所对应的 ( 二维 ) 子空间应彼此正交, 因此, 总 的 Hilbert 空间的维度须足够大, 应满足如下条件 2 n 2 ( 3 n + 1 ) - (9) * 2, (9) 式左边的 2n 是整个 Hi

13、lbert 空间的总维数; 15 3, (9) 式右边 ( 3n + 1 ) 的分析 每个量子比特有三个基本差错 ( Sk 、Bk 和 BSk ) 每个量子比特的每个基本差错对应于一个二维 Hilbert 子空间; n 个量子比特需要 3n 个二维 Hilbert 子空间; 再加上一个原始的二维 Hilbert 子空间, 总共需要 ( 3n +1 ) 个 二维的 Hilbert 子空间, 总维数为 2 ( 3n +1 )(3) n 的取值 根据 (9) 式, 应有 n 5 - (10) Shors code, n = 9; Steanes code, n = 7; LaflammeS code

14、, n = 5. *(三) 量子纠错码举例 ( Laflammes ) 16 一, 编码方案 (1) n 的取值, 根据 (10) 式取下限, n = 5 (2) 为简化起见, (1) 和 (2) 式中逻辑态系数的模 | i | = | i | = 1 或 0 (3) 逻辑态, 取为 | 0 L = | 00000 + | 01111 - | 10011 + | 11100 + | 00110 + | 01001 + | 10101 + | 11010 (11) | 1 L = - | 11111 + | 10000 + | 01100 - | 00011 + | 11001 + | 1011

15、0 + | 01010 - | 00101 (12) | 0 L 和 | 1 L 的码元值互补 此逻辑态的选取 ( 即编码方案 ) 不是维一的 *二, 编码路径 ( 编码器 ) 17 (1) Laflammes 码的编码路径 ( 见图 ) 1, | Q 为原始信息载体 | Q = | 0 + | 1 - (13) 此为编码器的输入 ( 输入到某一量子比特 ) 2, 编码结果: 即编码器的输出 ( | Q ，逻辑态，纠缠态 ) | Q encoding = | Q = | 0 L + | 1L - (14) 其中, | 0 L 和 | 0 L 如 (11) 和 (12) 式所示 3, 编码路径

16、1) R 为如下 ( 旋转 ) 幺正变换 | 0 ( | 0 + | 1 ) / 2 1/2 | 1 ( | 0 - | 1 ) / 2 1/2 * 2) 为 “控制非” 操作 18 如其控制位实圈 “ ” 为 1, 则被控制位 “ ” 的态翻转 ( “ 非 ” ) ( | 0 | 1 ) 3) 为控制相位的操作 如控制位空圈 “” 为 0, 实圈 “” 为 1, 则被控制位 “” 旋转 相位.量子 “异或” 门 ( “控制非” 操作的实现 ) 1, 逻辑门的可逆性 1) 经典逻辑门 “与”、“或” 和 “异或” 门是不可逆的, 两个输入端, 一个输出端; 2) 量子逻辑门是可逆的 优越性:

17、原始信息可以还原; 可逆过程可以不消耗能量, ( 热力学分析 ) * 2, 经典 “异或” 门 ( 不可逆 ) 提问：为什么不可逆？ 19 A B A B 0 0 0 0 1 1 见逻辑图 1 0 1 1 1 0 3, 量子 “异或” 门 ( 可逆 ) A B A B B 0 0 0 0 见逻辑图 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1) 规律: B = 0 时, A 不变; B = 1 时, A 取非; 2) 控制非: A 是受控位, B 是控制位.(3) 所有的量子逻辑功能都可由量子 “异或” 门实现 ( 证明略 ) *三, 编码器 20 (1) ( 无差错 ) 编码结果 由

18、(13) 和 ( 14 ) 式知, 原始信息载体为 | Q = | 0 + | 1 - (13) 编码结果为 | Q = | Q encoding = | 0 L + | 1L (14) 其中, | 0 L 和 | 1L 应如 ( 11 ) 和 ( 12 ) 式所示 5 比特量子码编码器编码 ( 无差错 ) 结果之一 | 0 L 的编码过程 ( 不考虑相位 ) 如前页表所示.习题: 给出 5 比特量子码编码器编码 ( 无差错 ) 结果之一 | 1L 的 编码过程 ( 不考虑相位 )，并验证其正确性。 四, 检错路径 ( 查错器 ) 检错路径与编码路径相同, 但方向相反 ( 见路径图 )五, 检

19、错输出与差错的关系 ( 重要的是一一对应关系 ) * 五比特编码器 21输入位 信息位 辅助位 输入 后的组态 “异或”后的组态 逻辑态 | a | 0 0 00001111 00001111 | b | 0 0 00110011 00110011 | Q | 0 0 00000000 01011010 | 0 L | c | 0 0 01010101 01010101 | d | 0 0 00000000 00111100-输入位 信息位 辅助位 输入 后的组态 “异或”后的组态 逻辑态 | a | 0 0 00001111 00001111 | b | 0 0 00110011 00110011 | Q | 1 1 11111111 10100101 | 1 L | c | 0 0 01010101 01010101 | d | 0 0 00000000 11000011 （注：三位经 R 变