空间点线面的位置关系学习教案

1、空间空间(kngjin)点线面的位置关系点线面的位置关系第一页，共51页。A1BD1C1DCB1A观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、地面及侧面、地面(dmin)之间的关系吗？之间的关系吗？长方体由上下长方体由上下(shngxi)、前后、左右六个面围成，有些面是平、前后、左右六个面围成，有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线等

2、等直线等等.空间中的点、直线空间中的点、直线(zhxin)、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题.第1页/共51页第二页，共51页。1.平面平面(pngmin)的基本知识的基本知识(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本最基本(jbn)的概念，即为不加定义的原始概念的概念，即为不加定义的原始概念.(2)平面平面(pngmin)的基本特征是无限延的基本特征是无限延展性展性.平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）；平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）；平面没有大小

3、、没有厚薄和宽窄，是不可度量的平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的. .光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果的平面概念是现实平面加以抽象的结果. .思考思考: :能不能说一个平面长能不能说一个平面长4 4米米, ,宽宽2 2米？为什么米？为什么? ?不能不能. .第2页/共51页第三页，共51页。画法画法(hu f)立体几何立体几何(ltjh)中通常用平行四边形来表示平面，中通常用平行四边形来表示平面， 有时也用圆或三角形等图形来表示平面有时也用圆或三角形等图形来表示平面.画平面水平

4、画平面水平(shupng)放放置时，常把平行四边形置时，常把平行四边形的锐角通常画成的锐角通常画成45，且横边长等于邻边长的且横边长等于邻边长的2倍倍.水平放置水平放置垂直放置垂直放置为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮挡的部分用挡的部分用虚线虚线画出来画出来.(3)平面的画法及表示平面的画法及表示1.平面的基本知识平面的基本知识第3页/共51页第四页，共51页。画出两个竖直放置画出两个竖直放置(fngzh)(fngzh)的相交平面的相交平面. .练习练习(linx)第4页/共51页第五页，共51页。表示表示(bios

5、h)方法：方法：ABCD把希腊字母把希腊字母 等写在代表平面的平行四边形的一个角上，等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如如平面平面 ，平面，平面 ., 用表示平面用表示平面(pngmin)的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面如平面(pngmin)ABCD.用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点(dngdin)的大写英文的大写英文字母表示，如平面字母表示，如平面AC或者平面或者平面BD.(3)平面的画法及表示平面的画法及表示1.平面的基本知识平面的基本知识第5页/共51页第六页，共51页。点点( (元

6、素元素): ):大写字母大写字母A A、B B、C C、DD直线直线( (点的集合点的集合): ):小写英文字母小写英文字母 或者两个大写英文字母或者两个大写英文字母平面平面( (点的集合点的集合): ):用希腊字母表示用希腊字母表示(biosh) (biosh) ； 用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示(biosh).(biosh)., ,a b c, ,; 2.点、直线、平面的位置关系点、直线、平面的位置关系第6页/共51页第七页，共51页。ABa点点A在直线在直线(zhxin)a上，上，记作记作点点B B不在直线不在直线(zhxin)a(zhx

7、in)a上，记作上，记作点点A在平面在平面(pngmin)上，记作上，记作点点B不在平面不在平面上，记作上，记作AB(1)点与直线的位置关系：点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：点与平面的位置关系：AaBaAB2.点、直线、平面的位置关系点、直线、平面的位置关系第7页/共51页第八页，共51页。(3)直线与平面的位置直线与平面的位置(wi zhi)关系：按公共点个数分三类关系：按公共点个数分三类直线直线a与平面与平面(pngmin)有且只有一个公共点，称直线有且只有一个公共点，称直线a与平面与平面(pngmin)相交相交.记为：记为：直线直线(zhxin)a(zhxin)a与平面与平

8、面没有公共点，称直线没有公共点，称直线(zhxin)a(zhxin)a与平面与平面平行平行. .记为：记为：aA Aaa直线直线a与平面与平面有无数个公共点有无数个公共点，称直线，称直线a在平面在平面内，内，或称平面或称平面通过直线通过直线a. .记为：记为：a公理公理1aA/或aaa注注1：情况和统称为直线：情况和统称为直线a在平面在平面外，记作外，记作2.点、直线、平面的位置关系点、直线、平面的位置关系第8页/共51页第九页，共51页。(4)平面与平面的位置平面与平面的位置(wi zhi)关系：按有否公共点分关系：按有否公共点分两类两类a当两个不同平面当两个不同平面与平面与平面有公共点时，

9、它们的公共点组成直有公共点时，它们的公共点组成直线线(zhxin)a(zhxin)a，称平面，称平面与平面与平面相交相交. .记作：记作：当平面当平面(pngmin)(pngmin)与平面与平面(pngmin)(pngmin)没有公共点时，没有公共点时，称平面称平面(pngmin)(pngmin)与平面与平面(pngmin)(pngmin)平行平行. .记作：记作：公理公理3a /或 注注2：当平面：当平面上的所有点都在平面上的所有点都在平面上时，称平面上时，称平面与平面与平面重合重合.公理公理2（当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合（当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合)

10、2.点、直线、平面的位置关系点、直线、平面的位置关系第9页/共51页第十页，共51页。小结：用数学小结：用数学(shxu)(shxu)符号来表示点、线、面之间的位置符号来表示点、线、面之间的位置关系：关系：BaaAbaAAB练习练习(linx)AaBaABaabA/或aaa /或 平面平面(pngmin)与平面与平面(pngmin)重合重合第10页/共51页第十一页，共51页。桌面桌面AB观察下列问题观察下列问题(wnt)，你能得到什么，你能得到什么结论？结论？直尺直尺(zh ch)落在桌面上（直线落在桌面上（直线AB在平面在平面内）内）3.平面平面(pngmin)的基本性质的基本性质第11页

11、/共51页第十二页，共51页。,且Al BlABl 图形图形(txng)语语言：言：ABl(1)公理公理(gngl)1：若一条直线上的两点在一个平面：若一条直线上的两点在一个平面内，内， 则这条直线在此平面内则这条直线在此平面内.符号语言：符号语言：该公理反映了直线与平面的位置关系：该公理反映了直线与平面的位置关系：可用于判定直线是否可用于判定直线是否(sh fu)在平面内，点是否在平面内，点是否(sh fu)在平面在平面内，又可用直线检验平面内，又可用直线检验平面.3.平面的基本性质平面的基本性质第12页/共51页第十三页，共51页。思考：两个平面会不会只有思考：两个平面会不会只有(zhyu

12、)一个公共点呢？一个公共点呢？不会！因为平面是无限延展的不会！因为平面是无限延展的.因此，两个平面有一个公共因此，两个平面有一个公共(gnggng)点，必然有无数点，必然有无数个公共个公共(gnggng)点，并且这些公共点，并且这些公共(gnggng)点在点在一条直线上一条直线上.3.平面的基本平面的基本(jbn)性质性质第13页/共51页第十四页，共51页。且PlPlPl(2)公理公理3：若两个不重合的平面有一个公共：若两个不重合的平面有一个公共(gnggng)点，点， 则它们有且只有一条过该点的公共则它们有且只有一条过该点的公共(gnggng)直直线线.图形图形(txng)语言：语言：符号

13、语言：符号语言：该公理反映了平面该公理反映了平面(pngmin)与平面与平面(pngmin)的位置关的位置关系：系：i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个公只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线.(找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)ii)该公理可用以判定点在直线上：该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线是这点是某两平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则该点在交线上两个平面的公共交线，则该点

14、在交线上.3.平面的基本性质平面的基本性质第14页/共51页第十五页，共51页。CBA观察下列观察下列(xili)问题，你能得到什么问题，你能得到什么结论？结论？自行车需要自行车需要(xyo)一个支脚架就可以保持平衡一个支脚架就可以保持平衡.3.平面平面(pngmin)的基本性质的基本性质第15页/共51页第十六页，共51页。ABC(3)公理公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有经过不在同一直线上的三点，有且只有(zhyu)一个平面一个平面., ,不共线有且只有一个平面 ，使得A B CABC图形图形(txng)语言：语言：符号语言：符号语言：定义的说明：定义的说明：过不在一条直线上的四

15、点，不一定有平面过不在一条直线上的四点，不一定有平面.故要充分重视故要充分重视“不不在一条直线上的三点在一条直线上的三点”这一条件；这一条件；“有且只有一个有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只有一个只有一个”替代替代(tdi)；确定一个平面的确定一个平面的“确定确定”是是“有且只有有且只有”的同义词的同义词.3.平面的基本性质平面的基本性质第16页/共51页第十七页，共51页。推论推论1 1 经过一条直线和这条直线外一点经过一条直线和这条直线外一点, ,有且只有一个有且只有一个(y )(y )平面平面. .证明证明(zhngmng)(zhn

16、gmng)：存在存在(cnzi)(cnzi)性性. .因为因为A a，在，在a上任取两点上任取两点B，C.所以过不共线的三点所以过不共线的三点A，B，C有一个平面有一个平面 .（公理（公理2）因为因为B ，C ，故经过点故经过点A和直线和直线a有一个平面有一个平面 .ABCa因为因为B，C在在a上，上，所以过直线所以过直线a和点和点A的平面一定经过点的平面一定经过点A，B，C.由公理由公理2，经过不共线三点，经过不共线三点A，B，C的平面只有一个，的平面只有一个，所以过直线所以过直线a和点和点A的平面只有一个的平面只有一个.唯一性唯一性.所以所以a .（公理（公理1）已知点已知点A a，求证过

17、点，求证过点A和直线和直线a可以确定一个平面可以确定一个平面.3.平面的基本性质平面的基本性质第17页/共51页第十八页，共51页。推论推论2 2 经过两条相交直线，有且只有经过两条相交直线，有且只有(zhyu)(zhyu)一个平面一个平面. .推论推论3 3 经过两条平行经过两条平行(pngxng)(pngxng)直线，有且只有一个平面直线，有且只有一个平面. .baab推论推论1 1 经过一条直线和这条直线外一点经过一条直线和这条直线外一点(y din),(y din),有且只有一有且只有一个平面个平面. .ABCa注注3：公理公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，及其三

18、个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.ABC公理公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.练习3.平面的基本性质平面的基本性质第18页/共51页第十九页，共51页。abced我们知道我们知道,在同一平面在同一平面(pngmin)内内, 如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢在空间这一规律是否还成立呢?观察观察 : 将一张纸如图进行折叠将一张

19、纸如图进行折叠(zhdi) , 则各折痕及边则各折痕及边 a, b, c, d, e, 之间有何关系？之间有何关系？ab c d e /,/BBAA DDAABBDD观察：在右图的长方体中，那么与平行吗？ABCDABCD3.平面的基本平面的基本(jbn)性质性质第19页/共51页第二十页，共51页。符号符号(fho)表表示示:caabc c(4)公理公理4：平行于同一条：平行于同一条(y tio)直线的两条直线互相平直线的两条直线互相平行行.a/ , / .ab bcac平行平行(pngxng)具具有传递性；有传递性；注注4：该公理是判断空间两条直线平行的方法之一该公理是判断空间两条直线平行的

20、方法之一.即要证明两条即要证明两条直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.3.平面的基本性质平面的基本性质第20页/共51页第二十一页，共51页。例例1 1 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1中，直线中，直线ABAB与与C1D1 C1D1 ，AD1AD1与与BC1BC1是什么是什么(shn me)(shn me)位置关系？为什么位置关系？为什么(shn me)(shn me)？解：解：C1ABCDA1B1D11）ABA1B1， C1D1 A1B1， AB C1D1 2）AB C1D1 ，且，且AB

21、= C1D1 ABC1D1为平行四边形为平行四边形故故AD1 BC1 练习：上例中，练习：上例中，AA1与与CC1，AC与与A1C1的位置是什么的位置是什么(shn me)关系？关系？111,););若分别是的中点,判断下列直线是否平行:与与E F G HAB AD C Di EFGHii DEHB第21页/共51页第二十二页，共51页。例例2 2 已知已知ABCDABCD是四个顶点是四个顶点(dngdin)(dngdin)不在同一个平面内的空间四边不在同一个平面内的空间四边形，形，E E，F F，G G，H H分别是分别是ABAB，BCBC，CDCD，DADA的中点，连结的中点，连结EFEF

22、，FGFG，GHGH，HEHE，求证：，求证：EFGHEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形. .问问1:若上例加上条件若上例加上条件(tiojin)AC=BD，则四边形，则四边形EFGH是一个什么图形？是一个什么图形？“见中点找中点见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用构造三角形的中位线是证明平行的常用(chn yn)(chn yn)方法方法 EH是是ABD的中位线，的中位线，EH FG且且EH =FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明：证明：连结连结BD，同理，同理，FG BD且且FG = BD12 EH BD且且EH = BD12AB DEFGHC菱形菱形问问2:若

23、上例中四边形若上例中四边形EFGH为矩形，为矩形，AC与与BD垂直吗？垂直吗？EH/FG,EF/HG?法 二 ： 往 证呢另注：平行线段成比例另注：平行线段成比例练习第22页/共51页第二十三页，共51页。ABCDA1B1C1D1O1O11111111111111111111.,.,.,.例3 如图，在正方体中，(1)判断下列命题是否正确，并说明理由：直线在平面内；点可确定一个平面；由点确定的平面与由点确定的平面是同一个平面；设正方形与的中心分别为则面与面的交线为ABCDABC DAACCC B BBA O CCA C BA C DDABCDABC DO OAAC CBB D DOO1111.

24、与面的交点落在直线上E ACBDD BOO第23页/共51页第二十四页，共51页。ABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1EF找两平面的两个公共点找两平面的两个公共点111111111111;长方体中，画出下列平面的交线：(1)平面与平面(2)平面与平面ABCDABC DAC DB D DAC BAB D例例 几何体中的截面几何体中的截面(jimin)问题（两平面的交问题（两平面的交线问题）线问题）第24页/共51页第二十五页，共51页。?NDABCCABDMNQPQ即交线为即交线为QN , ,;,;*在棱长为 的正方体中，分别是的中点.(1)画出过点的平面与正方体的下底面的交线(2

25、)设平面求的长aABCDABCDM NAA DCD M NllABPPB例例 几何体中的截面问题几何体中的截面问题(wnt)（两平面的交线问（两平面的交线问题题(wnt)）分析：找面与面的交线 找面与面的两个公共点.DMNABCDDMNABCD, 面面在同一个平面内,且交点为MDDMNADABCDMD ADADDAQ和的交点面面MDADQDMNABCD拓展(tu zhn)第25页/共51页第二十六页，共51页。4.点线共面问题点线共面问题(wnt)(1)(1)证明的主要依据：公理证明的主要依据：公理1 1；公理；公理2 2及其三个推论及其三个推论. .(2)(2)证明的常用方法：证明的常用方法

26、：纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余(qy)(qy)有关的点、有关的点、线在此平面内；线在此平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余，再证明其余(qy)(qy)元素确元素确定平面定平面，最后证明平面，最后证明平面、重合重合. .第26页/共51页第二十七页，共51页。例例1 1 证明证明(zhngmng)(zhngmng)两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内. .ABC已知：已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C求证求证(

27、qizhng)：直线：直线AB，BC，AC共面共面.证明证明(zhngmng)：因为因为ABAC=A，所以直线所以直线AB，AC确定一个平面确定一个平面 .（推论（推论2）因为因为BAB，CAC，所以，所以B ，C ，故故BC .（公理（公理1）因此直线因此直线AB，BC，CA共面共面.确定一个面，再确定一个面，再证明其余线在该证明其余线在该面内面内. .4.点线共面问题点线共面问题第27页/共51页第二十八页，共51页。证法证法(zhn f)二：二：因为因为(yn wi)A 直线直线BC上，上，所以过点所以过点A和直线和直线BC确定平面确定平面(pngmin) .（推论（推论1）因为因为BB

28、C，所以，所以B . 又又A ， 故故AB ，同理同理AC ，所以所以AB，AC，BC共面共面.ABC例例1 1 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内. .证法三：证法三：因为因为A，B，C三点不在一条直线上，三点不在一条直线上，所以过所以过A，B，C三点可以确定平面三点可以确定平面 .（公理（公理2）因为因为A ，B ，所以，所以AB .（公理（公理1）同理同理BC ，AC ，所以所以AB，BC，CA三直线共面三直线共面.4.点线共面问题点线共面问题第28页/共51页第二十九页，共51页。练 已知求证:直线,共面.,D, A B Cll

29、AD BD CDABCDl证明与 确定平面:.DllD 又,.A B Cl lA B C 又即共面.,DBD CD ADAD BD CD 4.点线共面问题点线共面问题(wnt)第29页/共51页第三十页，共51页。P51 5 证明证明(zhngmng)：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面.已知：已知：a/b，ac=A，bc=B.求证求证(qizhng)：直线：直线a，b，c共面共面.证明证明(zhngmng)：因为因为a/b，所以直线所以直线a，b确定一个平面确定一个平面 .（推论（推论3）因为因为Aa，Bb，所以，所以A ，B .又

30、因为又因为Ac，Bc.故故AB .（公理（公理1）因此直线因此直线a，b，c共面共面.abcAB4.点线共面问题点线共面问题第30页/共51页第三十一页，共51页。例例2 2 已知一条直线与三条已知一条直线与三条(sn tio)(sn tio)平行直线都相交，证明这四条直线共面平行直线都相交，证明这四条直线共面. .abcABCl已知：已知：a/b/c，al=A，bl=B, cl=C.求证求证(qizhng)：直线：直线l与与a，b，c共面共面.证明证明(zhngmng)：a/b， 直线直线a，b确定一个平面确定一个平面 .（推论（推论3） l a=A， l b=B， A ，B .又又Al，B

31、l，故，故l . 同理，同理，直线直线b，c确定一个平面确定一个平面 ，且，且l .平面平面 与与 都过两相交直线都过两相交直线b，l.又又两相交直线确定一个唯一的平面两相交直线确定一个唯一的平面. 与与 重合重合.故故l与与a，b，c共面共面.证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.4.点线共面问题点线共面问题第31页/共51页第三十二页，共51页。练练 已知已知a ，b ，ab=A，Pb，PQ/a . 求证求证(qizhng)：PQ .abQAPPQ/ ,PQ.P,.证明:直线与 确定一个平面，设为aaa P,P.又且baa1P.P

32、Q.由推论 ，过 ， 有且只有一个平面和 重合，即有a4.点线共面问题点线共面问题(wnt)第32页/共51页第三十三页，共51页。(1)(1)证明的主要依据是公理证明的主要依据是公理3 3： 如果两个平面相交，则这两个平面的公共点共线；如果两个平面相交，则这两个平面的公共点共线； 如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交点必在这两个平面的交线上点必在这两个平面的交线上. .(2)(2)证明的常用方法：证明的常用方法：首先找出两个平面，再证这三个点都是这两个平面的公共点；首先找出两个平面，再证这三个点都是这两个平面的公共点；选择其

33、中两点确定一条直线，然后选择其中两点确定一条直线，然后(rnhu)(rnhu)证明另一个点也在证明另一个点也在其上（一般地，这条直线看作某两个平面的交线，往证第三个点其上（一般地，这条直线看作某两个平面的交线，往证第三个点也是两个面的公共点）；也是两个面的公共点）；证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证明第三证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证明第三条直线经过这个点（转化为证明点在线上的问题）条直线经过这个点（转化为证明点在线上的问题）5.证明三点共线、三线证明三点共线、三线(sn xin)共点的共点的问题问题第33页/共51页第三十四页，共51页。例例1 1 已知三角形

34、已知三角形ABCABC的三条边的三条边ABAB、BCBC、ACAC与平面与平面(pngmin)(pngmin)分别分别交于交于P P、Q Q、R.R.求证：求证：P P、Q Q、R R共线共线. .BAQRCP证明证明(zhngmng)：同理同理Q、R也为公共也为公共(gnggng)点，点，所以所以P、Q、R共线共线.要证明各点共线，只要证要证明各点共线，只要证明他们是两个相交平面的明他们是两个相交平面的公共点公共点.ABCABC.平面平面PABPABC.又平面PP5.证明三点共线、三线共点的问题证明三点共线、三线共点的问题第34页/共51页第三十五页，共51页。P53 3 空间四边形空间四边

35、形ABCD中，中，E，F分别分别(fnbi)是是AB和和CB上的上的点，点，G，H分别分别(fnbi)是是CD和和AD上的点，且上的点，且EH与与FG相交于相交于K.求证：求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点三条直线相交于同一点.分析：分析：已知已知EHFG=K，要证，要证EH，BD，FG共点共点.即要证明即要证明B，D，K三点三点(sn din)共线共线.而而BD是面是面ABD和面和面(h min)CBD的交线的交线.所以往证所以往证K面面ABD面面CBD.而显然，由而显然，由EH面面ABD，KEH，可得，可得K面面ABD.同理，由同理，由FG面面CBD，KFG，可得，可得K面面CBD

36、.ABCDEFHGK5.证明三点共线、三线共点的问题证明三点共线、三线共点的问题第35页/共51页第三十六页，共51页。111111111, ,.(2),),),.练习 正方体中，(1)是该正方体下底面的中心，过作一截面，求证：此截面与对角线的交点 一定在上若分别是的中点，求证：四点共面；三线共点ABCDABC DMC B DACPC ME FAB A AiE F D Cii CE D F DA,:=2:3.,.练习 在四面体中，分别是的中点， 在上在上，且有求证:三线共点ABCDE GAB BCFCDHADDF FCDH HAEF GH BDABCDA1B1C1D1M第36页/共51页第三十

37、七页，共51页。小结小结(xioji)：(1) 空间点、线、面的位置空间点、线、面的位置(wi zhi)关系关系(2) 平面的基本性质（四个公理）平面的基本性质（四个公理）(3) 证明直线平行的常用方法证明直线平行的常用方法(4) 点线共面，三线共点，三点共线问题的证明点线共面，三线共点，三点共线问题的证明作业作业(zuy)：P51 5、6 P53 B组组2、3 P78 3、4、8精讲精练：精讲精练： P18 9、8第37页/共51页第三十八页，共51页。“见中点找中点见中点找中点”构造三角形的中位线是证明构造三角形的中位线是证明(zhngmng)(zhngmng)平行的常用方法平行的常用方法

38、P78 4,5P78 4,5,/,./.,1/.21/.2.EFAEBCAEBCABFEABEFABEFC DCDGEFDCEFDCEFDCABDCABABCD（1）证明:连接因为且所以四边形为平行四边形且又因为分别为棱边的中点为的中位线.且即且四边形为梯形ABCDEFG(2) 立体几何中求解平面的角度边长立体几何中求解平面的角度边长面积等问题时，注意重新画出图形，面积等问题时，注意重新画出图形，结合几何体找出边角关系并利用结合几何体找出边角关系并利用(lyng)平面图形性质求解问题平面图形性质求解问题.back第38页/共51页第三十九页，共51页。在长方体中， 为棱的中点，画出由, 三点所

39、确定的平面 与长方体表面的交线.1111ACPBBA CP 例例 几何体中的截面几何体中的截面(jimin)问题（两平面的交线问问题（两平面的交线问题）题）精讲精练精讲精练P2 4（正方体的截面形状（正方体的截面形状(xngzhun)的研究）的研究）back第39页/共51页第四十页，共51页。形状形状特殊情形特殊情形三角形三角形锐锐角角三三角角形形等等腰腰三三角角形形等等边边三三角角形形四边形四边形平平行行四四边边形形长长方方形形正正方方形形梯梯形形不可能是直角梯形不可能是直角梯形五边形五边形注意：该五边形注意：该五边形必有两组分别平必有两组分别平行的边，且不可行的边，且不可能是正五边形能是

40、正五边形六边形六边形注意：该六边形注意：该六边形必有分别平行的必有分别平行的边，且可以是正边，且可以是正六边形六边形第40页/共51页第四十一页，共51页。例例 几何体中的截面问题几何体中的截面问题(wnt)（两平面的交线问（两平面的交线问题题(wnt)）正方体中，试画出过其中三条棱的中点正方体中，试画出过其中三条棱的中点(zhn din)P(zhn din)P，Q Q，R R的的平面截得正方体的截面形状平面截得正方体的截面形状back第41页/共51页第四十二页，共51页。正方体中，试画出过其中正方体中，试画出过其中(qzhng)(qzhng)三条棱的中点三条棱的中点P P，Q Q，R R的

41、平面截得正方体的截面形状的平面截得正方体的截面形状1111分析：找面PQRK与面ADD A的交线找面PQRK与面ADD A的两个公共点.R?11PQ面PQRKAD面ADD APQ，AD在同一平面ABCD内，交点为S11PQ和AD的交点S面PQRK，S面ADD A .S即交线为即交线为RS交交AA1于中点于中点(zhn din)GKGHS1111同理，找面PQRK与面BCC B的交线找面PQRK与面BCC B的两个公共点.Q?T即交线为即交线为QT交交CC1于中点于中点(zhn din)HT例例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）几何体中的截面问题（两平面的交线问题）back第42页/共51

42、页第四十三页，共51页。G,H,RKHQPG.GHRK/.RQRK=RRQPQ=QRQGH=JRHQG)RQGHPQ法二：取中点往证六点共面连结，/又(在平面内即直线与三条平行直线都相交故这四条直线共面（前面已证明），从而这六点共面KGHJ例例 几何体中的截面几何体中的截面(jimin)问题（两平面的交线问题（两平面的交线问题）问题）正方体中，试画出过其中三条正方体中，试画出过其中三条(sn tio)(sn tio)棱的中点棱的中点P P，Q Q，R R的平面截得正方体的截面形状的平面截得正方体的截面形状back第43页/共51页第四十四页，共51页。* *画出四面体画出四面体ABCDABCD中过中过E,F,GE,F,G三点三点(sn din)(sn din)的截面与四面体各面的交线的截面与四面体各面的交线. .ABCEFGP分析：找面EFG与面BCD的交线找面EFG与面BCD的两个公共点.EF面EFGBD面BCDEF，BD在同一平面内，交点为PEF和BD的交点P面EFG面BCD.P即交线为GPG?同理，找面EFG与面ADC的交线找面EFG与面ADC的两个公共点.F?HD连接GP交DC于H，则HDC面ADC,且HGP面EFG.H 即交线为FH例例 几何体中的截面几何体中的截面(jimin)问题（两平面的交