2021高考数学一轮复习第3章导数及其应用第1节变化率与导数导数的计算教学案文

1、第3章导数及其应用全国卷五年考情图解局考命题规律把握1 .考查形式本章内容在局考中一艇是“ ,大 小”.2 .考查内容(1)导数的几何意义一般在选择题 或填空题中考查，有时与函数的性 质相结合出现在压轴小题中.考点斤数的擦合向超(2)解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的 单调区间、函数的极值点等，属于 基础问题.第二问利用导数证明不 等式，已知单调区间或极值求参数 的取值范围，函数的零点等问题 .3.备考策略(1)熟练掌握导数的运算公式， 重点 研究导数的几何意义、导数与函数 的单调性、导数与极(最)值、导数 与不等式、导数与函数的零点等问题.(2)加强数形结合、分类讨论

2、等数学 思想的应用.121(2)121(2)1120(2) IHiUDQOIT 21(2)1 21(2112121 20H2L疗效树宽槌值、 最值1121(2)121(2)121(2)1121(2)11121*2)导做研究单蠲性导教几何意义1 2KD 121(1)J n 1121(1) 1121(1：'21(1) 112)(1) 21(0121(1) ir2i(i)I2IX1>14| 16"岂)(D 11161141 611 1313 IT 10IK2m520 62()172fJ|R W9 军份第一节变化率与导数、导数的计算最新考纲1.了解导数概念的实际背景，理解导数的

3、几何意义.2.能根据导数定义求函数y=C(C为常数)，y = x , y = x2, y = x3, y=： y = 5的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.课前自主回顾(对应学生用书第39页)I：必备知识填充：!i.导数与导函数的概念(1)函数y=f(x)在x = xo处的导数称函数y = f(x)在X0点的瞬时变化率为函数 y=f(x)在点X0处的导数，用f'(X。表示,、一f X0+ A x f xo记作 f(Xo) = lim - XT0ZA X(2)导数的几何意义函数f (X)在点Xo处的导数f' (Xo)的几何意义是在曲线y

4、= f (X)上点(Xo,f (Xo)处的切线的斜率.相应地，切线方程为y f (xo) = f，( xo)( xxo).(3)函数f(x)的导函数如果一个函数f (x)在区间(a, b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f' (x)：f ' ( x) = lim xof Xo+A： f Xo ,则(x)是关于X的函数，称f '(X)为f(x)的X导函数，通常也简称为导数.2.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数y= c(c是常数)y，= oy= sin xy' = cos_xy=x"( a是实数),a - 1y 民xy =

5、 cos xy，= sin_ xy= ax ( aM, aw 1)V' = axln_ a 特别 地(ex)，= eXy= tan xy cos Xy = log ax (a*, aw 1)1 一，V=一特别xln a1地(In x) ' =xy = cot xy，=- 12s -sin x3.导数的运算法则(1)f(x)士 g(x)'= f '(x)土g' (x);(2)f(x)- g(x)'= f '(x)g(x) +f (x)g' (x);f' xgx f Xg' Xg X 2(g(X)R常用结论1 .奇函数

6、的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2 . af(x) 土 bg(x) ' =af' (x) 土 bg' (x).3 .函数y=f(x)的导数f' (x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化 的方向，其大小|f ' (x)|反映了变化的快慢，|f ' (x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡” .学情自测验收：|、思、考辨析(正确的打，错误的打"X”)(1) f ' (xo)是函数y= f (x)在x = xo附近的平均变化率.(2)f '(X0)与f(x0)1表示的意义相同.

7、(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(4)函数 f(x)=sin( x)的导数是 f' ( x) = cos x.()答案(1) X (2) X (3) X (4) X二、教材改编1 .函数y=xcos x sin x的导数为()A. xsin xB. xsin xC. xcos xD. xcos xB y' =x' cos x + x(cos x) ' (sin x) ' = cos x xsin x cos x = xsin x.2 .曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A. 9 B. 3 C . 9

8、D. 15C 因为 y=x3+11,所以 y' = 3x2,所以 y' | x=1 = 3,所以曲线 y=x3+11 在点 P(1,12) 处的切线方程为y-12=3(x-1).令x=0,得y=9.故选C.3 .函数y=f(x)的图像如图，则导函数f' (x)的大致图像为()B 由导数的几何意义可知，f' (x)为常数，且f, (x)<0.4 .在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度 (单位：m)是h(t) = 4.9t2+6.5t + 10,则运动员的速度 v=m/s ,加速度 a =m/s2.-9.8t + 6.59.8v=h' (t

9、) =- 9.8 t +6.5 , a = v' (t) = - 9.8.总站常学才点 课堂考点探究 破解劣者厥卑(对应学生用书第40页)。考点1导数的计算唳迎£(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用 运算法则求导数.(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算 错误.考向1|已知函数解析式求函数的导数腱典例求下列各函数的导数：(1) y = x2x； (2)y=tan x；2X(3) y = 2sin 2 1.3,、一, 2解先变形：y = J2x ,31再求导：V' =(6 .已知函数f(x)

10、的导函数为f' (x),且满足关系式f(x)=x2+3xf' (2) + In x,则f' (2)>=322x2.sin x(2)先变形：y=sn一，再求导：cos x, sin x, _ sin x ' . cos xn x . cos x ' _ 1,y cos xcos2xcos 2x.(3)先变形：y= cos x,再求导： y' = (cos x) ' =一 (sin x) = sin x.逆向问题已知 f (x) =x(2 017 +ln x),若 f ' (xo)=2 018 ,则 xo=.1 因为 f (x)

11、 =x(2 017 +ln x),所以 f ' (x) = 2 017 + ln x+1 = 2 018 + In x,又 f ' (xo)=2 018 ,所以 2 018+In x0 = 2 018 ,所以 x0=1.后点坪 求导之前先对函数进行化简减小运算量.如本例 (1)(3).考向2|抽象函数求导融典例已知 f(x) =x2+2xf ' (1),则 f ' (0) =. 4 . f ' (x) = 2x+2f ' (1), f ' (1) = 2 + 2f ' (1), f，(1) =- 2, f' (0)=2f&

12、#39; (1) = 2X ( 2) = 4.|起点评赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f ' (1)为常数，然后借助导数运算法则计算f' (x),最后分别令x=1, x=0代入f' (x)求解即可.忸映题1.已知函数f(x) = exln x, f' (x)为f(x)的导函数，则f ' (1)的值为e 由题意得 f' (x) = exIn x+ ex - 则 f' (1) = e. x-9 因为 f(x) =x2+3xf ' (2) + ln x,所以 f ' (x) =2x + 3f ' (2) + 1,所

13、以 f ' (2) 4x=4+ 3f ' (2) + 2= 3f ' (2) + 2，所以 f ' (2)=-.3.求下列函数的导数:(1) y = cos x sin x;(2) y = (x+1)( x+ 2)( x+3);In xy = x2+1.x) ' = sin x cos x.解(1) y' = (cos x) ' (sin(3) . y=(x+1)( x+2)( x + 3)=(x2+3x+ 2)( x+3)=x3+ 6x2+ 11x + 6,，y' =3x2+12x+11.y'In x 'x2+1

14、 In xx2+1x2+ 1 2x2+1 2xln xx2+1 21 2ln x +1 x x2 1 2。考点2导数的几何意义|喉通法导数几何意义的应用类型及求解思路(1)已知切点A(x0, f(xo)求斜率k,即求该点处的导数值：k=f' (xo).(2)若求过点P(xo , yo)的切线方程，可设切点为(x1 , y。，由y1 = fx1,一求解即可.yo y1 = fx1xox1考向l|求切线方程累典例(1) (2。19 全国卷I )曲线y=3(x2+x)ex在点(。,。)处的切线方程为 .(2)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(。，一1),并且与曲线y=f(x)相切，

15、则直线 l的方程为.(1)3 x-y=0 (2) x-y-1 = 0 (1) .y' = 3(x2+3x+1)e x, 曲线在点(0,0)处的切线 斜率k = y，| x=o= 3,曲线在点(0,0)处的切线方程为y = 3x.(2) 点(0, - 1)不在曲线 f(x)=xln x 上,，设切点为(xo, yo).又 f' (x) = 1+ ln x,，直线l的方程为y+1 = (1+ln xo)x.yo= xoln xo,由解得 X0=1, yo=0.yo+ 1 = 1 + ln xo xo,，直线l的方程为y=x-1,即x y1=0.|起点评(1)求解曲线切线问题的关键是

16、求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围；(2)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.如本例 (1)是 “在点(0,0) ”，本例(2)是“过点(0, 1) ”，要注意二者的区别.考向2 求切点坐标融典例(2019 江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(一e, - 1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.(e,1)设 A(x。，y°),由 y'=得 k= xx。所以在点A处的切线方程为y ln x° = x(x x0).因为切线经过点(一e, 1),所以一1一ln x0=，一ex

17、0).所以 In *0 = £,入e令 g(x) = ln x-r(x>0), x则 g' (x) = ：+ x2，则 g' (x)>0,1 g(x)在(0 , +8)上为增函数.又 g(e)=0, ln x=e有唯一解 x = e. x，x0=e.，点A的坐标为(e,1).|畦点评f ' (x) = k( k为切线斜率)的解即为切点的横坐标，抓住切点既在曲线上也在切线上，是求解此类问题的关键.考向3|求参数的值融典例(1) (2019 全国卷出)已知曲线y=ae、+xln x在点(1 , ae)处的切线方程为y = 2x + b,则()A. a

18、= e, b=1B. a=e, b= 1C. a = e1,b=1D. a=e1, b= 1一，1 27(2)已知f(x) = ln x, g(x)=x+m疔2(m<0),直线l与函数f(x) , g(x)的图像都相 切，与f(x)图像的切点为(1 , f(1),则m=.(1) D (2) -2 (1) -. y, = aex+ln x+ 1,，y' h-1 = ae+1, -2=ae+1, .-.a=e 1.切点为(1,1),将(1,1)代入 y = 2x+b,得 1 = 2+b,b= 1,故选 D.1(2) ：f' (x) =- 直线 l 的斜率 k=f' (

19、1) = 1. x又f(1)=0, 切线l的方程为y = x-1.g' (x)=x+mi设直线l与g(x)的图像的切点为(x0, y0),EF1 27则有 x0+m= 1, yo=x01, yo=2xo+mx+2, m<0,mi= 2.|展点评 已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方 程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围.考向$导数与函数图像思典例(1)已知函数y=f (x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f' (x)的图像如图所示，则该函数的图像是 ()A11cD(2)已知y=f(x)是可导函数，如图，直线 y=kx + 2是曲线y=f(x)在x= 3处的切线, 令 g(x) = xf(x), g' ( x)是 g(x)的导函数，则 g' (3) =.y f 片/U)(1) B (2)0(1)由y = f ' (x)的图像是先上升后下降可知， 函数y=f (x)图像的切线的斜率先增大后减小，故选 B.(2)由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于一1, f ' (3) = 1. 33 g(x) =xf (x) , g