数学：23平面向量的基本定理及坐标表示-ppt课件

1、1、平面向量的坐标表示与平面向量分、平面向量的坐标表示与平面向量分解定理的关系。解定理的关系。2、平面向量的坐标是如何定义的？、平面向量的坐标是如何定义的？3、平面向量的运算有何特点？、平面向量的运算有何特点？ 类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的恣意向量恣意向量 ，均可以分解为不共线的两个向量，均可以分解为不共线的两个向量 和和 使得使得a a1 11 1a a2 22 2 a a= =a a1 11 1a a+2 22 2 a a 在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是情形，把一个向量分解为两个相互垂直的

2、向量，情形，把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解。叫做把向量正交分解。 我们知道，在平面直角坐标系，每一个我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数即它的坐标表示，点都可用一对有序实数即它的坐标表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？ 在平面上，假设选取相互垂直的向量作为在平面上，假设选取相互垂直的向量作为基底时，会为我们研讨问题带来方便。基底时，会为我们研讨问题带来方便。 我们把我们把x,y)x,y)叫做向量叫做向量a a 的的直角坐标，记作直角坐标，记作 a=(x a=(x，y),y), 其中其中x x叫做叫做a

3、a 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做a a在在y y轴上的坐标，轴上的坐标，x ,yx ,y叫叫做向量的坐标表示。做向量的坐标表示。ayjiO图 1xxiyj a=xi+yj1，00，10，0i=i=j=j=0=0=其中其中i，j为向量为向量 i，j ayjiO图 1xxiyj其中其中xi为为x i，yj为为y jyxOyxjAx,ya如图，在直角坐标平面内，以原如图，在直角坐标平面内，以原点点O为起点作为起点作OA=a，那么点，那么点A的位的位置由置由a独一确定。独一确定。设设OA=xi+yj，那么向量，那么向量OA的坐标的坐标x,y)就是点就是点A的坐标；反过来，的坐标；反

4、过来，点点A的坐标的坐标x,y)也就是向量也就是向量OA的坐标。因此，在平面直角坐标的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用系内，每一个平面向量都可以用一对实数独一表示。一对实数独一表示。i例例1 如图，用基底如图，用基底i，j分别表示向量分别表示向量a、b、c、d ,并求出它们的坐标。并求出它们的坐标。jyxOiaA1AA2bcd解：由图解：由图3可知可知a=AA1+AA2=2i+3j, a=(2,3) 同理，同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)知知 ， 他能得出他能得出 ， ，的坐标吗？的坐标吗？1 11 1a=

5、(x ,y )a=(x ,y )2 22 2b=(x ,y )b=(x ,y )a+ba+b-a ba b a a知，知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，那，那么么 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j即即 a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)这就是说，两个向量和与差的坐标分别等这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。于这两个向量相应坐标的和与差。结论：结论： 一个向量的坐标等于表示此向量一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的的有向线段的终点

6、的坐标减去始点的坐标。坐标。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如图，知如图，知A(x1,y1),B(x2,y2), 那么那么 AB= OB - OA = (x2,y2) - (x1,y1) = (x2-x1,y2-y1)yxOB(x2,y2)A(x1,y1)他能在图中标出坐标为他能在图中标出坐标为 的的P点吗？点吗？2 21 12 21 1( (x x - -x x , ,y y - -y y ) )P例例2 知知a2，1，b3，4，求求a+b，ab，3a+4b例例3 知平行四边形知平行四边形ABCD的三个定点的三个定点A、B、C的坐标分别为的坐标分别为2，1、1，3、3，4，求顶点，求顶

7、点D的坐标的坐标例例4 知平行四边形知平行四边形ABCD的三个定点的三个定点A、B、C的坐标分别为的坐标分别为2，1、1，3、3，4，求顶点，求顶点D的坐标的坐标 平行四边形平行四边形ABCD的对角线交于的对角线交于点点O,且知道且知道AD=3，7， AB=-2，1，求，求OB坐标。坐标。 y1= y2问题：共线向量如何用问题：共线向量如何用坐标来表示呢？坐标来表示呢？消去消去后得后得 也就是说，也就是说，a/b(b0)的等价表示是的等价表示是 x1y2-x2y1=0 x1y2-x2y1=0练习：以下向量组中，能作为表示它练习：以下向量组中，能作为表示它们所在平面内一切向量的基底，正确们所在平面内一切向量的基底，正确的有的有 1e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )2e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 )3e1=( 2 , -3