高三复习二项式定理知识点题型方法归纳

1、式定理知1型方法归纳SANY 标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#绵阳市开元中学高2014级高三复习二项式定理知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名：知识梳理1 .二项式定理：(a+6)°=C；N+ 或+ C：Zf ( WN*)这个公式所表示的定理叫二 项式定理，右边的多项式叫(a+ 6尸的二项展开式. 其中的系 数仁(r=0, 1,，a)叫二项式系 数.式中的方叫二项展开 式的通项,用A+1表示，即通项 备尸磔瓦2 .二项展开式形式上的特点(1)项数为a+L(2)各项的次数都等于二项式的 幕指数n,即a与6的指数的和 为n.(3)字母a按降幕

2、排列,从第一 项开始，次数由a逐项减1直到 零；字母b按升号排列,从第一 项起，次数由零逐项增1直到几二项式的系数从翳CL - 直到C，Cf.3 .二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距 离”的两个二项式系数相等.即 Cr _ c一/增减性与最大值：二项式系数 仁，当小时，二项式系数逐 乙渐增大.由对称性知它的后半部 分是逐渐减小的；当A是偶数时，中间一项若取得最大值；当K-1n是奇数时，中间两项C,7 = C,7 取得最大值.(3)各二项式系数和:或+U+C： +仁+CN；c；+c：+C+=C+c：+c： += 一个防范运用二项式定理一定要牢记通项 注意(a+6尸与(6 、, + a)”虽

3、然相同，但具体到它们展 开式的某一项时是不同的，一定 要注意顺序问题，另外二项展开 式的二项式系数与该项的(字母) 系数是两个不同的概念，前者只 指C"而后者是字母外的部 分.前者只与A和r有关，恒为 正，后者还与a, 6有关，可正可 负.一个定理二项式定理可利用数学归纳法证 明，也可根据次数，项数和系数 利用排列组合的知识推导二项式 定理.因此二项式定理是排列组 合知识的发展和延续.两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式 的通项可求指定的项或指定项的 系数等.(2)展开式的应用：利用展开式 可证明与二项式系数有关的等 式；可证明不等式；可证明 整除问题；可做近似计算等.三条性质对

4、称性增减性J至项 二项式系数的和；二.题型示例【题型一】求展开特定项例1： (1 + 3才尸(其中£及且 26)的展开式中V与d的系数 相等，则/?=()解：由条件得 女5=43， 加 _ 史5!(力-5) !6!(/?6) !X3,A3(n-5)=6, a=7.故选 B.(x y A8例2： (2014 大纲)|不一近 的 展开式中/的系数为.(用数字作答)解：十一十|展开式的通项公式为“d书8 1一书r / 、,8-3 37二(T) V俨，33令85r=2,解得r=4,此时产 乙乙-4 = 2,所以展开式中/的系 数为(- l) K=70.故填70.【题型二】求(“ + 4+(,

5、+y)" 展开特定项例1：在(1一工/+(1才)6+ (1 x)；+(lx)s 的展开式 中，含V的项的系数是()A. 74B. 121C. -74D. -121解析展开式中含V项的系数为 cH-i)8+c：(-i)3+c?(- l)3+cl(-l)3=-121.【题型三】求a + y)” 展开特定项例1： (2013 全国课标卷H) 已知(1 + ax) (l + x)s的展开式中 /的系数为5,则a=()A. 4B. - 3C. 2D. 1解：(1 + ax) (1 + x)'的展开 式中 3 项为 GY + ax dx= 10a,2 + 5aH= (10+5a) x.片

6、的系数为5,J10 + 5a=5, a=-l.故选 D.例2： (2014浙江卷)在(1 + x)6(l + y)”的展开式中，记 三/项的系数为f(m而，则A3, 0)+f(2, l)+f(l, 2) + f(0, 3) = ()A. 45B. 60C120D. 210解析在(l + x)6的展开式 中，/的系数为端，在(1 +力 的展开式中，/的系数为C, 故4=C：C：；.从而 A3, 0) =C|=20, f(2, 1)= C； C： = 60, f(L 2) =Cl C； 36» f(0, 3)=C： = 4,所以 A3, 0)+f(2, l)+f(l, 2) + f(0,

7、 3)=120,故选 C.例3：已知数列为是等差 数列，且,+%=1。，则在 。一%)(工一4)&一2)的展开式 中，N的系数为.解：一的系数为 一(a1+ + + ) = -6(牝 + a?) = -60【题型四】求(x+y + z)”展开 特定项例1：求停+1+闾>0) 的展开式经整理后的常数项.解法一：仔+：+9f在x>(、q i v0。时可化为圭+不/ ,因而/ 厂、10 2r(5) ，则r=5时为常数项,即以632 =2 '解法二：所给的式子为三项 式，采用两个计数原理求解.分三类：5个式子均取/ 5蜴则，(啦)=42；取一个也一个;，三个m，则=20陋取

8、两个捻，两个L 一个 2 x镜,则弱2附所以，常数项为42 + 202152 6322 2 .点拨：三项式的展开式问 题，通常可用解法一化为二项式 问题，或用解法二化为计数问题.例2：若将(、+)，+z)i°展开为多项式，经过合并同类项后它的 项数为().A. 11B. 33C. 55D. 66解：展开后，每一项都形如 xaybz.(,其中 a+h+c = O ,该方 程非负整数解的对数为Cl = 66。例3： 2015 课标全国卷I(x?+x+y)5的展开式 中，/，的系数为()A. 10 B. 20 C. 30D. 60解析易知聋+=仁(3+ x”一了，令 r=2,则 7；=Ci

9、 (1+x)V，对于二项式(炉+ X)、由工+1 =仁(/)3 R = C； 尸,令t=i,所以的 系数为C；C；=30.【题型五】二项式展开逆向 问题例1:(2013 广州毕业班综合测试)若 C+3C+3+ 3丁2仁7 + =85,则a的值为().4 C解：由C+3d+ 3丁'仁7 + 3时|=：(1 + 3/-1=85,解 得n=4.故选B.【题型六】赋值法求系数 (和)问题例1：已知(1 2x)'=a+囱1才求：(1) ai + a： + + a-； (2)鼻+田+全+决；(3)条+d+ a +条； (4) | 4 | + | a | + 屋 | + + | 备 |.解：

10、令 x= 1» 则 ao+ai + a： + 备+& + 全+&+全=-L ® 令 x= l,则 a ai + 且:一为+国a+%a； = 3'(1) :&)= = 1, ； a1 + a： + 国+” + 57= -2.(2)(一)+ 2,得4 +a 1 37 + 全+比= z = -1094.乙(+)+ 2 ,得ao + a： 1 + 3'+ & + &=-= 1093. ®乙(4) V (1-2)7的展开式中, 3q 9 a二，3 9 % 大9 iflj a， 83,全，a；小于零，:.& I

11、+ I a I + I 备 I + + 告| =(备+d+国+备)(鼻+备 +备+备),所求即为一(亦即 )，其值为2187.点拨：“赋值法”普遍运 用于恒等式，是一种处理二项式 相关问题比较常用的方法.对形如 (ax+8)”，(aM+6x+c)R(a, b, c£R)的式子求其展开式各项系数 之和，只需令X=1即可；对形如 (ax+6y)”(a, 6£R)的式子求其 展开式各项系数之和，只需令x = y=l即可.若f(X)=+ &X +全片 H 1品/，则f(x)展开式中各 项系数之和为H1),奇数项系数 之和为 a +生+ a += / ( 1 ) +f(1)5

12、，偶数项系数 之和为 a + 33 +全+ ,二 f 一f (一 1)2,例 2：设= a<)+ aiX+企M+全,“，则(a +& + , + ,1'(包+会+备+比£ /= .解：设 f(x)=芈+J2： 则(或+全+& +(a + 会+全+全公- J' = (a +a+ 8 H F aZn ar az a3%i) (ao + a： + ai + + a：+ ax + as + % + 公-1) =/( - 1) /(l)=x= 得：60 = 6a,即 53 = 10.故填10.%016的值为例3：已知(x+l)"x+2)如=备+曷

13、(x+2) +色+2)2+%16(x+ 2严，则怖+ $ +浣+3解：依题意令x=一.,得 乙3 12( 3 A 2014一尹“"f 3 ( 3 V& -+2j + a： -5+2, +, +3201652016 一歹 + 2)，令 x= -2 得.31 Qz S352016a=0,万+/+亍+ 2：016 =”)2016【题型七】平移后系数问题例1：若将函数f(x)=x5表 示为 f(x) =&+a：(1 + x)+全(1 + x)'+,一 + a5(l + x)5其中 3q, alf az ,，a$为实数，则az =解法一：令 x+l = y, (y 1)

14、3 = a0 + aiy+ a2+ , + a3y ,故 &3=C( - 1) 10.解法二：由等式两边对应项 系数相等.即： f 1 »I 55 H- 51 - 0 ,解得 <23=10.1生+ 6?a + 23=0,解法三：对等式：f(x) X =备+包(1+才)+生(1+X),+, + as(l+x)s两边连续对x求导三次 得：60x = 6a3 + 24al (1 + x) + 60a5(l + x)2,再运用赋值法，令【题型八】二项式系数、系 数最大值问题例1;卜&十3”的展开式中 第五项和第六项的二项式系数 最大，则第四项为.解析由已知条件第五项和

15、第六项二项式系数最大，得n= 9,卜0+七；9展开式的第四项为 X” 3)，.即耳例2：把(1一改)9的展开式按 x的升累排列，系数最大的项 是第 项A. 4B. 5C. 6D. 7解析(I一,。展开式中第r + 1项的系数为C；( 1)',易知当 r=4时，系数最大，即第5项系 数最大，选B.例3： (1 + 2才厂的展开式中第 6项与第7项的系数相等，求展 开式中二项式系数最大的项和系 数最大的项.解：入=。：(2.)$, T- = C (2x)e,依题意有C2，=42、 解得=8.所以（l + 2x），的展开式 中，二项式系数最大的项为3 = C （2x） '=l 120

16、d.设第r+l项系数最大，则有 fC 2厂二 <解得5WrW6.所以r=5或r =6,所以系数最大的项为4 = 1 792d或 T：=l 792/点拨：G）求二项式系数最大项： 如果A是偶数，则中间一项 第胃+1项）的二项式系数最大； 如果是奇数，则中间两项（第 中项与第4+1项）的二项式 乙乙系数相等并最大.（2）求展开式系 数最大项：如求（a + 6x） = （a , 6W而的展开式系数最大的项，一 般是采用待定系数法，列出不等Ar 三 Ar-1，式组' » , 从而解出r,即得 14 三 4+1，展开式系数最大的项.【题型九】两边求导法求特 定数列和例 1：若(2

17、x3)' = a+aix+ azX + aX + a5x ,则 a +2 a： + 3a3 + 4al + 5a5 =解析原等式两边求导得 5(2x3)1 , (2x3) ' =a： + 2azx- 3a3f + 4国 + 5a，令 上式中 x=l,得 at-2az-2>az +4国 +5a5= 10.【题型十】整除问题例 1:设 a£Z,且 0Wa<13,若5fg+a能被13整除，则3=（）A. 0 B. 1 C. 11 D. 12解析 512 012+a=（52-l）2M3+ a=C； 012 52: m C；值 522 011+ +；：；<52

18、 （-1）2011 +：；（一尸+小C? ox： 52: O1-Cio1: 522 011+ +眠X 52（-1）3011自1被13整除.且51,m+a能被13整除，盘（-l）2"2+a=i + a 也能被13整除.因此a可取值12.例2：已知m是一个给定的 正整数，如果两个整数a, 6除以 m所得的余数相同，则称a与b 对模m同余，记作a=b（mod 向,例如：5=13 mod 4）.2：01°三r（md7）,则，可能等于（）.2014 C解：22015 = 2:X 23X671 = 4 X 86T1 =4 （7 + 1 严=4 （76 + 僚 7° + +。：7+1）.因此2a除以7的余 数为4.经验证，只有201