Gauss-Seidel迭代矩阵求法的思考

1、Gauss-Seide迭代矩阵求法的思考在迭代法收敛性的判别中，我们有充分条件：若迭代矩阵B的某种范数怛1=q<1,贝U迭代法x(k*)=Bx的+d,k=0,1，对任意的初始向量x(0)都收敛于方程组Ax=b的精确解x*。从这个条件中我们可以看出，想要知道迭代法是否收敛，就要知道迭代矩阵(当然如果系数矩阵是正定的或严格对角占优的，那就不用知道其迭代矩阵，因为这时它的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代一定收敛)，Jacobi迭代矩阵为Bj=D,(L+U)=I-D/A,Gauss-Seidel迭代矩阵Bg=-(D+L),U，这两个矩阵中都涉及到了矩阵的逆从上高等代数时学到矩阵的逆

2、开始，就一直惧怕有关矩阵逆的题目，因为求矩阵A的逆Aa1=A*=.一.*A,这就必须求出A的行列式A与A的伴随矩阵A,对于求矩阵A的行列式，就是一个繁琐的过程，计算量大且易出错，而这儿还不仅如此,这儿还要求出矩阵A的伴随矩阵Ao如果矩阵a11a2a1na21a22a2naaa,则t3n1an2annA=A11A21.*A12A22A=AinA2na11An1aAn2,而具中的Aj=ai,1ai书,1Annan1&,j1ma1,j1man9a1ai,j1-ai,nai1,j1-ai1,j1-ai1,naan,j1an,j1-ann因此求A*的计算量比求A的行列式的计算量还要大的多，所以A

3、，很难求。因此数学家便开始寻找求A，的相对容易的方法，其中有一种初等变换的方法，即对(AE世行初等行变换，当把A变成E时，E便变成了A,，此方法要简单的多，但在变换过程中要消耗大量空间。在用迭代法解线性方程组的方法中，都涉及到了一个矩阵的逆，而且其涉及到的还不仅仅是一个矩阵的逆那么简单，其涉及到的是用一个矩阵的逆去乘另一个矩阵，如果一步一步算，想要算出矩阵的逆，再算两个矩阵相乘，没有一步是简单的，两步计算过程都很繁琐，极易出错。仔细观察后，我发现正是因为矩阵的逆与另一矩阵相乘，从而在整体上出现了相对简单的计算，其过程是略去矩阵逆的计算，从而简化计算。aiiXi,812X2'"

4、-amXn=b1对于n介线性方程组：，即Ax=b,其系数矩阵RniXi+an2X2+8nnXn=。A=3ijK非奇异且a.#0(i=i,2,3,，n),对k=0,i,2,则可建立Jacobi迭代格式：Xi(ki)ki)(ki)Xni/(k)(k)(k)(-ai2X2ai3X3-ainXnbl),aiii/(k)(k)(k)(-a2iXia23X3-a2nXnb2),a22(-aniXi-an2X2-_an,nJXn1bn)-ann我们知道Jacobi迭代矩阵为Bj=-D/(L+U)=I-D/A(2),其中aiia220ai2a13ain0a23a2nU0工：*an,nI00a2i0L=a3ia

5、320aa+,+.anian2an,n,0(3)。由式可看出，计算Bj,首先需求出D。然后再作矩阵乘法。当然这儿由"an于D的特殊性，Da很好求，D-*=a22ia22ann10a12-a11ai3aiiain1a11a2ia23a2n0iaiia22a22Bj=I-DA=a3ia320_S3n_a33a33a33-sama*，Banian2an301annannann就会发现，其实Bj可以直接写出来，无需0ai2-a11a2i0aii计算，由可得Bj=a31a32a33aa33aanian2如果我们抛开式，直接看,_ain_1aiia11a23a2na22a220一.a3n,其直接

6、从线a33a+.a_an30ann_annann性方程组中得来，显然快于一步步的计算，而且第二中算法不仅简单还不容易出错，提高了求迭代矩阵的效率。当然，第一种算法的D可以直接写出很好求,从而效率也没提高多少，但对于Gauss-Seidel迭代，就不然了。Xi(k1)(-ai2x2k)-ai3x3k)k1)an1-a1nxnk)-bi),a22(-a2ixi(k1)-a23x3k)-a2nxnk)-b2),(k1)xn1z(ki)(ki)一(-anixi-an2x2ann(k1)-an,n4Xn/bn).我们知道Gauss-Seidel迭代矩阵Bg=(D+L),U(5),其中矩阵D,L,U与上述

7、中一样。但此处（D+L），就不是太好求了，即使它是个下三角矩阵。然而求出（D+L）”后，还要进行矩阵的乘法，因为区=-（D+L）“U即:Gauss-Seidel迭代格式:a2ia22Bg=(D+L)U=a3ia32a33janian2an3I0&2ai30a23I0annaina2naan,n0计算有点繁琐，然而，我产生一种想法，其是否也可与Jacobi迭代矩阵那样，直接写出来了？通过一番计算，再加上实例的体会，我找出了一种相对简洁的关系。把式写成xi(ki)=(-ai2x2k)-ai3x3k)-sinxnk)-h)iaii(ki)(ki)(k)(k)a22x2-a2ixia23x3-

8、a2nxnb22（k+）（k*（k书）.（Ui）,、fnnxn=-anixi-an2x2-an,n,Xn*bnn）把i）代入2）并整理得（由于我们的目的是得到矩阵，所以在此就不考虑以心,，bn了）a22x2ki)=(毋*3)x2k)aii'("a2i,-阻拓。,aii(-a2i*R-a2n)xnk)aii2')令bi2=一呢.=一加,，bin=一'1n，则i)变为Xi(k+)=bi2x2k)+h3x3k)+b1n姆aiiaiiaii(-a2i*hn-a2n)/a22xnk)。此时2'）式变为x2k"=(-a2i*bi2)/a22x2k)(fi

9、3-a23)/a22x3k)2A)。令b22=-a21bl2,b23=-a21bi3-a23，,b2n=-a21b1n-a2n,则2A)式变为a22a22a22(k+)u(k)x,(k).(k)。把、式代入3)式整理得x2=>2乂2飞23乂3飞2/门(k1).(k)(k)a33x3-(a31bi2-a32b22)x2(-a31bi3-a32b23)x33')a31b12-a32b22.,b33-a31b13a32b23,b34a31b14-a32b24-a34a33a33a33-a31bin-a32b2n-a3na33则3')式变为必的=b32x2k)+b33x3&quo

10、t;+b34x4k)+b3nXnk)如此一直在前一步的基础上求后一步矩阵中的元素的值，一直进行下去，则n-1)式变为xnk=0,2$2+4/21+a-nxnk)则第n个式子变为annxn)=(-an,1b12-an,2b22-_an,nJbnd,2)x2)，(-an,1b13-an,2b23-an,nJbnJ,3)x3)(-an,1b1,n-an,2b2,n-an,n二bi,n)xn=bn,2x2k)bn,3x3k)bn,4x4k)bn,nx(k)n从而得到Gauss-Seidel迭代矩阵b12b22bl3b23bb2一0b12b1nl10-a12-a1nBg03b22b2n9=01a11b2

11、2sa11asb2nm0bn2bnn_10bn2bnn.0b12b13-bina21b12-a21b13一a23a21bln-a2n00Ia22a22a220bn2bn3.bnn一a31bl2-a32b22一a31b1n一a32b2n-a3na33a33，%+b,naaa-a,1b1,iJL_ai,iJ，bJJ-a,1b,T"一小力山书一小斗-ai,1b,n=,'一2,ijb_|,n-"na,iai,iai,iiaabn,ibnJ+bn,n1b12b13b1nb22b23b2nb32b33b3naaa-an,1b12an,nbn2-an,1b13an,n'b

12、n,3-an,1b1nan,nbnnan,nan,nan,n0-0010-000接下来我用书上一个例子来展现上述方法求迭代矩阵的优越性:8x1x2-2x3=9,例设方程组为43x1-10x2+x3=19,试分别写出Jacobi迭代和5x1-2x2+20x3=72,Gauss-Seidel迭代格式以及相应的迭代矩阵。解：原方程的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式分别为(k1)Xi(k1)X2(k1)X3(-x2k)2x3k)9),8(-3x1(k)-x3k)+19),和10(-5x1(k)-2x2k),72),20x2k1)=k1)x1(k1)(-x2k)2x3k)8-(-3

13、x1(k1)-x3k1)19),101(-5娟2x2k1)72),20由可直接得Jacobi迭代矩阵为Bj=0.3140.140.1而相应的Gauss-Seidel迭代矩阵可由（*）式得:-3Bg二1811)I<8J10b321143-1410b33-0.125-0.0375-5(-0.125)2(-0.0375)0.250.175-50.2520.1752020-00-0-0.125-0.03750.02750.250.175-0.045与书上用公式算所得结果相同，但这种计算显然很简洁。对于3阶以上的迭代矩阵的计算，我的方法将会节约大量时间，而且还不容易出错。以上我们讨论的是方阵，但从

14、（*）式可以看出，我们也可以求出不是方阵的Bg,这便给人一种想法，是否不是方阵时也可用迭代法求其解，但有一点是肯定的，当方程个数少于未知数个数时，线性方程组有无穷多解，因此这个问题有可能是否定的，即无法用迭代法求系数矩阵不是方阵的解，此问题还有待研究。以下是我写的有关我的新方法的matlab代码，其中也包含书上的方法求迭代矩阵的代码，我输入一个四阶的系数矩阵，由两种方法所得出的Gauss-Seidel迭代矩阵完全相同。Matlab代码:%<Gauss-Seidel矩阵functionG_SB(A)m,n=size(A);ifm=ndisp('系数矩阵不是方阵)returnend%

15、用矩阵运算求Gauss-Seidel迭代矩阵D=diag(diag(A);U=-triu(A,1);L=tril(A,-1);disp('矩阵运算求出的迭代矩阵')B1=inv(D+L)*U,%B=zeros(m,n);forj=2:nB(1,j)=-A(1,j)/A(1,1);endfori=2:mforj=2:nk=1:i-1;ifi>=jB(i,j)=sum(-A(i,k)*B(k,j)/A(i,i);continueendB(i,j)=(sum(-A(i,k)*B(k,j)-A(i,j)/A(i,i);endenddisp(直接法求出的迭代矩阵)B,end给定系数矩阵，并得结果：>>A=51-1