山东建筑大学材料力学第七章~1

1、应力和应变分析应力和应变分析 强度理论强度理论第第 七章七章目录目录7. 1 应力状态概述应力状态概述构件内不同的点有不同的应力。一点的应力是该点坐标的函数。构件内不同的点有不同的应力。一点的应力是该点坐标的函数。通过一点的截面可以有不同的方位，截面上的应力又随截面的通过一点的截面可以有不同的方位，截面上的应力又随截面的方位而变化。方位而变化。例例：轴向拉伸杆：轴向拉伸杆, ,包围包围 A 点以纵横六个截面从杆内截取单元体。点以纵横六个截面从杆内截取单元体。P PP PAAP PP PA法一法一单元体的左，右两侧面是杆件横截面的一部分；上，下，前，单元体的左，右两侧面是杆件横截面的一部分；上，

2、下，前，后四个面都是平行于轴线的纵向面。后四个面都是平行于轴线的纵向面。AFN AAFN A AAP PP PA法二法二单元体的四个侧面虽与纸面垂直，但于杆件轴线既不平行也不单元体的四个侧面虽与纸面垂直，但于杆件轴线既不平行也不垂直。垂直。AP PP PA A cos22sin2 2、受力构件内应力特征、受力构件内应力特征 一，一点处的应力状态一，一点处的应力状态1，受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合，称为，受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合，称为 一点处的应力状态。一点处的应力状态。（1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的；）构件不同截面上的应力状况一般是不同的；（2）构件

3、同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的；）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的；（3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。P PAa ab bc cd dA二、原始单元体法二、原始单元体法 从受力构件内一点处切出的从受力构件内一点处切出的单元体，如果各侧面（单元体，如果各侧面（一般为一般为横截面横截面）上的应力均为已知，）上的应力均为已知，则这样的单元体称为则这样的单元体称为原始单元体法。原始单元体法。 P PA Aa ab bc cd dA 单元体特征单元体特征单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；单元体的尺

4、寸无限小，每个面上应力均匀分布；任意一对平行平面上的应力相等，等于通过任意一对平行平面上的应力相等，等于通过 A 点的平行面点的平行面上的应力。上的应力。bISFIyMzzSz* a ab bc cd dA 单元体的应力状态就可以代表一点的的应力状态单元体的应力状态就可以代表一点的的应力状态三、主应力和应力状态的分类三、主应力和应力状态的分类从一点处以不同方位截取的诸从一点处以不同方位截取的诸单元体单元体中，有一个特殊中，有一个特殊的的单元体，单元体，在这个在这个单元体单元体侧面上只有正应力而无切应力。侧面上只有正应力而无切应力。这样的这样的单元体单元体称为该点处的称为该点处的 主主单元体单元

5、体。主主单元体的侧面称为单元体的侧面称为 主主平面平面（ 通过该点处所取的诸截面中通过该点处所取的诸截面中没有切应力的那个截面即是该点处的没有切应力的那个截面即是该点处的 主主平面平面 ）主主平面上的正应力称为平面上的正应力称为 主主应力应力主主平面的法线方向叫平面的法线方向叫 主主方向方向，即，即主主应力的方向应力的方向123321 说明说明: 一点处必定存在这样的一个单元体一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直三个相互垂直的面均为主平面的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为三个互相垂直的主应力分别记为 1 , 2 , 3 且规定按代数且规定按代数值大小的顺序来排列值大小的顺

6、序来排列, 即即（1）单向应力状态：只有一个主应力不为零）单向应力状态：只有一个主应力不为零（2）二向应力状态）二向应力状态 ：有个二主应力不等于零。：有个二主应力不等于零。（3）三向应力状态）三向应力状态 ：主单元体上的三个应力均不等于零：主单元体上的三个应力均不等于零二向和三向应力状态称为复杂应力状态二向和三向应力状态称为复杂应力状态单向应力状态单向应力状态称为简单称为简单应力状态应力状态例题例题：一蒸汽锅炉汽包承受最大压强为：一蒸汽锅炉汽包承受最大压强为 p , 汽包圆筒部分汽包圆筒部分的内直径为的内直径为 D ，厚度为，厚度为 t , 且且 t 远小于远小于D 。分析。分析 圆筒部分圆

7、筒部分内壁内壁 的应力状态。的应力状态。7. 2 二向和三向应力状态的实例二向和三向应力状态的实例pDyzt图为汽包的剖面图。内壁受压强图为汽包的剖面图。内壁受压强 p 的作用的作用 。解：解：包围内壁任一点，沿直径方向取一单元体，单元体的侧面为横包围内壁任一点，沿直径方向取一单元体，单元体的侧面为横截面，上，下面为含直径的纵向截面，前面为内表面。截面，上，下面为含直径的纵向截面，前面为内表面。包含直径的纵向截面包含直径的纵向截面横截面横截面内表面内表面（1）横截面上的应力）横截面上的应力假想地，用一垂直于轴线的平面将汽包分成两部分，取右边为研假想地，用一垂直于轴线的平面将汽包分成两部分，取右

8、边为研究对象。究对象。n n面为横截面面为横截面 。pn nn nnnnpnn研究对象研究对象nnnpPnn研究对象研究对象压强压强 p的合力为的合力为 P 。则横截面上只有正应力。则横截面上只有正应力 。假设假设 。nnnp4-)2(44222DtDpDAPtpD4pDP.42( 因为因为 t D , 所以所以 A Dt )nnPD D（2）包含直径的纵向截面上的应力）包含直径的纵向截面上的应力pmmnn1用两个横截面用两个横截面 mm , nn 从圆筒部分从圆筒部分 取出单位长的圆筒研究。取出单位长的圆筒研究。直径平面直径平面由截面法，假想地用由截面法，假想地用直径平面将取出的单直径平面将

9、取出的单位长度的圆筒分成两位长度的圆筒分成两部分部分。取下半部分为取下半部分为研究对象。研究对象。包含直径的纵向平面包含直径的纵向平面 1tpyO 1tpyO包含直径的纵截面上的内力为轴力包含直径的纵截面上的内力为轴力 FN 。R 是外力在是外力在 y 轴上的投影，轴上的投影，RFNFN 1tp yORFNFN该截面上的应力为正应力该截面上的应力为正应力 ”，且，且 假设为均匀分布假设为均匀分布。 dDds2 2RFN yORFNFN取圆心角为取圆心角为 d 的微元面积，其弧上为的微元面积，其弧上为 dsd d ds dDds2 2RFN yORFNFNd d ds微元面积为微元面积为dS.1

10、dS.1 dDds2 2RFN yORFNFNd d 微元面积上，压强的合力为微元面积上，压强的合力为P.1.dsdS.1dS.1P.1.ds dDds2 2RFN yORFNFNd d dS.1dS.1P.1.ds微元力微元力 P.1.ds 在在 y 方向的投影为方向的投影为 sin) 1( dSp sin) 1( dSp dDds2 2RFN yORFNFNd d P.1.ds sin) 1( dSp 外力在外力在 y 方向的投影为方向的投影为).(sin1 .dspR PDdDp sin21220 sin) 1( dSp2RFN yORFNFNpDR 22pDRFN tpDtFN21 .

11、 tp1 1（3）内表面的应力）内表面的应力p 内表面只有压强内表面只有压强 p ,且为压应力且为压应力包含直径的纵向截面包含直径的纵向截面横截面横截面内表面内表面 包含直径的纵向截面包含直径的纵向截面横截面横截面内表面内表面 tpD2 p tpD4= = 1 1= = 2 2= = 3 3= = 1 1= = 2 2= = 3 3tpD21 p 3tpD42 单元体为单元体为 三向应力状态三向应力状态 ，三个正应力为，三个正应力为 主应力主应力。 = = 1 1= = 2 2= = 3 3由于内壁的压强由于内壁的压强 = = p p 远小于远小于 和和 ，所以可忽略不计。，所以可忽略不计。单

12、元体看作单元体看作 二二向应力状态向应力状态 1 1 2 2 = = 1 1= = 2 2= = 3 3P P例例：分析滚珠轴承中滚珠与外圈接触点的应力状态。：分析滚珠轴承中滚珠与外圈接触点的应力状态。A包围点包围点 A , ,以垂直和平行于压力以垂直和平行于压力 P P 的平面截取单元体。的平面截取单元体。AP P单元体三个互相垂直的面皆为主平面，且三个主应力皆不为零，单元体三个互相垂直的面皆为主平面，且三个主应力皆不为零，于是得到三向应力状态。于是得到三向应力状态。A A 3 3 1 1 2 2MeF主主单元体单元体从一点处以不同方位截取的诸从一点处以不同方位截取的诸单元体单元体中，有中，

13、有一个特殊的一个特殊的单元体，单元体，在这个在这个单元体单元体侧面上只有正应力而无侧面上只有正应力而无切应力。这样的切应力。这样的单元体单元体称为该点处的称为该点处的 主主单元体单元体。复习复习主主平面平面主主单元体的侧面称为单元体的侧面称为 主主平面平面（ 通过该点处所取的通过该点处所取的诸截面中没有切应力的那个截面即是该点处的诸截面中没有切应力的那个截面即是该点处的 主主平面平面 ）主主应力应力主主平面上的正应力称为平面上的正应力称为 主主应力应力 321xyzo 7. 3 二向二向应力状态应力状态分析分析解析法解析法一，概念一，概念xyzoxyz x x 是法线与是法线与 x x 轴平行

14、面上的正应力。轴平行面上的正应力。 y y 是法线与是法线与 y y 轴平行面上的正应力。轴平行面上的正应力。 z z 是法线与是法线与 z z 轴平行面上的正应力。轴平行面上的正应力。xyzoxyxzyxyzxyzzxzyxyzoxyxzyxyzxyzzxzy第一下标第一下标第二下标第二下标 xy 表示法线与表示法线与x 轴平行面轴平行面上，沿上，沿 y 方向的切应力。方向的切应力。第一下标表示切应力所在第一下标表示切应力所在平面的法线方向。平面的法线方向。第二下标表示切应力的方向。第二下标表示切应力的方向。xyzoxyxzyxyzxyzzxzy该单元体称为一般空间应力状态。该单元体称为一般

15、空间应力状态。如果单元体有一对平行平面上的应力为零则平面应力状态。如果单元体有一对平行平面上的应力为零则平面应力状态。xyz xy xyxxyy yx yx平面应力状态的普遍形式如图平面应力状态的普遍形式如图 所示所示 。单元体上有单元体上有 x ， xy 和和 y ， yx 。yxxyz xy xyxxyy yx yx x y xy yxyx x y xy yx1 1、斜截面上的应力、斜截面上的应力（ 1 ） 假想地沿斜截面假想地沿斜截面 ef 将单元体截分为二，留下左边将单元体截分为二，留下左边部分的单体元部分的单体元 ebf 作为研究对象。作为研究对象。febn yx x y xy yx

16、febn ebf x y xy yx ebf x y xy yx ：从：从x 轴到外法线轴到外法线 n 逆时针转向为正，反之为负。逆时针转向为正，反之为负。正应力正应力 ：拉应力为正，压应力为负。：拉应力为正，压应力为负。切应力切应力 ：对单元体任一点的矩顺时针转为正，反之为负。：对单元体任一点的矩顺时针转为正，反之为负。xnebf dA cosdAxycosdAx sindAyxsindAy设斜截面设斜截面 ef 的面积为的面积为 , eb 的的面积为面积为 ， bf 的的面积为面积为 x xy yxyefb b dAebf dA cosdAxycosdAx sindAyxsindAydA（

17、2 2）平面应力状态下）平面应力状态下, , 任一斜截面任一斜截面 ( ( 截面截面 ) ) 上的应力上的应力对研究对象列对研究对象列 和和 t t 方向的方向的平衡方程并解之得：平衡方程并解之得： t t 2222 sincosxyyxyx 222cossinxyyx02222 cossinxyyxdd2 2，主应力和主平面，主应力和主平面 222 2222 cossinsincosxyyxxyyxyx求正应力的极值求正应力的极值令：令： yxxytg220190012 02222 cossinxyyxdd 1 1 和和 2 2 确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力确定两个互相垂直的平面

18、，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。02222 cossinxyyxdd正应力达到极值的面上，切应力必等于零。此平面为正应力达到极值的面上，切应力必等于零。此平面为主平面主平面。正应力的极值为主应力正应力的极值为主应力。 222 2222 cossinsincosxyyxxyyxyxyxxytg 220由公式由公式求出求出 0 0 就可确定主平面的位置。就可确定主平面的位置。 2222 sincosxyyxyx将将 0 0 代入公式代入公式得到得到 max 和和 min ( (主应力）主应力）minmax 2222xyyxyx)

19、( 主应力主应力 主平面的位置主平面的位置以以 1 1 代表代表 max作用面的方位角，作用面的方位角， 2 2 代表代表 min 作用面的方位角。作用面的方位角。 yxxytg220190012 minmax 2222xyyxyx)( （1 1） 若若 x y ，（ 1 1在在 90900 0 范围内取值范围内取值 ）则则 ，1 1 45 450 0(2) (2) 若若 x y ，则则 ， 1 1 45 450 0(3) (3) 若若 x = y ，则，则， x 0 ， 1 1 = -45= -450 0 x 0 ， 1 1 = 45= 450 0例题例题： 简支梁如图所示。已知简支梁如图所

20、示。已知 mn 截面上截面上 A 点的弯曲正应点的弯曲正应力和剪应力分别为力和剪应力分别为 = -70= -70MPa ， = = 50MPa 。确定。确定 A 点的主点的主应力及主平面的方位。应力及主平面的方位。mna aA A A l解：解：50070 xyyx,A A 因为因为 x y ，所以，所以 1= -62.50 与与 max （ 1）对应）对应4291070502.)( yxxytg 220 056252700. x x62.562.50 0 x x62.562.50 0MPaMPa96026321 A A13minmax 2222xyyxyx)( 26-96MPa例题例题：图示

21、单元体：图示单元体。试求试求 efef 截面上的应力情况及主应力和截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位。主单元体的方位。30300 0n ne ef f40MPa50MPa60MPa30300 0n ne ef f40MPa50MPa60MPa x = - 40MPa， y = 60MPa， xy = - 50MPa。 = - 300(1) (1) 求求 efef 截面上的应力截面上的应力 x = - 40MPa ， y = 60MPa ， xy = - 50MPa ， = - 300 2222300sincosxyyxyx)60sin()50()60cos(2604026040MPa3

22、.58MPa3 .182cos2sin2300 xyxMPa3 .58300 MPa3 .18300 x x y y xy y y30300 0n ne ef f 300 300 (2) (2) 求主应力和主单元体的方位求主应力和主单元体的方位16040502220 )(yxxytg204501350 因为因为 x 0，所以，所以4504500 450 450（2）求主应力）求主应力minmax 2222xyyxyx)( 1 = ， 2 = 0 ， 3 = - 1 3三，梁的主应力三，梁的主应力 主应力迹线的概念主应力迹线的概念图示一受任意横向力作用的矩形截面梁图示一受任意横向力作用的矩形截面

23、梁, 在横截面在横截面 mm上上, 分别围绕分别围绕 1, 2, 3, 4, 5 五点各取出一单元体。假设该横截面上五点各取出一单元体。假设该横截面上的剪力和弯矩都是正值。的剪力和弯矩都是正值。12345mmqP1P21 1 112345mmqP1P2 3 35450312345mmqP1P2 1 32 2222xyxx)(minmax12345mmqP1P2013所以在梁的所以在梁的 xyxy 平面内可以绘制两组正交的曲线。一组平面内可以绘制两组正交的曲线。一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力 1 1 的方向，的方向，而另一组曲线上每一点处切线的方

24、向是该点处主应力而另一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力 3 3 的方向的方向, ,这样的曲线称为梁的这样的曲线称为梁的主应力迹线主应力迹线 。梁内任一点处的两个主应力必然一个为梁内任一点处的两个主应力必然一个为拉应力拉应力, ,一个为一个为 压应力压应力, ,两者的方向互相垂直。两者的方向互相垂直。主应力迹线的概念主应力迹线的概念图中绘出的是受均布线荷载作用的简支梁的两组主应力迹线图中绘出的是受均布线荷载作用的简支梁的两组主应力迹线实线表示主应力实线表示主应力 1 的迹线的迹线, 虚线表示主应力虚线表示主应力 3 的迹线。的迹线。yx例题：薄壁圆筒扭转例题：薄壁圆筒扭转拉伸试验的示意图

25、如图所示。若拉伸试验的示意图如图所示。若F = 20KN，Me = 600 N.m ，且，且 d = 50 mm ， = 2 mm ，试求：，试求：（2）A 点主应力的大小及方向（用单元体表示）。点主应力的大小及方向（用单元体表示）。（1）A 点在指定斜截面上的应力；点在指定斜截面上的应力；300AdFFMeMe 300AdFFMeMe （1 1）A 点在指定斜截面上的应力点在指定斜截面上的应力A x xyMPaddFAFNx2612422.)( 300AdFFMeMe A x xyMPadMrMeexy6702222.)( (-)(-)300AdFFMeMe A x xy3001200A x

26、 xy3001200MPaxyyxyx845240670240226122612222001200.sin.cos.sincos MPaxy670. MPax261. 0 y1200 A x xy3001200MPaxyyx2242406702402261222001200.cos.sin.cossin MPaxy670. MPax261. 0 y1200 A x xy3001200MPaxy670. MPax261. 0 y1200 （2 2）A 点主应力的大小及方向（用单元体表示）点主应力的大小及方向（用单元体表示） max min 2222xyyxyx)(-46.3 MPa108 MPa

27、MPaMPa3460108321., A x xy3001200MPaxy670. MPax261. 0 y1200 312220.tan yxxy 0-56.7033.30 20-113.4066.60因为因为 x y y ，所以所以 1=33.30 对应主应力对应主应力 1A 1 1 = = 33.30MPaMPa3460108321., 33.30 1 3222222xyyxyx )()(一一, , 应力圆的概念应力圆的概念 222 2222 cossinsincosxyyxxyyxyx7. 4 二向应力状态分析二向应力状态分析 图解法图解法作作 直角坐标系直角坐标系0 0 222222

28、xyyxyx )()(2yx当斜截面随方位角当斜截面随方位角 变化时变化时, 其上的应力其上的应力 ， 在在 直角坐标系内的轨迹是一个直角坐标系内的轨迹是一个圆圆 。圆心位于横坐标轴圆心位于横坐标轴 ( 轴轴 ) 上，离原点的距离为上，离原点的距离为222222xyyxyx )()(222xyyx )(半径为半径为此圆习惯上称为此圆习惯上称为 应力圆应力圆 , 或称为莫尔圆或称为莫尔圆222222xyyxyx )()( o2yx 222xyyx)(C222222xyyxyx )()(2，应力圆作法，应力圆作法 x xy y yx（1）在）在 - 坐标系内坐标系内 ,选定比例尺选定比例尺 o o

29、 x xy y yxo o D1 xyB1 x（2）量取）量取OB1 = xB1D1 = xy得得 D1 点。点。 x xy y yxo o D2D1 xyB1 x（3）量取）量取OB2 = yB2D2= yx得得 D2 点点 yB2 x xy y yx yxo o D2 yxD1 xyB1 x yB2（4）连接）连接 D1D2 两点的直线与两点的直线与 轴相交于轴相交于 C 点点, C x xy y yxo o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x xy y yx以以 C 为圆心为圆心 , ,CD1 或或 CD2 为半径作圆为半径作圆o o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x

30、xy y yx该圆的圆心该圆的圆心 C 点到点到 坐标原点的距离为坐标原点的距离为 2yx)(2121OBOBOCo o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x xy y yx222xyyx )(半径为半径为)()(DBBCCD111221 o o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x xy y yx该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆。该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆。o o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x xy y yxD1 点的坐标为点的坐标为 ( ( x , , xy ) )( x , xy )因而因而 D1 点的坐标代表单元体点的坐标代表单元体 x 平面

31、（即横截面）上的应力平面（即横截面）上的应力 。o o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x xy y yx( x , xy ) e ef f3 3，利用应力圆求单元体上任一，利用应力圆求单元体上任一 截面上的应力截面上的应力o o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x xy y yx( x , xy ) e ef f从应力圆的半径从应力圆的半径 CD1 按方位角按方位角 的转向的转向 转动转动 2 2 , ,得到得到半径半径 CE 。2 o o D2 yxD1 xyB1 x yB2C x xy y yx( x , xy ) e ef f2 圆周上圆周上E 点的坐标就依次为斜截面上

32、的正应力点的坐标就依次为斜截面上的正应力 ，剪应力，剪应力 （1）点面之间的对应关系点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对：单元体某一面上的应力，必对 应于应力圆上某一点的坐标。应于应力圆上某一点的坐标。（2）夹角关系夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单 元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。A1B12 AB oc4 4，利用应力圆求，利用应力圆求 主应力主应力数值和数值和 主平面位置主平面位置（1 1）主应力数值）主应力数值A1 和和 A2 两点为与主平面两点为与主平面对应的点，其横坐标对应

33、的点，其横坐标 为主应力为主应力 1 ， 2 。o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 ( x , xy )11CAOCOA CAOCOA12 2yxOC 2212xyyxCA)(o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 CAOCOA111 2222xyyxyx)( x , xy )11CAOCOA CAOCOA12 2yxOC 2212xyyxCA)(o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 CAOCOA122 2222xyyxyx)( x , xy )o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 2 0（

34、2）主平面方位）主平面方位由由 CD1 顺时针转顺时针转 2 0 到到 CA1 。单元体上从单元体上从 x 轴顺时针转轴顺时针转 0 （负值）即负值）即到到 1对应的对应的主平面的外法线。主平面的外法线。( x , xy ) 0 确定后，确定后， 1 1 对应的对应的主平面方位即确定。主平面方位即确定。o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 2 0( x , xy )221110 yxxyCBDBtg)()( yxxytg2210由此可定出主应力由此可定出主应力1 所在所在平面的位置。平面的位置。o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 2 0(

35、x , xy )由于由于 A1， A2 为应力圆的为应力圆的直径，则直径，则 2 所在的另一所在的另一主平面与主平面与 1 所在的主平面所在的主平面垂直。垂直。o o D2 yxD1 xyB1 x yB2CA1A2 1 2 2 0( x , xy )012例题例题：单元体如图所示：单元体如图所示, x = - 1MPa , y = - 0.4MPa , xy = - 0.2MPa （1）绘出相应的应力圆）绘出相应的应力圆（2）确定此单元体在）确定此单元体在 =30和和 = - 40两斜面上的应力。两斜面上的应力。x x x y y xy yx1 x20. xy40. y20. yxx x x

36、y y xy yx解解: (1) 画应力圆画应力圆OB2 = y= - 0.4MPa ，B2D2 = yx= 0.2MPa , 定出定出 D2 点点 . OB1 = x= - 1MPa , B1D1 = xy= - 0.2MPa , 定出定出 D1点点;1 x20. xy40. y20. yx oB1D1(-1,-0.2)B2D2(-0.4,0.2) oB1D1(-1,-0.2)B2D2(-0.4,0.2)以以 D1D2 为直径绘出的圆即为应力圆为直径绘出的圆即为应力圆C oB1D1(-1,-0.2)B2D2(-0.4,0.2)C将将 半径半径 CD1 到半径到半径 CE，E 点的坐标就点的坐

37、标就代表代表 = 30斜截面上的应力。斜截面上的应力。(2) 确定确定 = 30斜截面上的应力斜截面上的应力600 MPa680300. MPa360300. oB1D1(-1,-0.2)B2D2(-0.4,0.2)(3) 确定确定 = - 40斜截面上的应力斜截面上的应力将将 半径半径 到半径到半径 CF, F 点的坐标就代表点的坐标就代表 = - 40斜截面上的应力。斜截面上的应力。 800 F CMPa95. 0400MPa26. 0400 xy300 400 MPa95. 0400MPa26. 0400MPa68.0300MPa36.0300例题例题 ： 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载

38、如图所示，梁的横两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试绘出截面尺寸示于图中。试绘出 C 左左 截面截面 上上 a 点处的应力圆，点处的应力圆，并用应力圆求出这该点处的主应力。并用应力圆求出这该点处的主应力。12015152709za250KN1.6m2mABC+200KN50KN解解: : 首先计算支反力首先计算支反力, 并作出并作出 梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图Mmax = MC = 80 kNmFSmax =FC左左 = 200 kN250KN1.6m2mABC+80KM.mIyMzaa dISFzzaSa* mmIZ463310882701113001

39、201212 mmya135mmSza32560005715015120 ).(*1201515270a9z横截面横截面 C左左 上上a 点的应力为点的应力为MPayIMazCa5 .122MPadISFzzaSa6 .64* 12015152709zaIyMzaa dISFzzaSa* a0 y664. yxMPax5 .122MPaxy664 . x xy yx由由 x ， xy 定出定出 D1 点点由由 y ， yx 定出定出 D2 点点以以 D1D2 为直径作应力圆。为直径作应力圆。o CB1D1B20 y664. yxMPax5 .122MPaxy664 . (122.5 , 64.

40、6)(0 , - 64.6)D2A1，A2 两点的横坐标分别代表两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力点的两个主应力o CB1B2D1(122.5 , 64.6)A1A2D D2 2(0,-64.6)(0,-64.6)31MPaoA15011MPaoA272302o CB1B2D1(122.5 , 64.6)A1A2D D2 2(0,-64.6)(0,-64.6)31o CB1B2D1(122.5 , 64.6)A1A2D D2 2(0,-64.6)(0,-64.6)3120A1 点对应于单圆体上点对应于单圆体上 1 1 所在的主平面。所在的主平面。o CB1B2D1(122.5 , 64.

41、6)A1A2D D2 2(0,-64.6)(0,-64.6)312052200. 45200 x yx xy013MPa1501MPa27352200. 例题例题：单元体应力状态如图。用解析法求：主应力，并在单元体：单元体应力状态如图。用解析法求：主应力，并在单元体中画出主应力方向。中画出主应力方向。50202050 xyx200 yxy 解：解：maxmin22)2(2xyxyx =57-77057321 )2(210yxxtq4 .1416 .3800 07 .703 .1900 因为因为 x x y y ，所以，所以3 .1901 50203 .1900 132050 xyx200 yx

42、y7. 5 三向应力状态三向应力状态利用利用 确定该点的最大正应力和最大切应力确定该点的最大正应力和最大切应力 。已知：已知：受力物体内某一点处三个主应力受力物体内某一点处三个主应力 1 1、 2 2、 3 3 。 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1首先研究与其中一个首先研究与其中一个主平面主平面垂直的斜截面垂直的斜截面上的应力。上的应力。例如：与主应力例如：与主应力 3所在的平面垂直的所在的平面垂直的斜截面斜截面 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3用截面法，沿求应力的截用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分，面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象取左下部分为研

43、究对象。 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 33312主应力主应力 3 所在的两平面上是一对自相平衡的力，所在的两平面上是一对自相平衡的力， 因而该斜面因而该斜面上的应力上的应力 , 与与 3 无关无关, 只由主应力只由主应力 1 , 2 决定。决定。3312与与 3 所在主平面垂直的斜截面上的应力可由所在主平面垂直的斜截面上的应力可由 1 , 2 作出的作出的应力圆上的点来表示。应力圆上的点来表示。331212 3312与与 3所在主平面所在主平面垂直的斜截面上的应力可由垂直的斜截面上的应力可由 1 , 2 作出的应力作出的应力圆上的

44、点来表示。圆上的点来表示。 1 1 1 1 2 2 2 212 OA12 1 1 1 1 2 2 2 2OA123312该应力圆周上的点对应该应力圆周上的点对应于与于与 3所在主平面所在主平面垂直垂直的所有斜截面上的应力。的所有斜截面上的应力。 OA12与主应力与主应力 2 所在主平面所在主平面垂直的斜截面上的应力垂直的斜截面上的应力 , 可用由可用由 1 , 3 作出作出的应力圆上的点来表示的应力圆上的点来表示。3OA12与主应力与主应力 所在主平面所在主平面垂直的斜截面上的应力垂直的斜截面上的应力 , 可用由可用由 2 , 3 作出的应作出的应力圆上的点来表示。力圆上的点来表示。3abc

45、截面表示与三个主截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面平面斜交的任意斜截面112233abc112233abc该截面上应力该截面上应力 和和 对应对应的的 D 点必位于上述三个应点必位于上述三个应力圆所围成力圆所围成 的阴影内。的阴影内。OA123OA123三个应力圆周上的点及由三个应力圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了三向应力点的坐标代表了三向应力状态下所有截面上的应力。状态下所有截面上的应力。O123该点处的最大正应力该点处的最大正应力(指代指代数值数值)应等于最大应力圆应等于最大应力圆上上 A 点的横坐标点的横坐标 11maxAO123ABmax最大切

46、应力则等于最大的应力圆上最大切应力则等于最大的应力圆上 B 点的纵坐标。点的纵坐标。)(2131maxO123ABmax)(2131max最大切应力所在的截面与最大切应力所在的截面与 2 所在的主平面垂直，并与所在的主平面垂直，并与 1和和 3 所在的主平面成所在的主平面成 450 角。角。)(max3121 1 max上述两上述两 公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态，公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态， 只需将具体问题的主应力求出，并按代数值只需将具体问题的主应力求出，并按代数值 1 2 3 的顺序排列。的顺序排列。例题例题 ：单元体的应力如图所示：单元体的应力如图所示 ,作应力

47、圆作应力圆, 并求出主应力并求出主应力和最大剪应力值及其作用面方位。和最大剪应力值及其作用面方位。40MPa20MPa20MPazxy20MPa40MPa20MPa20MPazxy20MPaMPaz20 解解: 该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力40MPa20MPa20MPazxy20MPa因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z 无关无关, 依据依据 x 截面和截面和 y 截面上的应力画出应力圆截面上的应力画出应力圆. 求求另外两个另外两个主应力主应力。40MPa20MPa20MPaMPax40 MPax20 MPay20 MPa

48、y20 o MPax40 MPax20 MPay20 MPay20 A11A23量得另外两个主应力为量得另外两个主应力为D1D2cMPaz20 o A11A23D1D2c 1= 46 MP 3= -26 MP 2= 20 MPo 1A23D1D2c 1= 46 MP 3= -26 MP 2= 20 MP 2A12 02 0 = 340 0 = 170o 1A23D1D2c 1= 46 MP 3= -26 MP 2= 20 MP 2A12 0 0 = 170170 x 1 2 3o 1A23D1D2c 1= 46 MP 3= -26 MP 2= 20 MP 2A12 0maxBMPa36 max

49、o 1A23D1D2c 2A12 0maxBMPa36 max最大切应力最大切应力max 所所在平面与在平面与 2 所在平所在平面垂直面垂直, ,与与 1 1 和和 3 所在主平面各成所在主平面各成 45450 0 夹角。夹角。MPa36 max最大切应力最大切应力max 所在平面与所在平面与 2 所在平面垂直所在平面垂直, ,与与 1 1 和和 3 所在主平面各成所在主平面各成 45450 0 夹角。夹角。170 x 1 2 345450 0 max例题例题: : 已知某结构物中一点处为平面应力状态已知某结构物中一点处为平面应力状态, , x = -180MPa, y = -90MPa, x

50、 = y = 0 , , 试求此点处的最大试求此点处的最大切切应力应力。MPa90)180(021)(2131max 3 = x = - 180MPa解解: : 主应力主应力 2 = y = -90MPa 1 1 = = z z = 0= 07. 8 广义胡克定律广义胡克定律一、一、 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律xyzoxxyxzyyxyzzzxzyxzzxzyyzyxxy因而独立的应力分量是因而独立的应力分量是 6个个xyzxyyzzx根据剪应力互等定理，根据剪应力互等定理，在数值上有在数值上有xyzoxxyxzyyxyzzzxzy用叠加原理：分别计算出用叠加原理：分

51、别计算出 x , y , z 单独存在时单独存在时, x方向的方向的线应变线应变 x ，然后代数相加。得，然后代数相加。得 x , y , z 同时存在时，同时存在时，沿沿 x 方向的线应变。方向的线应变。求求 x , y , z 同时存在时，沿同时存在时，沿 x ，y y，z z 方向的线应变。方向的线应变。沿沿 y y，z z 方向的线应变方法同上。方向的线应变方法同上。yZ ZyZ ZyZ Zx xx xx xExxEyyxEzzx x 单独存在时单独存在时 y 单独存在时单独存在时 Z 单独存在时单独存在时一，一，x x 方向的线应变方向的线应变xxyyzz在在 x y z同时存在时同

52、时存在时, x 方向的线应变方向的线应变 x为为)(1zyxxE)(1)(1yxzzxzyyEE在在 x y z同时存在时同时存在时, y , z 方向的线应变为方向的线应变为 )(1zyxxE )(1)(1yxzzxzyyEE 上式称为上式称为 广义胡克定律广义胡克定律Gyzyz Gxyxy Gzxzx )(13211E)(11322E)(12133E三向应力状态的广义虎克定律三向应力状态的广义虎克定律（已知（已知 1， 2， 3 ） 1 1 ， 2 2 ， 3 3 称为主应变称为主应变 。在线弹性范围内，任一点处的在线弹性范围内，任一点处的主主应力指向与应力指向与主应变主应变方向一致。方向

53、一致。二、二、 各向同性材料的体积应变各向同性材料的体积应变构件每单位体积的体积变化构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变，变用称为体积应变，变用 表示。表示。各向同性材料在三向应力状态各向同性材料在三向应力状态下的体积应变。下的体积应变。 1 2 3dxdxdydydzdz 1 2 3dxdxdydydzdz变形后的边长分别为变形后的边长分别为三个边长为三个边长为 dx , dy , dzdx , dy , dz单元体的三对平面为主平面单元体的三对平面为主平面dxdxdx)1 (11 dydydy)( 221dzdzdz)( 331 1 2 3dxdxdydydzdzdxdxdx)1 (1

54、1 dydydy)( 221dzdzdz)( 331dxdydzV)1)(1)(1 (3211 变形后单元体的体积为变形后单元体的体积为3213213211 )1 ( )1)(1)(1 ( dxdydzdxdydzdxdydzdxdydzdxdydzdxdydzVVV)(21321 E)(13211E)(11322E)(12133E 321 ：xy3102即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变。即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变。)(21321 E材料的体积应变等于零材料的体积应变等于零 m m m)(21321 E321)(21mmmmEEKm )21 (3 EK该式

55、称为体积胡克定律该式称为体积胡克定律 m 3321321 m m mKm 3321 m单位体积的体积改变单位体积的体积改变 只与三个只与三个主应力之和有关，三个主应力之主应力之和有关，三个主应力之间的比例对间的比例对并无影响。并无影响。例题例题: : 边长边长 a = 0.1m 的铜立方块，的铜立方块， 无间隙地放入体积较大，变无间隙地放入体积较大，变形可略去不计的钢凹槽中形可略去不计的钢凹槽中 。已知铜的弹性模量。已知铜的弹性模量E=100GPa ，泊松比泊松比 = 0.34 ，当受到当受到 P = 300kN 的均布压力作用时的均布压力作用时，求该铜块的主应力求该铜块的主应力，体积应变以及

56、最大切应力。体积应变以及最大切应力。MPa301 .01030023APy解：铜块横截面上的压应力为解：铜块横截面上的压应力为(a)aaaPzyx z x y0)(1zyxxE0)(1zyzzE解得解得-15.5MPa )30(0.34-10.34)0.34(1 1)1 (22yzx铜块的主应力为铜块的主应力为MPaMPa , .30515321体积应变和最大切应力分别为体积应变和最大切应力分别为1095.1)(214321EMPa25.7)(2131max例题例题： 一直径一直径 d = 20 mm 的实心圆轴，在轴的的两端加转矩的实心圆轴，在轴的的两端加转矩 m =126N.m 。在轴的表

57、面上某一点。在轴的表面上某一点 A 处用变形仪测出与轴线处用变形仪测出与轴线成成 450 方向的应变方向的应变 = 5.0 10-4 ，试求此圆轴材料的剪切弹性试求此圆轴材料的剪切弹性模量模量G。mmA450 x解：包围解：包围 A 点取一单元体点取一单元体A xy yxmmA450 xmmA450 xminmax 2222xyyxyx)( xy xyxy3210A xy yxA xy yxmmA450 x xyxy3210 yxxytg2204500450145013A xy yxmmA450 x xyxy321045013 xyEE11311450)(dmWmtxy 3161A xy yx

58、mmA450 x45013dmWmtx 3161)1 (2 EG 45011xyxyE453016dm xyE11450GPadmEG2 .808)1 (24503 例题例题： 壁厚壁厚 t =10mm ，外径外径 D = 60mm 的薄壁圆筒的薄壁圆筒，表面表面上上 k 点处与其轴线成点处与其轴线成 45 和和 135角，即角，即 x ，y 两方向分别两方向分别贴上应变片，然后在圆筒两端作用矩为贴上应变片，然后在圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶的扭转力偶 ，已知，已知圆筒材料的弹性常数为圆筒材料的弹性常数为 E = 200GPa 和和 = 0.3 ，若该圆筒的若该圆筒的变形在弹性范围内，且变

59、形在弹性范围内，且 max = 80MPa ，试求试求 k 点处的线应变点处的线应变 x ， y 以及变形后的筒壁厚度。以及变形后的筒壁厚度。Dtmkx450y900解解: 从圆筒表面从圆筒表面 k 点处取出单元体点处取出单元体xykmaxmax单元体单元体为纯剪切应力状态为纯剪切应力状态Dtmkx450y900 max = 80MPaxyk450maxmaxDtmkx450y900MPa80max1MPa80max3 2 2 = 0= 0= = y y= = x x= = z z 1 3 max = 80MPaDtmkx450y900 y y = 80 = 80 x x = - 80= -

60、80 z z = = 0 0K 点处的线应变点处的线应变 x , y 为为)(1zyxxE)(1yxE= - 5.2 10-4（压应变）（压应变）Dtmkx450y900 y y = 80 = 80 x x = - 80= - 80 z z = = 0 0)(1zxyyE)(1xyE= 5.2 10-4（拉应变）（拉应变）Dtmkx450y900 y y = 80 = 80 x x = - 80= - 80 z z = = 0 0圆筒圆筒表面表面上上 k 点处沿点处沿径向径向 ( z 轴轴 ) 的应变为的应变为)(1yxzzE)(yxE= 0Dtmkx450y900 y y = 80 = 80