速度矢端曲线

1、1第6章 运动学基础6.1 运动学的基本概念运动学的基本概念6.2 点的运动学点的运动学 6.3 刚体的平动刚体的平动 6.4 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动26.1 运动学的基本概念 运动学只从几何角度来研究物体的运动运动学只从几何角度来研究物体的运动( (如轨迹、速度和加速度如轨迹、速度和加速度等等) )，而不研究引起物体运动的物理原因，而不研究引起物体运动的物理原因( (如力、质量等如力、质量等) )。因此，运。因此，运动学是研究物体运动的几何性质的学科。动学是研究物体运动的几何性质的学科。6.2.1 点的运动矢量表示法6.2 点的运动学点的运动学1点的运动方程3 在参考坐标系上任取某

2、确定的点在参考坐标系上任取某确定的点O为坐标原点，则动点的位置可用为坐标原点，则动点的位置可用原点至动点的矢径原点至动点的矢径r表示。当动点表示。当动点M运动时，矢径运动时，矢径r是时间的单值连续函是时间的单值连续函数，即数，即)(trr r O M 上式称为用矢量表示的点的运动方程。动点上式称为用矢量表示的点的运动方程。动点M在运动过程中在运动过程中, ,其其矢径矢径r的末端在空间描绘出的曲线，称为动点的末端在空间描绘出的曲线，称为动点M的运动轨迹。的运动轨迹。4动点在动点在t t时间内的平均速度可表示为时间内的平均速度可表示为*trv2 2点的运动速度点的运动速度 点的速度可用矢量表示，设

3、动点在点的速度可用矢量表示，设动点在t t 时刻的位置为时刻的位置为M点，经过点，经过t t后，后，即在即在t+t时刻的位置为时刻的位置为M 。如图。如图所示。动点在所示。动点在t时间内发生的位移为时间内发生的位移为()( )ttt rrr r v M O ( ) tr ()tt r M 5动画：雷达与飞机6 即动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。它是一个矢量即动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。它是一个矢量, ,其其方向沿动点的矢端曲线方向沿动点的矢端曲线( (即动点轨迹即动点轨迹) )的切线，并与动点运动的方向一的切线，并与动点运动的方向一致。在国际单位制中，速度的单位为致。在国际

4、单位制中，速度的单位为m/s。00dlim *limdtttt rrvv3点的运动加速度点的运动加速度由数学的极限概念，动点在由数学的极限概念，动点在t 时刻的瞬时速度可对上式取极限，即时刻的瞬时速度可对上式取极限，即 v a 运运动动轨轨迹迹 a v N N v v N 速速度度矢矢端端曲曲线线 O 7 同样，由数学的极限概念，在同样，由数学的极限概念，在t 时刻时刻动点的加速度可表示为动点的加速度可表示为2200ddlimlimddtt*ttt vvraav*tva 设动点在设动点在 t 时刻的速度为时刻的速度为v, ,经过经过 t后后, ,即在即在 t+t 时刻的速时刻的速度为度为v。动

5、点在。动点在t 时间内速度的改变为时间内速度的改变为v= = v-v。则在。则在t 时间内时间内的平均加速度的平均加速度a可表示为可表示为 即动点的加速度等于它的速度即动点的加速度等于它的速度v对时间的一阶导数，也等于矢径对时间的一阶导数，也等于矢径r对时间对时间的二阶导数。它是一个矢量，其方向沿速度矢端曲线的切线方向，并指向速的二阶导数。它是一个矢量，其方向沿速度矢端曲线的切线方向，并指向速度矢端运动的方向。在国际单位制中，加速度的单位为度矢端运动的方向。在国际单位制中，加速度的单位为m/s2。 a v N N v v N 速速度度矢矢端端曲曲线线 O 8 设动点设动点M 在空间做曲线运动，

6、过固定点在空间做曲线运动，过固定点O作如图所示的直角坐作如图所示的直角坐标系标系Oxyz。则动点在。则动点在t 时刻的位置时刻的位置M 可用它的三个直角坐标可用它的三个直角坐标 x, ,y, ,z 表示，表示，如图所示。如图所示。1点的运动方程 O M x y z i r j k y x z 当点当点M运动时，这些坐标一般可运动时，这些坐标一般可表示为时间表示为时间t 的单值连续函数，即的单值连续函数，即6.2.2 点的运动直角坐标表示法点的运动直角坐标表示法)(1tfx)(2tfy 3( )zf t，91点的运动方程)(1tfx )(2tfy )(3tfz 10 在工程实际中，经常遇到点在某

7、平面内运动的情形，此时点的运在工程实际中，经常遇到点在某平面内运动的情形，此时点的运动方程可简化为动方程可简化为2点的运动速度点的运动速度如可用直角坐标表示，即点的运动速度如可用直角坐标表示，即ddddd()dddddxyzxyztttttrvijkijk)(1tfx )(2tfy 上式消去时间上式消去时间t，可得轨迹方程为，可得轨迹方程为0),(yxf 上式称为点上式称为点M以直角坐标表示点的运动方程。从形式上可以看出，上式以直角坐标表示点的运动方程。从形式上可以看出，上式也是动点轨迹的参数方程，动点的轨迹可通过消去时间参数也是动点轨迹的参数方程，动点的轨迹可通过消去时间参数t 而直接得到。

8、而直接得到。11xyzvvvv ijk比较以上两式，可得比较以上两式，可得ddxxvtddyyvtddzzvt这就是动点速度的直角坐标表示。可见，动点的速度在直角坐标这就是动点速度的直角坐标表示。可见，动点的速度在直角坐标轴上的投影等于其相应的直角坐标对时间的一阶导数。轴上的投影等于其相应的直角坐标对时间的一阶导数。 动点动点M的速度矢可写为的速度矢可写为222222ddddddxyzxyzvvvvttt其方向为其方向为v速度的大小为速度的大小为 cos( , )xvvv icos( , )yvvv jcos( , )zvvv k123点的运动加速度222222222222ddddddcos(

9、)cos()cos()xyzyxzxyzaaaatttaaa,aaaa ia ja k为求动点的加速度，用速度对时间求一阶导数得为求动点的加速度，用速度对时间求一阶导数得 222222ddddddddddddddyxzvvvxyztttttttvaijkijk加速度矢量亦可表示为加速度矢量亦可表示为 xyzaaaaijk22ddddxxvxatt22ddddyyvyatt22ddddzzvzatt 可见，动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相应速度投影对时间可见，动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相应速度投影对时间的一阶导数，也等于其相应的坐标对时间的二阶导数。加速度的大小和方向余的一阶

10、导数，也等于其相应的坐标对时间的二阶导数。加速度的大小和方向余弦为弦为136.2.3 点的运动自然坐标表示法141弧坐标动点动点M的运动用自然法表示，动点的运动用自然法表示，动点M在轨迹上的位置由动点到原点在轨迹上的位置由动点到原点的弧长的弧长s来确定，称为动点来确定，称为动点M的弧坐标。当动点的弧坐标。当动点M 运动时，运动时，s 随时间而随时间而变化，是时间的单值连续函数，即变化，是时间的单值连续函数，即( )sf t )( O M v s 上式称为点沿轨迹的运动方程上式称为点沿轨迹的运动方程15若以若以表示切线的单位矢量，表示切线的单位矢量，n表示表示主法线的单位矢量，以主法线的单位矢量

11、，以b表示副法线表示副法线的单位矢量，其方向由右手螺旋法则的单位矢量，其方向由右手螺旋法则确定，即确定，即 2自然轴系nb 以点以点M为原点，切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲为原点，切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点线在点M的自然坐标系。的自然坐标系。 M n b M T T 法法平平面面 密密切切面面 切切线线 主主法法线线 副副法法线线 T1 运运动动轨轨迹迹 过点过点M并与切线垂直的平面称为法平面，在法平面内过点并与切线垂直的平面称为法平面，在法平面内过点M的所有直线的所有直线都和切线垂直，都是法线，在密切面内的那条法线称为主法线。法平面内过都和切

12、线垂直，都是法线，在密切面内的那条法线称为主法线。法平面内过点点M与主法线垂直的法线称为副法线。与主法线垂直的法线称为副法线。16 s M M 3点的运动速度 点的速度点的速度v是一个矢量，它的方向沿轨迹的切线，如图所示。显然是一个矢量，它的方向沿轨迹的切线，如图所示。显然, ,可将动点的速度矢写成如下的形式可将动点的速度矢写成如下的形式vv 速度的大小等于弧坐标对时间速度的大小等于弧坐标对时间的一阶导数，即的一阶导数，即ddsvt 如果如果ds/dt0，则速度与，则速度与的正向相同，弧坐标随时间而增大。反的正向相同，弧坐标随时间而增大。反之，速度与之，速度与的正向相反。的正向相反。174点的

13、运动加速度速度对时间求一阶导数，得速度对时间求一阶导数，得ddddddvvtttva22ddddvsttanddvta 右边两项分别称为切向加速度和法向加速度。前者表示速度大小右边两项分别称为切向加速度和法向加速度。前者表示速度大小变化对加速度的贡献，而后者是速度方向变化对加速度的贡献。变化对加速度的贡献，而后者是速度方向变化对加速度的贡献。18 s M M 曲率（曲率半径的倒数）曲率（曲率半径的倒数）的定义为的定义为01dlimdsss 由上图可知由上图可知 2sin2 即即 1900d1limlimdsssss n因而因而00dlimlimdttsvttst n这样法向加速度可写为这样法向

14、加速度可写为2nvan 由此可见，法向加速度由此可见，法向加速度的大小等于点的速度平方除以曲率半径，的大小等于点的速度平方除以曲率半径，方向与主法线的方向一致，指向轨迹的曲率中心。方向与主法线的方向一致，指向轨迹的曲率中心。20按以上分析，加速度可以写为按以上分析，加速度可以写为 2nddvvtaaan加速度的大小可写为加速度的大小可写为 ，22222nddvvaaat 其方向由其方向由a与主法线方向与主法线方向n的夹角的夹角来确定来确定，它的正切为，它的正切为tannaa na a a n M 21【例【例6-16-1】半径为】半径为r的圆轮沿水平直线轨道滚动而不滑动，轮心的圆轮沿水平直线轨

15、道滚动而不滑动，轮心C则在则在与轨道平行的直线上运动。设轮心与轨道平行的直线上运动。设轮心C的速度为一常量的速度为一常量vC , ,试求轮缘上试求轮缘上一点一点M的运动轨迹、速度和加速度。的运动轨迹、速度和加速度。 A M O C x y a cv 解：以点解：以点M第一次和轨道接触的瞬时作为时间的起点，并以该接触点第一次和轨道接触的瞬时作为时间的起点，并以该接触点作为坐标的原点，建立作为坐标的原点，建立Oxy坐标系，点坐标系，点M的坐标为的坐标为sinsincccv txv trv trrcoscoscv tyrrrrr 这就是点的运动方程，其运动的轨这就是点的运动方程，其运动的轨迹为摆线迹

16、为摆线( (或称旋轮线或称旋轮线) )。动点的速度为。动点的速度为coscxccv tvxvvrsincycv tvyvr22此时，速度的大小和方向分别可写为此时，速度的大小和方向分别可写为 2222(1cos)sin2(1cos )ccxyccv tv tvvvvvrr1coscos( , )2(1cos )xvvv isincos( , )2(1cos )yvvv j动点的加速度为动点的加速度为22.sinsincccxxvv tvavrrr22.coscoscccyyvv tvavrrr加速度加速度的大小和方向分别可写为的大小和方向分别可写为222cxyvaaarcossincos2xa

17、( , )()aa icoscosya( , )aa j，可见，动点可见，动点M的加速度方向指向轮心的加速度方向指向轮心C23 C x y A B M O 【例【例6-26-2】已知弧】已知弧BC的半径为的半径为R，摇杆以匀角速度，摇杆以匀角速度绕绕O轴转动，当运动开始时，轴转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法给出点摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法给出点M的运动方程，并求出的运动方程，并求出其速度和加速度。其速度和加速度。解：解：(1) (1) 直角坐标法直角坐标法cos2sin2xRRtyRt求导后可得点求导后可得点M速度和加速度：速度和加速度： 2sin

18、22cos2xyvxRtvyRt 22.4cos2.4sin2xxyyavRtavRt (2) (2) 自然坐标法：自然坐标法：22sRtR t于是点于是点M速度和加速度分别为速度和加速度分别为 2vsR22nd04dvvaaRtR，24 证明：设加速度为证明：设加速度为a, ,则经过时间则经过时间t 后后, ,动点动点A走过的弧长和速度分别为走过的弧长和速度分别为 s R O a A0 A 【例【例6-36-3】 动点动点A沿如图所示的圆周做匀加速圆周运动。已知圆周半径为沿如图所示的圆周做匀加速圆周运动。已知圆周半径为R，初速度为零。若点的全加速度与切线间的夹角为初速度为零。若点的全加速度与

19、切线间的夹角为，并以，并以角表示点走过的角表示点走过的圆弧圆弧s所对应的圆心角，试证明：所对应的圆心角，试证明：tan=2tan=2。212Sa tva t，动点动点A的法向加速度可表示为的法向加速度可表示为22n2( a t )vSaaRRR动点动点A的全加速度与切线间的夹角的全加速度与切线间的夹角可表示为可表示为n22tan2aSRaRR这样原问题的结论成立。这样原问题的结论成立。25 M O 1O r r A M x 1x y 1y 2 M0 s O 1O r A r 【例【例6-4】 如图所示的平面机构中，两杆的运动通过套筒如图所示的平面机构中，两杆的运动通过套筒M而联系起来，初始而联

20、系起来，初始时杆时杆O1M与点与点O成一直线。已知成一直线。已知OO1 =O1M=r，试求套筒，试求套筒M的运动方程以及它的的运动方程以及它的速度和加速度。速度和加速度。 解：解：(1)(1)自然法。取套筒初始位置自然法。取套筒初始位置M0为弧坐标为弧坐标s的原点，以套筒的运动方向的原点，以套筒的运动方向为弧坐标为弧坐标s的正向，由图可知的正向，由图可知22srr上式可写为上式可写为2sr t 这就是用自然坐标表示的套筒这就是用自然坐标表示的套筒M运动方程。上式对时间求一阶导数，可得运动方程。上式对时间求一阶导数，可得套筒套筒M的速度的速度 d2dsvrt26套筒套筒M的切线和法向加速度分别为

21、的切线和法向加速度分别为 d0dvat22n4varr套筒套筒M的加速度大小为的加速度大小为 222n4aaar(2)直角坐标法。直角坐标法。 选取固定直角坐标系选取固定直角坐标系Oxy，则有，则有 cos2xrrsin2yr套筒套筒M在直角坐标系中的运动方程在直角坐标系中的运动方程 cos2xrrtsin 2yrt，上式对时间求一阶导数，可得套筒上式对时间求一阶导数，可得套筒M的速度的速度d2sin2dxxvrtt d2cos2dyyvrtt27套筒套筒M的速度的大小和方向分别可表示为的速度的大小和方向分别可表示为222xyrvvvcos( , )sin2xvrv v icos( , )co

22、s2yvrvv j套筒套筒M的加速度在两个坐标轴上的投影的加速度在两个坐标轴上的投影2d4cos2dxxvartt 2d4sin 2dyyvartt 套筒套筒M的加速度的大小和方向分别可表示为的加速度的大小和方向分别可表示为2224xyaaarcos( , )cos2xata a icos( , )sin2yata a j显然，两种方法的结果完全一致，本题用自然坐标法较简便，且物理概念清显然，两种方法的结果完全一致，本题用自然坐标法较简便，且物理概念清晰。晰。286.3 刚体的平动刚体的平动6.3.1 刚体平动的定义 刚体运动时，如果其上任一直线始终保持与原来的位置平行，即该直线刚体运动时，如

23、果其上任一直线始终保持与原来的位置平行，即该直线的方位在刚体运动的过程中保持不变。具有这种特征的刚体运动称为刚体的的方位在刚体运动的过程中保持不变。具有这种特征的刚体运动称为刚体的平行移动，简称平动。平行移动，简称平动。6.3.2 刚体平动的运动特征 设刚体做平动，如图所示。设刚体做平动，如图所示。在刚体内任选两点在刚体内任选两点A和和B，令点，令点A的矢径为的矢径为rA，点，点B的矢径为的矢径为rB。由图可知由图可知ABBArr Bv x y z A Av Ba B2 A1 A2 Aa B B1 O Ar Br 29 由于刚体作平动，只要把由于刚体作平动，只要把B点的轨迹平移一段距离，就能得

24、到点点的轨迹平移一段距离，就能得到点A的运动轨的运动轨迹。可见，刚体作平动时，刚体内任意两点的轨迹完全相同。迹。可见，刚体作平动时，刚体内任意两点的轨迹完全相同。 上式两边同时对时间求一阶和二阶导数，有上式两边同时对时间求一阶和二阶导数，有 ddddddABB(BA)ttt rrr222222ddddddABB(BA)ttt rrr即即ABvvBAaa 结论：当刚体作平动时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的结论：当刚体作平动时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同速度相同，加速度也相同。因此，刚体的平面运动可归结于前一节介绍的点的因此，刚体的平面运动可归结

25、于前一节介绍的点的运动学问题。运动学问题。30 (+) O1 O2 O A B M l l 【例【例6-56-5】荡木用两条长为】荡木用两条长为l 的钢索平行吊起，如图所示。当荡木摆动时，钢的钢索平行吊起，如图所示。当荡木摆动时，钢索的摆动规律为索的摆动规律为 ， 为最大摆角。试求当为最大摆角。试求当t=2st=2s时，荡木中点时，荡木中点M M的的速度和加速度。速度和加速度。0cos4t0，解：荡木在运动的过程中解：荡木在运动的过程中, , 荡木作平动。荡木作平动。为求中点为求中点M 的速度和加速度的速度和加速度, ,只需求出只需求出荡木上另一点荡木上另一点A( (或点或点B) )的速度和加

26、速的速度和加速度即可。度即可。 点点A 的运动方程为的运动方程为0cos4sllt31将上式对时间求一阶导数，可得将上式对时间求一阶导数，可得A点的速度点的速度0dsind44lsvtt A点的切向加速度和法向加速度可分别写为点的切向加速度和法向加速度可分别写为20dcosd164lvatt 22220nsin164lvatl当当t=2s时，速时，速度和加速度可分别写为度和加速度可分别写为04lv ( (方向水平向左方向水平向左) )202cos0164tlat 2222200n2sin16416tllat( (方向铅直向上方向铅直向上) )326.4 刚体绕定轴的转动6.4.1 定轴转动刚体

27、的转动方程、角速度和角加速度 Q P A B O T z )(tf 设有一刚体设有一刚体T绕定轴绕定轴z 做转动，如图所示。通过轴线作一固定平面做转动，如图所示。通过轴线作一固定平面Q，此外，此外, ,再选一与刚体固结的平面再选一与刚体固结的平面P，这个平面和刚体一起转动。刚体的位置可由平面，这个平面和刚体一起转动。刚体的位置可由平面与固定平面与固定平面Q的夹角来确定，这一夹角称为转动刚体的转角。的夹角来确定，这一夹角称为转动刚体的转角。转角一般用弧转角一般用弧度度( rad )来表示。当刚体转动时，转角随时间来表示。当刚体转动时，转角随时间而变化，是时间而变化，是时间t的单值连续函数，可表示

28、的单值连续函数，可表示为为 这一方程称为刚体定轴转动的运动方程。这一方程称为刚体定轴转动的运动方程。336.4 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动34刚体绕定轴的转动的动画刚体绕定轴的转动的动画35 设由瞬时设由瞬时t 到到 t+t 。转角的增量。转角的增量 称为角位移。角速度称为角位移。角速度可表示为可表示为0dlimdttt 即角速度等于转角对时间的一阶导数。角速度的单位一般用即角速度等于转角对时间的一阶导数。角速度的单位一般用rad/s（弧度（弧度/秒）表示。秒）表示。 角速度一般也随时间而变化。设由瞬时角速度一般也随时间而变化。设由瞬时t 到到 t + t ，角速度由，角速度由增大到增大

29、到 + ，角速度的增量为，角速度的增量为，比值，比值/ t 称为在称为在t 时间内的平均角加时间内的平均角加速度，当速度，当t0时，时， / t 的极限称为刚体在瞬时的极限称为刚体在瞬时t 的角加速度，以的角加速度，以表示，表示，即即36220ddlimddtttt 即刚体转动的瞬时角加速度等于角速度对时间的一阶导数或转角对时间的即刚体转动的瞬时角加速度等于角速度对时间的一阶导数或转角对时间的二阶导数。角加速度大小表示刚体转动的角速度随时间变化的快慢程度，当二阶导数。角加速度大小表示刚体转动的角速度随时间变化的快慢程度，当为正时，角速度为正时，角速度的代数值的代数值随时间而增大，反之则减小。随

30、时间而增大，反之则减小。 如果如果和和符号相同，则符号相同，则的绝对值随时间而增大，刚体做加速转动，反之的绝对值随时间而增大，刚体做加速转动，反之,刚体做减速转动。角加速度的单位一般用刚体做减速转动。角加速度的单位一般用rad/s2（弧度（弧度/秒秒2）表示。）表示。37 【例【例6-66-6】电动机由静止开始匀加速转动，在】电动机由静止开始匀加速转动，在t=20s时，其转速时，其转速n=360r /min ，求在此，求在此20s内转过的圈数。内转过的圈数。 解：电动机初始静止，即解：电动机初始静止，即0 0=0=0。在。在t=20s时其转动的角速度为时其转动的角速度为12rad s30n /

31、 由由 =0 0+t ，可得电动机转动，可得电动机转动的角加速度为的角加速度为00 6rad s. /t 在在20s内转过的角度为内转过的角度为2200110 62012022tt. 故在故在20s内转过的圈数为内转过的圈数为602N ( (圈圈) )386.4.2 定轴转动刚体内各点的速度和加速度 转角、角速度和角加速度等都是描述转动刚体整体运动的特征量。在刚体转角、角速度和角加速度等都是描述转动刚体整体运动的特征量。在刚体转动的角速度和角加速度确定后，可以确定刚体内各点的速度和加速度。转动的角速度和角加速度确定后，可以确定刚体内各点的速度和加速度。 M0 M O x r v x M0 M

32、a na a O sr 当刚体作定轴转动时，刚体内各点都在垂直于转动轴的平面内做圆当刚体作定轴转动时，刚体内各点都在垂直于转动轴的平面内做圆周运动。如图所示点周运动。如图所示点M运动方程为运动方程为39用自然法求点用自然法求点M的速度和加速度。在任一瞬时的速度和加速度。在任一瞬时, ,点点M的速度的大小为的速度的大小为 ddddsvrrtt 即转动刚体内任一点的速度的大小等于刚体的角速度与该点到轴线即转动刚体内任一点的速度的大小等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向和角速度转向一致。的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向和角速度转向一致。 在任意瞬时，点

33、在任意瞬时，点M的切线加速度的切线加速度a的大小为的大小为 ddddvarrtt 即转动刚体内任一点的切向加速度的大小等于刚体的角加速度与该即转动刚体内任一点的切向加速度的大小等于刚体的角加速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线，指向和角加速度点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线，指向和角加速度的转向一致。的转向一致。 4022nvarr在任意瞬时，点在任意瞬时，点M的切线加速度的切线加速度an的大小为的大小为 即转动刚体内任一点的法向加速度的大小等于刚体的角速度的平即转动刚体内任一点的法向加速度的大小等于刚体的角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向总是沿

34、着方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向总是沿着MO指向指向O，即，即指向转动轴。指向转动轴。在任意瞬时，在任意瞬时，点点M的全加速度的全加速度 a 的大小和方向分别为的大小和方向分别为2224naaar2ntanaa根据上面分析，可知在每一瞬时，刚体内各点的全加速度与其半径方根据上面分析，可知在每一瞬时，刚体内各点的全加速度与其半径方向的夹角相同。图表示在截面向的夹角相同。图表示在截面上通过轴心的任一条直径上各上通过轴心的任一条直径上各点速度和加速度的分布规律。点速度和加速度的分布规律。 M N O a v M N O 41 M A a na a Av Mv O Aa 【例【例6-7】半径

35、】半径R=0.2m的圆轮绕固定轴的圆轮绕固定轴O转动，其运动方程为转动，其运动方程为 。试求。试求t=1s时，时，轮缘上任一点轮缘上任一点M以及重物以及重物A的速度和加速度。的速度和加速度。24tt 解：解：t=1s时圆轮转动的角速度和角加速时圆轮转动的角速度和角加速度分别为度分别为11d422 rad sdtt(t ) /t2d2 rad sd /t 角速度和角加速度异号，说明圆轮在角速度和角加速度异号，说明圆轮在该瞬时作匀减速转动。该瞬时作匀减速转动。轮缘任一点轮缘任一点M和重物和重物A的速度相同，它们都为的速度相同，它们都为0 4 m sMAvvR. /4220 4 m sAaaR. /

36、方向如图所示。方向如图所示。点点M的法向加速度的大小为的法向加速度的大小为22n0 8 m saR. /点点M的全加速度的大小和方向分别为的全加速度的大小和方向分别为222n0 894m saaa./2arctanarctan0 526 34.这里这里 表示点表示点M的全加速度和半径之间的夹角。的全加速度和半径之间的夹角。重物重物A的加速度和点的加速度和点M的切向加速度的大小相等，即的切向加速度的大小相等，即 M A a na a Av Mv O Aa 43 r1 r2 M2 B M1 1 1 1v 2v 2 2 A M2 r2 M1 A 1 B 1v 2v 2 2 1 r1 【例【例6-86

37、-8】设主动轮】设主动轮A和从动轮和从动轮B的节圆半径分别为的节圆半径分别为r1和和r2，齿数分别为，齿数分别为z1和和z2。主动轮主动轮A的角速度为的角速度为1 1 ，角加速度为，角加速度为1 1，试求从动轮，试求从动轮B的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。解：在齿轮传动中，啮合点的速度和切向加速度的大小和方向相同，即解：在齿轮传动中，啮合点的速度和切向加速度的大小和方向相同，即 12vv12aa因而有因而有2211rr2211rr44从而可以求得从动轮的角速度和角加速度分别为从而可以求得从动轮的角速度和角加速度分别为 1212rr1212rr一对相互啮合的齿轮，它们的齿数和节圆的半径成

38、正比，所以上面式子可写为一对相互啮合的齿轮，它们的齿数和节圆的半径成正比，所以上面式子可写为 1211212zzrr1211212zzrr联合上面两式，可得联合上面两式，可得 12122121zzrr通常在机械工程中，把主动轮和从动轮的角速度之比称为传动比，用通常在机械工程中，把主动轮和从动轮的角速度之比称为传动比，用i12表示表示451212212112zzrri 有时为了区分轮系中各轮转向，对各轮规定统一的转动正向，这时各有时为了区分轮系中各轮转向，对各轮规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而传动比也可取代数值轮的角速度可取代数值，从而传动比也可取代数值12212211rzirz 式中，正号表示主动轮与从动轮转向相同式中，正号表示主动轮与从动轮转向相同( (内啮合内啮合) )，而负号表示主动轮，而负号表示主动轮和从动轮转向相反和从动轮转向相反( (外啮合外啮合) ) 。 466.4.3 角速度及