1.2高数下常数项级数的审敛法ppt课件

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第二节 数项级数审敛法 高等数学（下）高等数学（下）一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :，中中各各项项均均有有如如果果级级数数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. . nsss212.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :定理定理 正项级数收敛正项级数收敛 部分和数列部分和数列 有上界有上界. .ns1121nn 高等数学（下）高等数学（下）且且),2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收收敛敛, ,则则 1nnu收收敛敛；反反之之，若若 1nnu发发散散，则则 1nnv发发散散. .

2、 证证.1收收敛敛 nnu均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnvu3.3.比较审敛法比较审敛法nvvv 21nnuuus 21且且即即 的部分和数列有上界的部分和数列有上界1nnu1nnv 高等数学（下）高等数学（下）例如例如证证nnnnbcac 0且且,)(),(都都是是正正项项级级数数nnnnnnbcac 11敛敛 111nnnnnnnbcbc)(敛敛)(nnnac 1收收敛敛)(nnnnnnnacca 111 高等数学（下）高等数学（下）例例 1 1 证证明明级级数数 1)1(1nnn是是发发散散的的. 证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发发散散而而级级数数.)1(

3、11 nnn发发散散级级数数 .),(NnNkvunn (保大弃小保大弃小) 高等数学（下）高等数学（下）例例 2 2 讨讨论论 P P- -级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性. .)0( p 解解, 1 p设设,11nnp .级级数数发发散散则则 P nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211, 1 p设设由由 单调递减知单调递减知px1 高等数学（下）高等数学（下） npxdx11)11(1111 pnp111 p,有有界界即即ns.级级数数收收敛敛则则 P 发发散散时时当当收收敛敛时时当当级级数数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数:

4、: 等比级数等比级数, P-, P-级数级数. .用保大弃小法选参考级数用保大弃小法选参考级数. 高等数学（下）高等数学（下） 1nnu1)(dxxfoyx)(xfy 12 34)2()()1(21fdxxff)3()()2(32fdxxff 高等数学（下）高等数学（下）)()()1(1nfdxxfnfnnnnnuuudxxfuuu321121)(111)(uSdxxfSnnn 1nnunnSlimndxxf1)(1)(dxxf 高等数学（下）高等数学（下） ,1)(dxxfnndxxf1)(limndxxf1)( 1nnu例例:用积分判别法验证用积分判别法验证p-级数的收敛性级数的收敛性.

5、高等数学（下）高等数学（下）5.5.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设设= =1 1n nn nu u与与= =1 1n nn nv v都是正项级数都是正项级数 , ,假设假设,limlvunnn 那么那么(1) (1) 当当时时, ,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性 ; ; l0 (3) (3) 当当时时, , 假设假设= =1 1n nn nv v发散发散, , 那么那么= =1 1n nn nu u发散发散. . l (2) (2) 当当时，假设时，假设收敛收敛, , 那么那么收敛收敛; ;0 l 1nnv 1nnu (2) (2) 相当于相当于; ;nnvu (3

6、) (3) 相当于相当于. . nnMvu 高等数学（下）高等数学（下）证明证明lvunnn lim)1(由由, 02 l 对于对于,N ,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, , 得证得证. . 高等数学（下）高等数学（下）例例 3 3 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性: :(1) 11sinnn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原级数发散原级数发散. .)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收收敛敛 nn故原级数收敛故原级

7、数收敛. .nnn)ln1()3(1 高等数学（下）高等数学（下）nnn)ln1 ()3(1)ln1ln(nnnneu)ln(2lnln2222nnonnnnne).(1nn.)ln1 (1发散nnn 高等数学（下）高等数学（下）)ln131211 (limnnn )ln(nnn11110111 )ln(nn2121111020 xxxxxxxlim)ln(lim 高等数学（下）高等数学（下）6 6. .比比值值审审敛敛法法( (达达朗朗贝贝尔尔 D DA Al le em mb be er rt t 判判别别法法) )：设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果)(lim1 数数或或n

8、nnuu则则1 时时级级数数收收敛敛; ;1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .证明证明,为有限数时为有限数时当当 , 0 对对,N ,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即 高等数学（下）高等数学（下）,1时时当当 ,1时时当当 ，取正数, 1 r使使,11NNnnuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111nNNnur收敛而级数, 1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu 1nnu，取正数 1nnu 高等数学（下）高等数学（下）比值审敛法的优点比值审敛法的优点: : 不必找参考级数不必找参考级数. . 注意注意:1

9、 1. .当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效; ;,11发发散散级级数数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1( , 11nnuu 1nnu 高等数学（下）高等数学（下）,232)1(2nnnnnvu 例例,2) 1(211收收敛敛级级数数 nnnnnu,) 1(2( 2) 1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 3 3. .条条件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. . 高等数学（下）高等数学（下）例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:(1) 1!1nn; (2) 110!

10、nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收收敛敛故故级级数数 nn 高等数学（下）高等数学（下）),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发发散散故故级级数数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, , 改用极限审敛法改用极限审敛法),(412) 12(12nnnn,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收收敛敛故故级级数数 nnn 高等数学（下）高等数学（下）设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果 nn

11、nulim)( 为为数数或或 , ,则则1 时时级级数数收收敛敛; ;,1 ,1 nnn设设级级数数例例如如nnnnnu1 n1 )(0 n级数收敛级数收敛. .1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. . 高等数学（下）高等数学（下）)0()( !1xnxnnnexnxuunnnnn)11 (limlim1nn)11( 1)11 (1nnnneuunu 高等数学（下）高等数学（下）. 0) !(lim2nnnn12)!(nnnnnnnnnnnuu)11 (11limlim1. 0.) !(12收敛nnnn.0) !(lim2nnnn 高等数学（下）高等数学（下）判别正项级数敛散性的

12、步骤:4用比值审敛法或根值审敛法;4以P-级数为参考级数,用比较审敛法;4通项 ,级数发散;4以其它级数为参考级数,用比较审敛法,或积分判别法;4看部分和Sn是否有上界;4用Cauchy收敛原理;4用定义,求和s. 高等数学（下）高等数学（下） 13141nnntan 134112nn 22223nnnn cos解解 11314nnnn 2785nnnln 232ln116nnn 高等数学（下）高等数学（下）二、交错级数及其审敛法定义定义 nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其其中中即：正、负项相间的级数称为交错级数即：正、负项相间的级数称为交错级数. . 高等数学（下）高等数

13、学（下）证明证明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn ,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是是有有界界的的数数列列ns u u) 1(2111 nnnu, 0lim12 nnu又又)(limlim12212 nnnnnuss, s 高等数学（下）高等数学（下）.,1uss 且且级数收敛于和级数收敛于和),() 1(21nnnnuur余项,21 nnnuur这仍然是一个满足这仍然是一个满足LeibnizLeibniz收敛条件的交错级数收敛条件的交错级数.1 nnur定理证毕定

14、理证毕. .1us ,)1()1(111收收敛敛nnnnnnuu .,:11 nnurus综合综合 高等数学（下）高等数学（下）解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1单单调调递递减减故故函函数数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原级数收敛原级数收敛. .131ln) 1(nnnn 高等数学（下）高等数学（下）三、绝对收敛与条件收敛定定义义: :若若 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为绝绝对对收收敛敛; ; 12sinnnn)(!1Rxnxnn 高等数学（下）高等数学（下）定定理理 若若 1nnu收收敛敛, ,则则 1nnu收收敛敛. . 证

15、明证明), 2 , 1(nuuvnnn令, 0 nv显显然然,2nnuv且,1收敛收敛 nnv,nnnuvu又 1nnu收敛收敛.111)1(nnn 高等数学（下）高等数学（下）定定义义：若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. . 高等数学（下）高等数学（下）解解,1sin22nnn ,112收收敛敛而而 nn,sin12 nnn收收敛敛故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛. . 高等数学（下）高等数学（下）五、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.1.2.2.4.4.充要条件充要条件5.5.比较法

16、、极限法比较法、极限法6.6.比值法比值法7.7.根值法根值法4.4.绝对收敛绝对收敛5.5.交错级数交错级数( (莱布尼茨定理莱布尼茨定理) )3.3.按基本性质按基本性质; ;,则则级级数数收收敛敛若若SSn;, 0,则则级级数数发发散散当当 nun 高等数学（下）高等数学（下）判别一般项级数敛散性的步骤:4对通项取绝对值后,用比值审敛法或根值审敛法;4对通项取绝对值后,以P-级数为参考级数,用比较审敛法;若发散,对原级数用Leibniz判别法; 4通项 ,级数发散;4对通项取绝对值后,以其它级数为参考级数,用比较审敛法,或积分判别法;若发散,对原级数用Leibniz判别法; 4用Cauc

17、hy收敛原理;4用定义,求和s. 高等数学（下）高等数学（下） 21112111nnnnn 12112nnnnn 1!2132nnnn 12cos214nnnn 高等数学（下）高等数学（下）四、绝对收敛级数的性质11)1(nnn(无穷和式的交换律无穷和式的交换律) 高等数学（下）高等数学（下）1nna1nnc1nnb(无穷和式的分配律无穷和式的分配律) 高等数学（下）高等数学（下）naaaa321nbbbb321nbabababa1312111nbabababa2322212nbabababa3332313nnnnnbabababa321 高等数学（下）高等数学（下）)()(1121122111babababababannn)1)1()1)1(11nnnnnn) 1(1) 1(11) 1(21) 1(1) 1() 1(12nnnunnnn 高等数学（下）高等数学（下）11213111211) 1