定积分的背景ppt课件

1、 第四章第四章 定积分定积分 1.1定积分的背景定积分的背景背景来源面积的计算 矩形的面积定义为两直角边长度的乘积 一般图形的面积怎么计算？我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些“边角余料无外乎是右图所示的“典型图形”（必要时可旋转）“典型图形面积的计算问题就产生了定积分abxyo? A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出)(xfy abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯

2、形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）1xix1ixxabyo解决步骤解决步骤 :1) 分割分割.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210.,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 近似近似. 在第i 个曲边梯形上任取一点作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应小曲边梯形面积,iA得1()(iiiiiixxxxfA),.,2, 1,ni i3) 求和求和.niiAA1niiixf1)(4

3、) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(limxabyo1xix1ixi1、分割 将a，b分割为n个小区间2、取介点 在每个小区间上任取一点ii)(if3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(i)替代)(xfy 0 xa 1x2x1ixix1nxbxn4、作和：S=11)(xf22)(xfiixf)(nnxf)()( )(11iiiniiixxxxfyx1、分割 将a，b分割为n个小区间2、取介点 在每个小区间上任取一点i3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(i)替代)(xfy 4、作和：

4、S=11)(xf22)(xfiixf)(nnxf)()( )(11iiiniiixxxxfbaniiidxxfxfS)()(lim10|5、取极限 )max|(| )(lim10|iniiixxfSa byx3) 求和求和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 :“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限机动 目录 上页 下页 前往 终了 abxo5.1.2 定积分概念定积分概念,)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1

5、iiixxx令任取,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .记作机动 目录 上页 下页 前往 终了 baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(机动 目录 上页 下页 前往 终了 定积分的几何

6、意义定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfbaA机动 目录 上页 下页 前往 终了 o1 xyni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf可积的充分条件可积的充分条件:例例1. 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni机动 目录 上页 下页 前往 终了 2xy iiiixxf2)(则32nio1 xyniiinixf)(1niin123

7、1) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 注 目录 上页 下页 前往 终了 注注 利用利用,133) 1(233nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定积分表示下列极限用定积分表示下列极限:n

8、innin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110机动 目录 上页 下页 前往 终了 x01ni 1ni阐明阐明:机动 目录 上页 下页 前往 终了 , ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(. 1xyxyxyn110)(110nnabyyy将 a , b 分成 n 等份: abxoyix1ix(左矩形公式)(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(. 2xyx

9、yxyn21baxxfd)(. 3xyyii211)()(21110nnyyyynab(梯形公式)11ni为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森机动 目录 上页 下页 前往 终了 abxoyix1ix公式, 复化求积公式等, 并有现成的数学软件可供调用.性质性质1 常数因子可提到积分号外常数因子可提到积分号外性质性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。函数代数和的积分等于它们积分的代数和。babadxxfkdxxkf)()(bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(5.2 定积分的简单性质性质性质3 若在区间若在区间 a , b 上上 f (x)K，那么，那么

10、性质性质4 定积分的区间可加性定积分的区间可加性 假设假设 c 是是 a , b 内的任一点，那内的任一点，那么么)()(abKdxkkdxdxxfbabababccabadxxfdxxfdxxf)()()(abdxdxdxxfbababa1)(abcabc当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(机动 目录 上页 下页 前往 终了 性质性质5 如果在区间如果在区间 a , b 上上 ，f (x) g (x)，那么，那么性质性质6 设在区间设在区间

11、a , b 上上 （a1 时收敛 ; p1 时发散 .,因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例2. 计算广义积分计算广义积分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p机动 目录 上页 下页 前往 终了 2、暇积分、暇积分无界函数的积分无界函数的积分引例引例:曲线曲线xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy机动 目录 上页 下页 前往

12、 终了 定义定义2. 设设, ,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,( )dlim( )dbbattaf xxf xx 这时称暇积分xxfbad)(收敛 ; 如果上述极限不存在,就称暇积分xxfbad)(发散 .类似地 , 假设, ),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxftabtbad)(limd)(若极限lim( )dbttaf xx 数 f (x) 在 （a , b 上的暇积分, 记作则定义机动 目录 上页 下页 前往 终了 则称此极限为函 ,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界点常称邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xx

13、fbcd)(为瑕点 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 则定义112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛例例3. 计算暇积分计算暇积分0arcsinatatlim. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为显然瑕点为 a , 所以所以原式atlimatlim2机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例4. 讨论暇积分讨论暇积分112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101limtxtttx101lim所以暇积分112dxx发散 .tdxxa02210arcsintax备用题备用题 试试证证xxxxxd11d04204, 并求其值 .解解:041dx

14、x令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx22机动 目录 上页 下页 前往 终了 5.6.2、 函数函数1. 定义定义:函数)0(d)(01sxexsxs2. 性质性质(1) 递推公式机动 目录 上页 下页 前往 终了 证证: 0d) 1(xexsxs)0()() 1(ssss(分部积分)0dxsex01d0 xexsexxsxs)(ss注意到:0d) 1

15、 (xex1有,N n)() 1(nnn) 1() 1(nnn) 1 (!n!n(2)机动 目录 上页 下页 前往 终了 得令,2ux )0(d)(01sxexsxs)0(d2)(0122suuessu0d2ueu21212习题课一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法机动 目录 上页 下页 前往 终了 二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题 第五章 一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法1. 用定积分概念与性质求极限2. 用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例

16、1. 求求.d1lim10 xeexxxnn解解: 由于由于 1,0 x时,xxneex10所以xeexxxnd1100 xxnd1011n利用夹逼准则得0d1lim10 xeexxxnn,nx由于 依赖于且1) 思考例思考例1下列做法对吗下列做法对吗 ?利用积分中值定理eenn1lim原式0不对不对 !,n.10机动 目录 上页 下页 前往 终了 阐明阐明: 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . px11ppxx11) 10( x1px1 如, P265 题4练习练习: 1.求极限).21(lim22222nnnnnnnn解：解：原式nn

17、1limnini12)(11xxd1110242. 求极求极限限).2212(lim12121nnnnnnnnn提示：提示：原式nn1limnini121limnnnnini12n1xxd2102ln111limnnnini12左边= 右边机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例3.d411032xxx估计下列积分值解解: 由于由于 1 ,0 x3241xx 41,412xxxxd411032xd2110 xxd41102即xxxd411032216机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例4. 证明证明.2d222042exeexx证证: 令令,)(2xxexf那么xxexxf2) 12()(

18、令,0)( xf得,21x, 1)0(f,1)(421ef2)2(ef,1)(min42,0exf22,0)(maxexf故22042d22exeexx机动 目录 上页 下页 前往 终了 二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法思索思索: 下列作法是否正确下列作法是否正确?xxx1d1112112xxd111132)(32xt 令0d23112111ttt机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例9. 求求.d12ln02xex解解: 令令,sintex那么,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262