第16,2机械振动(简谐振动的特征、表示、能量;合成)

1、波动篇波动篇机械振动机械振动机械波机械波波动光学波动光学内容：内容： 人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学分成力、热、声、电、光等子学科。然而，某些形式分成力、热、声、电、光等子学科。然而，某些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的要算振的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在电学中动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则是一种有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和波，仅电磁波。在近代物理中更是处处离不

2、开振动和波，仅从微观理论的基石从微观理论的基石量子力学又称波动力学这一点量子力学又称波动力学这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重要性了。就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重要性了。前前 言言 尽管在物理学的各个分支学科里振动和波的具尽管在物理学的各个分支学科里振动和波的具体内容不同，在形式上它们却具有极大的相似性。体内容不同，在形式上它们却具有极大的相似性。 所以机械振动、机械波两章的意义绝不局限于所以机械振动、机械波两章的意义绝不局限于力学，它将为学习整个物理学打基础。力学，它将为学习整个物理学打基础。本章的基本内容本章的基本内容第一，简谐振动（第一，简谐振动（特征量，表示法，

3、能量；例证特征量，表示法，能量；例证）；）；第二，振动的合成第二，振动的合成与分解与分解；第三，阻尼振动、受迫振动、共振，非线性振动。第三，阻尼振动、受迫振动、共振，非线性振动。机械振动机械振动(Mechanical Vibrations)(Mechanical Vibrations)机械振动机械振动：物体的位置在某点附近作来回往复运动：物体的位置在某点附近作来回往复运动广义广义振动振动：某物理量随时间作反复变化：某物理量随时间作反复变化例：交流电例：交流电( (电流强度电流强度) )，电磁振荡，电磁振荡( (场强场强) )平衡位置：小球受合力为零的位置。（此处平衡位置：小球受合力为零的位置。

4、（此处是弹簧处于自然状态的位置）是弹簧处于自然状态的位置）一、典型模型：弹簧振子一、典型模型：弹簧振子模型假设：模型假设：轻弹簧：质量忽略不计，形变满足轻弹簧：质量忽略不计，形变满足Hooke定律；定律；物体可看作质点。物体可看作质点。16.116.1 简谐振动简谐振动 (Harmonic Vibration)(Harmonic Vibration) 则则受力分析，受力分析，Hooke定律：定律：运用牛顿定律，运用牛顿定律，改写方程改写方程令令Fkx 2/k m22dtxdmkx 022xmkdtxd0222xdtxd简谐简谐振动振动微分微分方程方程xxFmo二、简谐振动的运动学特征二、简谐振

5、动的运动学特征谐振动的运动学方程谐振动的运动学方程 特解为特解为 cos()xAt2220d xxdt sin( )cos( )2dxvAtAtdt 22cos( )cos( )dvaAtAtdt 1 1）受力受力（动力学特征）（动力学特征）Fkx 2 2）运动学运动学微分方程微分方程（运动学特征）（运动学特征）3 3）运动学方程运动学方程（运动学特征）（运动学特征）) cos( tAx说明：说明： 要证明一个物体是否作简谐运动要证明一个物体是否作简谐运动只要证明只要证明上面三个式子中的一个即可；上面三个式子中的一个即可； 研究简谐振动时，研究简谐振动时，坐标原点坐标原点只能取在只能取在平衡位

6、置平衡位置。简谐振动的特征：简谐振动的特征：0222 xdtxd （线性回复力）（线性回复力）（二阶齐次线性常微分方程）（二阶齐次线性常微分方程）xAtcos()系统固有角频率系统固有角频率 相位相位 初相位初相位振幅振幅其中，振幅、角频率、初相是简谐振动的特征量其中，振幅、角频率、初相是简谐振动的特征量三三 描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量谐振动的运动学方程谐振动的运动学方程 ： 指谐振子离开平衡位置的最大位移的绝对值指谐振子离开平衡位置的最大位移的绝对值振幅是由系统的初始条件决定的振幅是由系统的初始条件决定的0cosxA 及及0sinvA 22002vAx 由由也可由系统能量求振幅

7、也可由系统能量求振幅2EAk（即依赖于外界对系统预置的能量）（即依赖于外界对系统预置的能量） 振幅振幅 （amplitude） 振幅的大小反映了振动能量的大小即振动强度振幅的大小反映了振动能量的大小即振动强度的大小，这就是振幅的物理意义！的大小，这就是振幅的物理意义！速度幅速度幅 maxvA 加速度幅加速度幅 2maxaA sin( )cos( )2dxvAtAtdt 22cos( )cos( )dvaAtAtdt 力幅力幅 2maxmamAkA 单位时间内振动的次数单位时间内振动的次数角频率角频率 物体完成一次全振动所需时间物体完成一次全振动所需时间00cos()cos()AtAtT频率频率

8、（frequency） 周期周期（period） T单位：单位：Hz2 秒内的振动次数秒内的振动次数 2T 12T 22T 弹簧振子弹簧振子kmT 2 mk 21 mk 单摆单摆glT 2 lg 21 lg 是决定谐振子是决定谐振子t 时刻运动状态（时刻运动状态（x，v）的物理量）的物理量t = 0 时刻的相位，决定开始时刻振子的运动状态时刻的相位，决定开始时刻振子的运动状态相位相位（phase）初相位初相位 （initial phase） tcos(i)s n( ) vAxttA00cossin xAvA t=0时时2200200 vAxvtanx 四四 简谐振动的能量简谐振动的能量返回21

9、2pEkx2221sin ( )2mAt 212kEmv212kpEEEkA2221cos ( )2mAt 谐振系统的动能、势能交替变化，相互转换，谐振系统的动能、势能交替变化，相互转换，而总能量不变。而总能量不变。cos(i)s n( ) vAxttACO1、单摆、单摆则则sinsinMmgl mgfT摆球对摆球对C 点的力矩（注意正向定义）点的力矩（注意正向定义）Mmgl 本质上是转动，因此作力矩分析本质上是转动，因此作力矩分析35sin3!5!若若很小（摆球作小角度摆动）很小（摆球作小角度摆动）222dmglmldt 运用定轴转动定律运用定轴转动定律MJ 五、微振动的简谐近似五、微振动的

10、简谐近似注意到注意到结论：单摆的小角度的摆动是简谐振动。结论：单摆的小角度的摆动是简谐振动。gl 0其角频率、振动周期分别为：其角频率、振动周期分别为：2220ddt 2/g l 令令得振动微分方程得振动微分方程2220dmgldtml 方程改写方程改写lTg 022（单摆的（单摆的固有频率、固有周期固有频率、固有周期）2、复摆、复摆2220ddt 结论：复摆的小角度摆动是简谐振动。结论：复摆的小角度摆动是简谐振动。当当 时时sin22dmghJdt 2mghJ 力矩分析力矩分析sinMmgh 运用定轴转动定律运用定轴转动定律令令 复摆是在重力场中，绕不过复摆是在重力场中，绕不过质心的水平固定轴摆动的刚体。质心的水平固定轴摆动的刚体。 如图所示，振动系统由一劲度系数为如图所示，振动系统由一劲度系数为 k 的轻的轻弹簧、一半径为弹簧、一半径为 R、转动惯量为、转动惯量为 J 的的 定滑轮和一定滑轮和一质量为质量为m 的物体所组成。使物体偏离平衡位置后的物体所组成。使物体偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期周期 T 。解：普通物理学教案例题1 ：设设 m 在平衡位置时