第3章：离散系统动力学参数

1、离散系统的动力学参数及其确定方法§31结构系统的离散化方法离散化将结构系统简化为有限自由度系统关键：合理考虑惯性力的作用，合理选择动力自由度3.1.1质量集中法将分布质量集中在有限个离散点，质点之间通过一定的弹性连接。图3丄1三个自由度的集中质量系统只考虑竖向的惯性力，三个自由度;総核総核缓総核繰miin<1m3<图3丄2三层剪切框架及简化模型(2)若考虑转动惯量，六个自由度；再考虑水平位移，九个自由度。第3章离散系统的动力学参数及其确定方法mx=*(码A+m?/9)m2=(ni2l2+m3l3)(3.1.1)3.1.2广义位移法XM)=£ZW)sin字(3.1

2、.2)n=I2m2mi叫图3丄3简支梁的离散化y(x,f)q片(t)sinj+K,(Z)sin2：疋+(t)sin3："(3.1.3)J三个广义坐标，近似为三自由度推广：一维问题：二维问题：Ny（兀0=£打驾（X）（314）n=lMNW（1W）=££比/）%初（兀刃（3.1.5）简支梁的广义位移mn=条件：0（兀）和（Pim（x,y）应满足几何边界条僭3.1.3有限单元法数学思想：分片插值和变分原理应用有限单元法进行结构系统动力分析的基本步骤:单元划分：选择合适的单元对结构进行离散；单元分析：计算单元的动能和势能及外力和阻尼力的功，应用哈密顿原理建立单元

3、的运动方程;单元集总：组装所有的单元，形成整体运动方程;(4) 引入边界条件，消除刚体位移，修改运动方程；Mx+Cx+Kx=F(t)(3.1.6)M质量矩阵；C一阻尼矩阵；K刚度矩阵；F(t)等效激振力列阵。(5) 解动力方程，求固有频率、固有振形及结点动位移;(6) 用插值公式求出各单元内部各点的动位移和动应力。图321有集中质量的简支梁质量参数与系统的动能密切相关!yCM)=y(0sin(7rx/l)(321)1系统1T=121_112的动能：dxM+J価sin2%Y2(t)1T1!r=2MmlY2(t)(3.2.2)2第3章离散系统的动力学参数及其确定方法§3-2质量参数及其确

4、定方法例321图示等截面简支梁，设质量块在振动过程中梁的挠曲线可用单个正弦波函数乗表示，试计算系统的动能，并确定作为单自由度系统的等效质量。解：梁挠曲线方程：Y0）是质量块的竖向位移，为广义坐标。等效质量：M=M+mleqL=M+帥(3.2.3)第3章离散系统的动力学参数及其确定方法例322考察例321中的简支梁，假设梁的挠曲线可用三个正弦波的和来表示，试计算系统的动能，并确定系统的质量参数。解：梁挠曲线方程：、2v(x,/)=K(0sin孚+K,(Z)sin+K(0sin-(3.2.4)系统的动能:T=*M2dx(3.2.5)“丿将式(324)代入式(3.2.5),并利用正弦函数的正交性，得

5、:T=_2*匕+乙2)+彳加(*2+巳2+乙2)(3.2.6)厂、T厂、'M+m0M_T1T=2>00<>(3.2.7)_-M0M+飘矩阵形式:第3章离散系统的动力学参数及其确定方法动能的矩阵形式:3Ndx.Ox.“芳就忒(1223)T=qTMq(3.2.8)I”J1121mni12m22mnlmxIn弘2n(3.2.9)M+m0M'M=00(3.2.7)-M0M+|m质量矩阵:多自由度离散系统动能的一般表达式:Annmkl=mz叫iq&i乙k=l1=1第3章离散系统的动力学参数及其确定方法例323考察某一维的弹性体，长度为2,分布质量为m(x)0设弹

6、性体的振动位移可用满足边界条件的位移函数的和来表示：n(3.2.10)y(忑0=2C)%(%)试求系统的质量矩阵。解：动能：T=2dxi=lQm(x)(dy/dtjdx=匸页(兀)(*£%nn.ynn.=*工工y.yjom(x)cp.(x)cp.(x)dx=+工工叫丫鮎/J=1/i二1j=l质量矩阵的系数：m.='om(x)cpx)(p.x)dx(3.2.12)对于有限单元法，质量矩阵与单元划分及单元形式有关。不论采用哪种方法，最后系统的动能都可以表达为式(328)的形式。第3章离散系统的动力学参数及其确定方法§3-3能量耗散与阻尼参数的确定系统的阻尼系数与系统在运

7、动过程中所耗散的能量密切相关。阻尼的主要形式:内阻尼和外阻尼内阻尼：也称结构阻尼，由材料的非弹性部分所致;夕卜阻尼：介质阻尼.库仑阻尼.连接阻尼等3.3.1粘滞阻尼模型阻尼力：FdLc&(2.3.1)图3.3.1粘滞阻尼模型3.3.2滞变阻尼模型特点：振动时结构材料的应变&的相位总是毎后于应力0的相位一个角度卩0s-勺幺加，a-Esq(t)R0(')+刃(3.3.3)应力一应变关系:cr=ej7Es(3.3.4)卩称为结构阻尼参数，卩远小于1耳ejr总1+jy(3.3.5)近似应力一应变关系：cr(l+j/)Es=E8(3.3.6)复弹性模量：E*=E(l+)复刚度：F

8、=(l+复阻尼理论：复阻尼的实部就是刚度系数，虚部代表的阻尼。3.33能量耗散与等效阻尼运动方程：mx+cx+kx=F(t)(3.3.7)mx+(l+jy)kx=F(t)(3.3.8)对数衰减率：/=ln(xj/卩)=Ing/®)=玉=乞=中=么=乞=(339)X2兀3兀1兀2各振动周期开始的能量：匕二#彳匕=#©(3.3.10)能量耗散比：个学二匕詳二匚蜀vivixi乜丿(3311)=1-2§U25=4時第3章离散系统的动力学参数及其确定方法第3章离散系统的动力学参数及其确定方法AVXj=7rcat(3.3.12)屮二1Q25二4吋AVj=4硝%=2硝kXj2-

9、71-2斗阻尼系数的等效：振动一个周期阻尼所耗散的能量相等。结构阻尼:AV*=aA1等效粘滞阻尼:AV=71jCDCC1AV*=AV=a/(如)(3.3.13)一般等效原理:在一个振动周期内阻尼力所做的虚功相等。例3.3.1图示悬臂梁，自由端固定一个质量块。梁在3和23处各安装一个阻尼器，阻尼系数分别为5和C2，求等效阻尼系o图332等效阻尼系统解:近似取悬臂梁在自由端集中荷载作用下的静挠度曲线为梁的位移函数，以自由端的竖向最大位移为广义坐标。grll耳=諾2(3勺(3.3.14)F=舟:岭=务卩(。的1=务5卩0力儿=寻力丫(，)，舟：y2=Y(t)FD2=c2Y(t)比咄W)my厂

10、3;，厂殳16c+196叫=咼向1+兀2另2=YSY=cY3Yeq耳c(16q+196c2)/729334多自由度粘滞阻尼系统的能量耗散与阻尼矩阵几=c.r.(3.3.18)3N.dx.亠亠小工c£q(3.3.19)7日SjN质点系统，2个完整约束，自由度,广义坐标：？=(如，§2,么)i质点所受的阻尼力:Di火3NdX.广义力：F；产舌込訂一瑞雷(Rayleigh)耗散函数：13N(3320)R=ZCiXi乙i=比较式(33.19)和(3.3.20):F=-dR/dq(3321)1dJ广义坐标表示尺二“=*££c小匕么二；yQCQ（3.3.23）乙上1

11、乙j=k=l乙C为阻尼矩阵：3NdX.dX.see八丁普药両（3324）用广义坐标表示广义力：每=llcjkQkWjk=粘滞阻尼系统的拉格朗日方程：d_dt辭噹再（小，2,时（3325）F*除阻尼力以外的非保守力。例332图示双自由度系统，质量块的质量分别为加1和加2,刚度系数和阻尼系数分别为k：和c：(i=l,2,3),试求系统的质量矩阵M和阻尼矩阵C。xlfk2-AMMArmxC2无2C3图333两个自由度的质量一弹簧一阻尼器系统mx0°m2_解：取质量块的水平位移兀1和勺为广义坐标质至矩阵：M二diag网，加2)=瑞雷耗散函数：I:用+C2G2F+C3对矩阵形式：c+c2C2C

12、2C2+C3了、±1<>爲<J“阻尼矩阵:C+C2-C2一迈c2+c3兀k兀2图3.4.1弹簧模型弹簧的相对变形:a线性范围兀图342弹簧的变形曲线第3章离散系统的动力学参数及其确定方法§3-4弹性参数及其确定方法弹性参数，包括刚度和柔度，与系统的变形能有关。外力一变形关系：软弹簧:弹簧刚度随变形的增大而减少;硬弹簧:弹簧刚度随变形的增大而增大。k-(5f/5x)v=0二tana小变形情况：Fs(x)=kx(3.4.1)弹性恢复力：kx%)(3.4.2)第3章离散系统的动力学参数及其确定方法&r-WWW-ik2AAAA/V:k/WVWV图343并联

13、弹簧模型(345)储存在弹簧内部的变形势能V等于外力在变形过程中所做的功VR匡忆Wkgd"界好(3.4.3)3.4.1并联弹簧和串联弹簧(1) 并联弹簧的特点尺各弹簧的变形相等：x=xFSi=kjx(i=1,2,”)(3.4.4)总外力：Fs=YFSi=kixi=i1Al等效刚度系数:nkeq=Zkt(3.4.6)i=串联弹簧的特点_kxk2knFsv-WVWAr0s各弹簧所受的力相等：k_eq_ppFsoVVWA/WV/WWWWV-Fs各弹簧的变形:兀二氏/心（心12必）(3.4.7)串联弾簧总变形：_nhFn"IX二斗E(4、n1F，丄s乙瓦l=iKi丿k(3.4.8)

14、等效刚度系数:eq图344串联弹簧模型第3章离散系统的动力学参数及其确定方法第3章离散系统的动力学参数及其确定方法MEl3.4.2单自由度系统等效刚度系数的计算关键：计算实际系统的变形势能！*12例3.4.1图示简支梁，已知抗弯刚度刃，质量M和刚度系数人试计算等效刚度系数。解：以跨中的最大挠度Y（t）为图3.4.5受弹簧支撑的简支梁广义坐标，分三种情况讨论：（1）若M较小，用均布荷载作用下简支梁的挠曲线来表示变形。x（兀t）=甞典i茗2+罗）（3410）-訓2（0+肌可磐dx=k+尸49.15E/0(3412)等效刚度系数：H)上+49.严/(3.4.13)(2) 若M较大，用跨中受集中力作用

15、的简支梁挠曲线来表示变形。儿(X,0=負3-4孑)(0<<1)(3.4.14)-尹2,1152E/rl/2pJo尹+等效刚度系数：*;)=£+兰笔y2(0(3.4.15)(3.4.16)(3) 取梁的位移函数为单个正弦波y3(x,0=m-sin«)(3.4.17)V=*厂+铲层计(硝)莺)=*£+)厂(3.4.18)等效刚度系数：=k+48,7J£/(3.4.19)结论：三种结果接近，为并联的弹簧组合。3.4.3等效激振力的计算等效激振力与外力所做的功有关!1111/2qQc,t)=(3.4.20)等效条件：外力和等效激振力在任一虚位移上所做

16、的虚功相等!仍用例3.4.1的梁来说明计算过程。设梁受均匀分布的激振力作用：叫=临皿加)叫=化(0(3.4.21)3WF=6WpF鴛(0=1qj/(0=0.6的f(t)耳畴)(0=fqQl/(0二0.62聊/(0需手如")=0637如")344多自由度系统的变形势能与刚度矩阵考察在系统的平衡位置处对变形势能卩作泰勒展开:Inn幻+M厶1=丿=1q.qjH(3423)o养0Wo仝qQqj平衡位置：=0保守力：Fqj=dq.变形势能的矩阵形式:刚度矩阵K的元素:(3425)V=qTKq(3.4.24)弹性恢复力矢量：Fs(0=-dV/dq=-Kq(3426)例342试求例33.

17、2p中双自由度系统的I刚度矩阵。IyvvA/Ar匚Cmxm2-nA/WWV-iC2图333两个自由度的质量一弹簧一阻尼器系统解：仍取两质量块的水平位移兀1（。和兀2为广义坐标系统的势能:打Si+爲（兀2-兀丿+心圮(3.4.27)矩阵形式:X2何+©Jk2k2+k3.>2>(3.4.28)刚度矩阵:“1+*2_*2一心心+心(3.4.29)3.4.5计算刚度系数的两种常用方法(1)刚度法匚丁的物理意义:为使系统沿幻方向产生单位位移而要在£方向施加的力。m图346两个自由度系统及其刚度系数(3430)仲)1>=%kn旺、<>kk/21傀22X2(

18、0平衡条件:(3.4.31)例343确定图示三层框架的质量矩阵和刚度矩阵。解：集中质量系统kl5k/3*31*22*232m1_M=m=m1m1刚度系数:2m%*12图347三层剪切型框架及其刚度系数ID4'12=*21=上2=_*11=心+心=3*22=上2+心=15“23=上32=瓦3=33=3=5刚度矩阵：K=备第3章离散系统的动力学参数及其确定方法20-50(3.4.34)-58-30-33（2）柔度法kkk代21代22(3.4.30)“11“12kk八21八22柔度矩阵：djGl/JXi巧2一F、(0(3.4.35)小）柔度系数殆的物理意义：系统沿g）方向施加单位力而在

19、63;方向产生的位移。第3章离散系统的动力学参数及其确定方法例34.4图示可忽略质量的弹性悬臂梁，上面有三个集中质量块，质量均为加，梁的抗弯刚度常量。求系统的柔度矩阵和刚度矩阵。解：用单位荷载法求柔度系数（3-4.36）5二力3§*=3一3E厂12_°21_81£/叫=m<>m3=m<>（胚）（和54288_7-1612_6-28165K-戶-辛乎-1644-46162EIT13/852MM12-4680_e_8/Z3e_e_4加力22二丽，=81E7A_a_5/z?_/z3血=如=旋7，=丽图348三自由度系统及其柔度系数解:例345用柔

20、度法重新计算例343。图3.4.9111d=<514414920-50_-58-30-33三层剪切型框架及其柔度系数3.1图示的三层框架，各层的层高为"，设各层立柱每单位长度总的质量为竹（归1,2,3）,并假定各层立柱的变形可用直线形状来近似，试求系统的等效质量矩阵。k/5k/32m题2.2图AkK(0F'/XMBk第3章离散系统的动力学参数及其确定方法32在习题22中，若梁单位长度的质量为m=M/5a,试求系统的等效质量。线性关系：y=x+盍（_必）T=MY2my2dx,V=jk(yf+£)系统有两个自由度，取Pi和X2为广义坐标。第3章离散系统的动力学参数

21、及其确定方法&NHrk233如图所示，质量块与支承面的摩擦系数为“，阻尼力与接触面正压力之间的关系为F小Fn,这种阻尼机制称为库仑阻尼。(1)求等效阻尼和等效刚度；(2)建立系统的运动方程；确定受迫振动的振幅A与激振频率p之间的关系。Fsinpt(1)求等效刚度：1_1卜1_心+心+&题3.3图尸。Fdx4A二mgA心k+k2k3k3(k+k2)(2)求等效阻尼系数：x=Asincot库仑阻尼力：Fd=pN=jlimg粘滞阻尼力：=-JFDdx=ex2dt=cG)2，o(cosa)t)2dt=-7rcoA2WD=-7TccoA2Ceq=710)A系统的运动方程：mx+ceqx+keqx=Fsinpt质量块动位移的振幅:FJ伙旳一加”)2+2两#)23.4五根弹簧的刚