第一类曲面积分学习教案

1、会计学1第一类曲面第一类曲面(qmin)积分积分第一页，共42页。oxyz例：设曲面例：设曲面(qmin)(qmin)形构件具有连续面密形构件具有连续面密度度),(zyx 类似类似(li s)(li s)求平面薄板质量的思想求平面薄板质量的思想, , 采用采用kkkkS ),( 可得可得 nk 10lim M),(kkk “ “分割分割(fng)(fng)，近似，近似, , 求和求和, , 取取极限极限” ” 的方法的方法, ,求质量求质量 M.其中其中, , 表示表示 n 小块曲面的直径的小块曲面的直径的最大值最大值 ( (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者曲面的直径为其上任意两点间距离

2、的最大者). ). 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第1页/共42页第二页，共42页。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 ，叫叫做做被被积积函函数数其其中中),(zyxf.叫积分曲面叫积分曲面 .叫面积元素叫面积元素dS第2页/共42页第三页，共42页。机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明(shumn(shumng)g)：（1 1）曲曲面面 的的质质量量：dSzyxm),( （2 2）若）若 1),( zy

3、xf，则，则 dS的面积。的面积。 （3 3）若若 是是封封闭闭曲曲面面，则则积积分分号号记记为为 。 则对面积则对面积(min j)(min j)的曲面积的曲面积(min j)(min j)分存在分存在. .在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续, , 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. . 积分的存在性积分的存在性. . ),(zyxf若若第3页/共42页第四页，共42页。 Szyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质线性性质(xngzh).(xngzh).则则为常数为常数设设,21kk SzyxgkSzyxfkd),(d),(21机动

4、机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对积分对积分(jfn)(jfn)域的可域的可加性加性. .,21 则有则有 Szyxfd),( 1d),(Szyxf 2d),(Szyxf若若 是分片光滑的是分片光滑的, ,例如分成例如分成两片光滑曲面两片光滑曲面第4页/共42页第五页，共42页。机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 中值定理中值定理(dngl).(dngl). 保号性保号性. .第5页/共42页第六页，共42页。关于曲面关于曲面(qmin)的轮换对称的轮换对称性：性： 曲面具有轮换曲面具有轮换(lnhun

5、)对称性是指：曲面关于直对称性是指：曲面关于直线线x = y = z 对称。对称。 如果曲面如果曲面 有轮换对称性，它的方程有轮换对称性，它的方程 F (x ,y ,z)=0有如下有如下(rxi)特征：将特征：将 F (x ,y ,z) 中的变量中的变量 x ,y ,z 的位置的位置任任 意互换，不会改变意互换，不会改变 F 的表达式。的表达式。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对称性对称性. .第6页/共42页第七页，共42页。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 1 1、如果、如果(rgu) (rgu) 曲面曲面 有

6、轮换对称性，那么被积函有轮换对称性，那么被积函数数 f ( x, y, z) f ( x, y, z) 中的变量中的变量 x, y, z x, y, z 无论怎样互换，积分值无论怎样互换，积分值不会改变。即不会改变。即2 2、如果曲面、如果曲面 关于平面关于平面(pngmin) y= x (pngmin) y= x 对称，则对称，则 dSyxzfdSzyxf ),(),(dSyzxfdSxzyf ),(),( dSzxyfdSzyxf ),(),(曲面曲面 关于平面关于平面 y= z 或或 z=x 对称有类似的性质对称有类似的性质 。第7页/共42页第八页，共42页。oxyz定理定理(dngl

7、): (dngl): 设有设有光滑曲面光滑曲面yxDyxyxzz ),(),(:f (x, y, z) 在在 上连续上连续(linx),存在存在(cnzi), (cnzi), 且且有有 Szyxfd),( yxDyxf),( Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122 则则曲面积分曲面积分证明证明: :yxD),(kkk yxk)( 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Szyxfd),(kkkkSf ),( nk 10lim 第8页/共42页第九页，共42页。 kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22 yxkkkykkxzz

8、)( ),(),(122 0lim nk 1yxkkkykkxzz)( ),(),(122 yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22 ),(yxz ),(,(kkkkzf ( ( 光滑光滑(gung hu)(gung hu)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 Szyxfd),(kkkkSf ),( nk 10lim 第9页/共42页第十页，共42页。;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx ( , , )f x y z dS ),(:. 1yxzz 若曲面若曲面则则按照按照(nzho)曲面的不同情况分为以下四种情形

9、：曲面的不同情况分为以下四种情形：机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则则),(. 2zxyy ：若曲面若曲面.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面则则第10页/共42页第十一页，共42页。机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4 4 若若曲曲面面 的的方方程程为为：),(vuxx ，),(vuyy ，),(vuzz ，Dvu ),(，则则 ( , , )f x y z

10、 dS Dvuzvuyvuxf),(),(),(dudvvuyxvuxzvuzy222),(),(),(),(),(),( |uuuvvvijkxyzdudvxyz Dvuzvuyvuxf),(),(),(第11页/共42页第十二页，共42页。解：解： 其中其中 1 ：0 z, , 3 ：122 yx. xyDdxdyx11 321机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1 1： 2xdS, 01 xdS由对称性，易知由对称性，易知0 xzoy11 2 xz1 2 3 xyD第12页/共42页第十三页，共42页。讨论讨论3 时时, , 将投影域选在将投

11、影域选在xoz上上. . （注意：（注意：21xy 分为前后分为前后两片）两片） 3xdS 31xdS 32xdS （前后两片投影（前后两片投影(tuyng)相同）相同） xzDzxdxdzyyx2212机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 : 11,02xzDxzx 1120212xdzdxxx xzoy11 2 xz1 2 3 xyDxzD221xzDxdxdzx 2121+221xxdxx 奇函数奇函数11221112211dxx dxx 112arcsin x 单位单位(dnwi)圆的面积圆的面积第13页/共42页第十四页，共42页。例例

12、2 2：解解机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyxxyD 2324.324a 0,0,: yxayxDxy 1238dSx xaadyxdx020324 adxxax02)(324由轮换对称性由轮换对称性第14页/共42页第十五页，共42页。xozy 设设2222:azyx ),(zyxf计算计算(j (j susun)n).d),( SzyxfI解解: : 锥面锥面22yxz 222yxaz .2,2222azayx 1 设设 ,2),(222ayxyxDy

13、x ,22yx ，022yxz 当当22yxz 当当与上半球面与上半球面的交线为的交线为为上半球面夹于锥面间的部分为上半球面夹于锥面间的部分(b (b fen)fen)， 则它在则它在 xoy面上面上(min shn)(min shn)的的投影域为投影域为1yxD,122222yxaazzyx 又又机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则 第15页/共42页第十六页，共42页。222yxaa 1d)(22SyxI yxDyx)(22 dd2022220 aaa)258(614 a yxddxozy1yxD机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回

14、 结束结束 思考思考: : 若此例中被积函数若此例中被积函数(hnsh)(hnsh)改为改为 ),(zyxf,22yx ，022yxz 当当22yxz 当当计算结果如何计算结果如何(rh) ? (rh) ? 2),(222ayxyxDyx 第16页/共42页第十七页，共42页。机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解：解：球面的参数球面的参数(cnsh)方程为：方程为： cossinsincossinRRzRyRx 200 222),(),(),(),(),(),( yxxzzy sin2R ddRRID sin)cos1(22248 R 第17

15、页/共42页第十八页，共42页。的面密度的面密度为曲面为曲面设设 ; dSM 机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 :)2(的质心坐标的质心坐标 ,x dSy dSz dSxyzdSdSdS是常数，则是常数，则若若 111,xxdSyydSzzdSAAA称为称为(chn wi)形形心心的面积的面积是是其中其中 A的质量：的质量： )1(第18页/共42页第十九页，共42页。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 的转动惯量的转动惯量三个坐标轴及坐标原点三个坐标轴及坐标原点对对 ,)(22 dSzyIx

16、 ,)(22 dSxzIy ,)(22 dSyxIz dSzyxI )(2220的转动惯量的转动惯量或一点或一点空间一条直线空间一条直线对对)()3(00PL dSdIL 20的距离的距离或点或点上任一点到直线上任一点到直线是曲面是曲面其中其中)(00PLd 特别特别(tbi)地地第19页/共42页第二十页，共42页。机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 质点的引力质点的引力处质量为处质量为对位于对位于0000),()4(mzyx ,)(300 dSrxxGmFx dSryyGmFy300)( 202020)()()(zzyyxxr ：其中其中,)(30

17、0 dSrzzGmFz ,zyxFFFF 为引力常数。为引力常数。G第20页/共42页第二十一页，共42页。,d)(22 SyxI其中其中(qzhng) (qzhng) 是球面是球面由轮换由轮换(lnhun)(lnhun)对称性：对称性： SzSySxddd222 SzSySxddd SzyxId)(32222 Szyxd)(34 Sxd4 Sxd4 48)3(4142 解解: : 显然球心为显然球心为,)1 , 1 , 1(半径为半径为3 x利用质心公式利用质心公式 Sxd Sd).(2222zyxzyx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第21页/共42页第二十二

18、页，共42页。解：解：由由对对称称性性知知 0 yxFFdSzyxzGFz 23222)(0 机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 柱面的参数柱面的参数(cnsh)方方程为：程为：， zzRyRx sincos 200 hz222),(),(),(),(),(),( zyxzxzzzyR 第22页/共42页第二十三页，共42页。dSzyxzGFz 23222)(0 )1(222hRRG 机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dzdzRRzGDz 2322)( hdzzRRzdG0232220)( )1(2,

19、0,022hRRGF 所求引力所求引力第23页/共42页第二十四页，共42页。设有一颗地球同步轨道设有一颗地球同步轨道(gudo)(gudo)通讯卫星通讯卫星, , 距地面距地面高度高度 h = 36000 km,机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 运行运行(ynxng)(ynxng)的角速度与地球自转角速度相同的角速度与地球自转角速度相同, , 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. . ( (地球半径地球半径 R = = 6400 km ) km )解：解：yzxohR R建立坐标系如图建立坐

20、标系如图, , 覆盖曲面覆盖曲面 的的半顶角为半顶角为 , ,利用球面参数方程，则利用球面参数方程，则 ddsind2RS 卫星覆盖面积为卫星覆盖面积为 SAd 0202dsindR)cos1(22 RhRR coshRhR 22 第24页/共42页第二十五页，共42页。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球故通讯卫星的覆盖面积与地球(dqi)(dqi)表面积的比为表面积的比为24 RA )(2hRh )640036000(236000 %5 .40 由以上结果可知由以上结果可知(k zh), (k zh), 卫星覆盖了

21、地球卫星覆盖了地球 31以上的面积以上的面积, , 故使用三颗相隔故使用三颗相隔32 角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面全表面. . 说明说明: : 此题也可用二重积分求此题也可用二重积分求 A ( (见下册见下册P188 P188 例例1) .1) . yzxohRRhRhRA 22 第25页/共42页第二十六页，共42页。1. 1. 定义定义(dngy):(dngy): Szyxfd),(iiiiSf ),( ni 10lim 2. 2. 计算计算(j (j sun): sun): 设设,),( , ),(:yxDyxyxzz 则则 Szyxfd),(

22、yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd( (曲面的其他两种情况类似曲面的其他两种情况类似) )注意：注意：要充分利用球面参数方程、柱面参数方程、要充分利用球面参数方程、柱面参数方程、对称性、质心公式等简化计算。对称性、质心公式等简化计算。 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第26页/共42页第二十七页，共42页。习题习题(xt)9-4(P276) 3，5，6， 9，10，11第五节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第27页/共42页第二十八页，共42页。)(322yxz ,22zyx 求此曲面壳在平面求此曲面壳在平面(pngmin) z(pngm

23、in) z1 1以上以上部分部分 的面密度的面密度的质量的质量(zhling) (zhling) M . M . 解解: : 在在 xoy 面上的投影为面上的投影为 ,2:22 yxDyx故故SMd d41d322020 )41d(418162202 yxyxyxDdd)(41322 13 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第28页/共42页第二十九页，共42页。0,0,0,1 zyxzyx的表面的表面(biomin), (biomin), 计计算算.d)1(12SyxI 解解: : 在四面体的四个面上在四面体的四个面上(min shn)(min shn)yxz 1y

24、xdd3xyxDyx 10,10:1zyx11o0 zyxdd0 yxzddzxzDxz 10,10:0 xzyddzyzDzy 10,10:同上同上平面方程平面方程Sd投影域投影域机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第29页/共42页第三十页，共42页。yyzzd)1(1d10210 xxzzd)1(1d10210 2ln)13(233 yyxxIxd)1(1d)13(10210机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第30页/共42页第三十一页，共42页。3 3、解：解：dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy

25、 机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 积积分分曲曲面面 ：yz 5 , 25| ),(22 yxyxDxy投投影影 dszyx)(故故 xyDdxdyx)5(2 dd 5020)5cos(2.2125 第31页/共42页第三十二页，共42页。解：解：面对称，面对称，面和面和关于关于抛物面抛物面yozxozyxz22 ( (1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面) ) 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 14依对称性知依对称性知dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式

26、 dSxyz | dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 第32页/共42页第三十三页，共42页。 dd 102222041sincos4 dd21050412sin22 duuu251)41(41 .42015125 机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 241 u令令第33页/共42页第三十四页，共42页。,d222 zyxSI其中其中(qzhng) (qzhng) 是是介于平面介于平面之间的圆柱面之间的圆柱面.222Ryx 分析分析: : 若用直角坐标若

27、用直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)将曲面分为前后将曲面分为前后Hzz ,0oHxyz解解1:1: 利用参数方程计算利用参数方程计算( (或左右或左右) )两片两片, ,则计算较繁则计算较繁. . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 柱面的参数方程为：柱面的参数方程为： zzRyRx sincos 200 Hz第34页/共42页第三十五页，共42页。,d222 zyxSI机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zzRyRx sincos 200 Hz222),(),(),(),(),(),( zyx

28、zxzzzyR zDdzdzRRI 22,02220 HdzzRRd RHarctan2 第35页/共42页第三十六页，共42页。zzd,d222 zyxSI其中其中(qzhng) (qzhng) 是介是介于平面于平面之间的圆柱面之间的圆柱面.222Ryx zRSd2d 则则 HzRzRI022d2 RHarctan2 Hzz ,0oHxyz解解2: 2: 微元法，取曲面面积微元法，取曲面面积(min (min j)j)元素元素机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第36页/共42页第三十七页，共42页。yxD,d zS其中其中(qzhng)(qzhng)是是球面球面2222azyx 被平面被平面(png(pngmin)min)0(ahhz 截出的顶部截出的顶部. .解解: :yxDyxyxaz ),( ,:2222222:hayxDyx 221yxzz 222yxaa zSd 20da0)ln(2122222haaa haaln2 yxDyxayxa222dd 22022dhaa oxzyha机动机动 目录目录 上页上