中国科学院大学现代数字信号处理课程课件

1、首席教授：邹谋炎首席教授：邹谋炎 主讲教师：刘主讲教师：刘 艳艳 1课程内容：预备知识： 信号分析基础信号分析基础维纳滤波、卡尔曼滤波、自适应滤波维纳滤波、卡尔曼滤波、自适应滤波功率谱估计功率谱估计时频分析时频分析概率论和随机过程概率论和随机过程信号与系统信号与系统数字信号处理基础数字信号处理基础课程目标： 强化专业基础强化专业基础引导研究引导研究特别建议：学生应掌握 MATLAB 使用方法2平时作业 15%上机作业 25% 闭卷考试 60%课件下载：课程网站Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, S.Hamid Nawab,信号与系统, (第2版)（英文版）

2、，电子工业出版社，北京，2015。Alan V. Oppenheim, Ronald W.Schafer,离散时间信号处理, (第 3版)(英文版） ，电子工业出版社，北京，2011。Roberto Cristi, Modern Digital Signal Processing, Thomson- Brooks/Cole，2004。 参考书3傅里叶级数（FS）傅里叶变换（FT）离散时间傅里叶变换（DTFT）离散傅里叶变换（DFT）Z变换系统特性 基本关注点： 变换的基本性质 适应范围 应用方法、限制4傅里叶级数（FS） 周期为 T 的时间函数 x(t)，如果满足Dirichlet条件，则可以

3、展成正弦和余弦函数的代数和：Ttnbtnaatxnnn2 ,sincos2)(10或 .)(1ntjnnectx 扩展概念： 1、正交基 概念 2、时域周期函数 频域离散谱 3、收敛性：当 是连续可微周期函数，级数一致收敛。 当 在周期T上平方可积，级数均方收敛。 )(tx )(tx5傅里叶变换（傅里叶积分）（FT） 如果（非周期）函数 x(t) 在 上绝对可积，则有傅里叶变换：),(dtetxXtj)()(deXtxtj)(21)(重要事实： 时域函数: 非周期 连续 频域谱: 连续 非周期6傅里叶变换：几个重要基本性质dYXdttytx)()(21)()(*Parseval 定理dXdtt

4、x22| )(|21| )(|卷积定理)()()()()(YXdtyxtyx自相关定理2*| )(|)()()(: )(XRdtxxtr7 离散时间傅里叶变换（DTFT） 离散非周期序列 x(n) 如果绝对可和，则有离散时间傅里叶变换nnjjenxeX)()(deeXnxnjj)(21)( 重要事实： （1）描述和分析物理事实的最重要工具。 （2）承袭了（连续时间）傅里叶变换的重要基本性质。 （3）DTIFT 不方便计算。 （4）时域函数: 非周期 离散 频域谱: 连续 周期典型应用：采样数据分析、处理和应用 采样数据控制系统，雷达跟踪系统8 离散傅里叶变换（DFT） 周期为 N 的离散序列

5、x(n) 可以表达为 N 点离散傅里叶变换10/2)()(NnNknjenxkX10/2)()(NnNknjekXnx 不可忘记的基本事实： 1、DFT是“离散周期序列”的变换。 2、物理上的“有限序列”或“离散非周期序列”适合用 DTFT来分析。 对“有限序列”使用 DFT，必隐含着将有限序列延拓成周期序列。 3、因此，对“有限序列”使用 DFT 进行计算时，必须注意它和 DTFT 的差别，仔细检查结果的合理性，并对误差进行分析和处理。 正、反变换都有快速有效算法 研究和工程中最常用的计算工具9 Z 变换 离散非周期序列 x(n) 如果绝对可和，则有 Z 变换nnznxzX)()(zzzXj

6、nxnd)(21)(1 )()()()(zYzXnynx) *1 (*)()(*)(zXzXnxnx卷积: 自相关: Z 变换DTFTnnznxzX)()(nnjjenxeX)()()(zej从单位圆解析延拓到 z z平面 Z变换是描述和分析离散系统（采样数据系统）最方便的工具 DTFT最方便于计算和分析离散系统的频域特性10)(nh-系统脉冲响应函数系统输入输出关系（差分方程）：)()()(knxkhnyk因果因果系统：0)( , 0 nhnif有界输入有界输出稳定稳定系统：kkh| )(|因果性和有界输入有界输出稳定性是线性系统合理性的基本条件。11有限脉冲响应（FIRFIR）系统：h(n

7、) 是一个有限长序列。系统差分方程：)()()(10knxkhnyMk 典型应用系统：雷达信号横向滤波器、数字波束形成和扫描 通讯信号自适应均衡器有限离散卷积12无限脉冲响应（IIRIIR）系统：h(n) 是一个无限长序列。系统差分方程：piqjjijnxbinyany10)()()(系统函数ppqqzazazbzbbzAzBzHzXzY111101)()(:)(:)()(h(n) 是系统函数 展成 Laurent 级数的各个系数。)(zH差分方程描述的典型系统称为 ARMA（p，q）系统。典型应用系统：雷达（距离、角度）跟踪系统 采样数据自适应控制系统13ppqqzazazbzbbzAzBz

8、HzXzY111101)()(:)(:)()(系统函数能够写成因式分解形式：pjjqiizpzzzH1111)1 ()1 ()()(zH因果、稳定（因果、稳定（BIBO稳定）系统：稳定）系统： 的全部极点的全部极点 pj j 落在单位圆内。落在单位圆内。 )(zH最小相位系统：全部极点最小相位系统：全部极点 pj j 和全部零点和全部零点 zi 落在单位圆内。落在单位圆内。最小相位信号：信号能量延时最小或信号群延时最小。最小相位信号：信号能量延时最小或信号群延时最小。逆系统：以逆系统：以 的逆的逆 作为系统函数。作为系统函数。)(zH)(1zH最小相位系统：最小相位系统： 和和 都是因果、稳定

9、系统。都是因果、稳定系统。)(1zH14一、概率论的某些经典结果 随机变量的统计特征： 假定：概率分布函数绝对连续，可以用分布密度表达。xdefdxxxpXE)(期望值（均值、系综平均）： dxxpxgXgE)()()(X 的函数 g(X)的期望值： ndefnndxxpxXE)(n 阶矩： 222)()()(defdxxpxXE方差： dxdyyxxypXYE),(（互）相关： dxdyyxpyxYXEyxyx),()()(（互）协方差：15YEXEXYEX 和和 Y 独立独立（互不相关（互不相关):):0)(yxYXE或X 和和 Y 正交正交: :0XYE随机变量的特征函数dxxpeeEj

10、Cxjxj)()(特征函数又称为矩生成函数16二、确定性信号和随机信号 确定性信号：或称为可预测信号，根据一定的起始条件或若干过去及当前的观测，能够用数学和物理模型来准确预测尚未出现的数据。 通常将非确定性或非可预测的信号称为随机信号。三、随机过程的数学定义 随机过程：指随时间推移而演化的随机现象。 关于随机过程的公理化定义：主要由 A.H.A.H. 推动，得到数学研究者的广泛接受和发展。公理化定义中引入了“概率空间”的概念：包涵随机事件全体的基本空间 ，全体事件所构成的集类，全体事件所构成的集类 J, ,事件或事件集合出现的概率测度P，（，J, , P）构成概率空间，是更一般测度空间的一种特

11、例。设 T 是指标（时间）t 的集合，如果对每个tT，有定义在 上的随机变量X(t)，就称随机变量族 X = X(t)，tT为一个随机过程。17四、随机过程的某些知识 对随机过程可以从两个方面进行统计研究：系综统计系综统计（Ensemble statistics): 基于观测值分布特性假定的统计。在任何一个时刻一个时刻，观测量可能随机地取不同数值，系综统计是对取值的概率特征进行统计。对大量数据，系综统计强调每个数据都是独立试验结果，不看重时间顺序。 系综统计符合概率论严格的数学基础。时间统计时间统计（Time statistics） 基于观测量的时间记录（连续过程或采样序列)，对观测量的数值分

12、布特征进行统计。时间统计符合人们的观测习惯。 18四、随机过程的某些知识平稳性平稳性 （Stationary） 一个随机过程 X(t) 需要用一组时刻 t1,t2,tN 观测的一组随机变量 X1,X2,XN 的联合统计分布 P(x1,x2,xN) 来描述。对固定的 N，如果联合分布关于时间轴的任意偏移不变，则该过程是一个平稳到 N 阶的随机过程；如果 N 时过程是平稳的，则是一个严格平稳过程。 常见的非平稳过程如均值时变或方差时变的过程。 平稳到二阶的过程称为广义平稳过程。遍历性遍历性 （Ergodicity） 一个随机过程 X(t) 称为具有遍历性的，如果该过程按系综统计和按时间统计的结果是

13、一致的。特别地，如果过程的时间自相关按概率1 收敛于系综自相关，则称该过程具有自相关遍历性。 一个具有遍历性的过程必定是平稳的，但一个平稳过程不必具有遍历性。19补充材料：关于 Riemann-Stieltjes 积分 设 f(x) 和 g(x)是 a,b 上的两个有界函数，取 a,b 的一组分点 a = x0 x1 x2 xn = b 在每个区间 xi xi+1 中任取一点 ci，作和式 101)()()(niiiixgxgcfS 如果当最大划分长度 时，以上和式存在且与分0)(max110iinixxl点 xi 及 ci 的选取无关，则称该和式的极限为 f(x)在 a,b 上关于 g(x)

14、 的 Riemann-Stieltjes 积分，记为badefniiiillxdgxfxgxgcfS)()()()()(limlim10100特例：当取 g(x) = x 时，Riemann-Stieltjes 积分变成常规的 Riemann 积分。如果 g(x) 连续可微， Riemann-Stieltjes 积分可以写成常规积分形式：babadxxgxfxdgxf)( )()()(20补充材料：关于 Riemann-Stieltjes 积分 最具特色的性质：1、若 f(x) 是 a,b 上的连续函数， g(x)是 a,b 上的单调函数单调函数，则积分baxdgxf)()( 存在；若 g(x

15、)是 a,b 上的有界变差函数有界变差函数，则积分 2、可以定义函数 f(x) 在一个点一个点 x = a 上上关于 g(x)的 Riemann-Stieltjes 积 分 。)()0()0()()()(aagagafxdgxf 对概率论的应用对概率论的应用： 无论随机变量的概率分布是否适合用密度函数表达无论随机变量的概率分布是否适合用密度函数表达（例如对离散型或离散-连续混合型随机变量),它的积分分布函数总是单调的有界变差函数。于是，任何随机变量及其函数的数学期望总可以表达为任何随机变量及其函数的数学期望总可以表达为 )()()(xdPxfXfEbaxdgxf)()(存在。如果积分分布P(x

16、)连续可微，则可用分布密度 p(x) 表达：dxxpxfxdPxfXfE)()()()()(21五、广义平稳过程的统计描述 一个随机过程 x(t) 的（系综）自相关函数，定义为),(),(21*21*2121xxdPxxXXEttRx如果随机过程的均值是常数且二阶平稳，则称为广义平稳过程。广义平稳过程的自相关与时间的计算起点无关，有)(: )(),(1221xxxRttRttR同时，可以定义按时间统计的自相关：用记号)()(:)()(21lim)(*tXtXdttXtXTTTTx 需要注意的约定：E- 系综统计系综统计符号- 时间统计时间统计符号22六、平稳随机序列的统计特征)()(nnxxd

17、PxnxE),()(*knnknnknnxxxxdPxxxxEkr均值：)()()(222nxnxxxdPxnxE方差：自相关：2*|)()()(xxxxknxnxxkrxxEkc自协方差：互相关：),()(*knnknnknnxyyxdPyxyxEkryxxyyknxnxykryxEkc*)()()(互协方差：23七、平稳随机过程的自相关和功率谱)(),()()()()()(*txtxdPtxtxtxtxERx设平稳随机过程 x(t) 的均值为 0。其（系综）自相关为 一个绝对可积函数或有限长序列，自相关的傅里叶变换等于信号自相关的傅里叶变换等于信号功率谱，功率谱，这可以直接从卷积定理卷积定

18、理简单地证明。该事实可见于30年代Wiener 的工作。一个平稳随机过程及其自相关在（-，）上一般不是绝对可积的，傅里叶变换的理论不能直接应用，“自相关的傅里叶变换等功率谱”这个说法还成立吗？ 最早严格地回答这个有深度的问题，这个结果现在称为Wiener- 定理定理，简介简介如下 定理定理包含以下几个内容：（1）谱分解定理：谱分解定理：证明广义平稳过程的自相关有一个谱分解谱分解表达式)()(dFeRjx其中 F()是一个有界非降函数，称为过程 x(t) 的积分谱。如果积分谱连续可微，则可表达为(1)dFeRjx)( )(24七、（续） 公式（1）说明 是一个随机过程的特征函数，相应的积分分布是

19、 。可以假定在 点 连续，即)(xR)(F0)(F)0()0(FF（2 2）遍历性定理）遍历性定理：设 x(t) 是一个连续平稳过程，则有TTTxtxdttxTtxdPtxtxE)(:)(21lim)()()()()(*txtx同时，对固定的 ， 也是连续平稳过程，有)()(:)()(21lim)()()(*txtxdttxtxTtxtxERTTTx遍历性成立的必要充分条件是遍历性成立的必要充分条件是TTTdRT0)(21limTTTduuBT0)(21lim以及)(uB其中 是 的自相关。)()(*txtx 在谱分解定理确定后，可以获得以下25七、（续）（3 3） Wiener- 定理：定理

20、： 定义一个截断的傅里叶变换TTtjTdtetxX)()(相应的截断功率谱期望值是| )(|21)(2TdefTXTES随机过程的功率谱应该是| )(|21lim)(lim)(2TTTTxXTESSTTTTjtjTdexdtetxEXE)()(| )(|*2对第二积分作变换 ，于是t )()()(| )(|)(*2TTTTtjtjTdetxdtetxEXETTjTTdedttxtxE)()(*由遍历性定理，立即得到deRdetxtxSjxjx)()()()(*26（4 4） Wiener- 定理的进一步解说：定理的进一步解说：dfeRjx)()(谱分解定理表明，随机信号 x(t) 的自相关是一个特征函数，有)( )(Ff其中 是一个谱密度。另一方面，deRSjxx)()(从傅里叶积分理论，表明对平稳随机过程， 确实是一个谱密度，它与 只有标量上的差别。)(f)(xSWiener- 定理的离散版本需要用定理的离散版本需要用DTFT来表达来表达kkjxjxekReS)()(或直接将（系综）功率谱与序列的DTFT关联起来，表达为MMnjnMjxenxMEeS|)(|121lim)(227基本输入输出关系)()()(knxkhnyk如果 x(n) 广义平稳，易证明 y(n) 也广义平稳。其自相关是)()()()()