几何概型和概率的公理化定义

1、一、几何概型一、几何概型三、小结三、小结1.4 几何概型和概率的公理化定义二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义 把有限个样本点推广到无限个样本点把有限个样本点推广到无限个样本点的场合的场合,人们引入了人们引入了几何概型几何概型. 由此形成了由此形成了确定概率的另一方法确定概率的另一方法 几何方法几何方法. 概率的古典定义具有可计算性的优点概率的古典定义具有可计算性的优点, ,但但它也有明显的局限性它也有明显的局限性. .要求样本要求样本点有限点有限,如果样如果样本空间中的样本点有无限个本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义概率的古典定义就不适用了就不适用了. .一、几何概率定义定义,0

2、( ),.m 若对于一随机试验 每个样本点出现是等可能的样本空间 所含的样本点个数为无穷多个 且具有非零的有限的几何度量 即则称这一随机试验是一几何概型的定义定义1.5 当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域,并并且任意一点落在度量且任意一点落在度量 (长度长度, 面积面积, 体积体积) 相同的子相同的子区域是等可能的区域是等可能的,则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为)()()(mAmAP 说明说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率就归结为几何概率.)(,)(几几何何概概率率规规定定的的概概率率称称为为

3、量量来来合合理理这这样样借借助助于于几几何何上上的的度度的的子子区区域域的的度度量量是是构构成成事事件件是是样样本本空空间间的的度度量量其其中中AAmm 几何概型的概率的性质几何概型的概率的性质0()1;p A(1) 对任一事件对任一事件A ,有有210PP( )(),();)()()(,)3(212121APAPAAPAA个事件个事件对于两两互斥的可列多对于两两互斥的可列多 那末那末.0,0TyTx 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为, tyx 例例1 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内, 在预在预定地点会面定地点会面. 先到的人等候另一个人先到的人等

4、候另一个人, 经过时间经过时间 t( t0)的一些平行直的一些平行直线线,现向此平面任意投掷一根长为现向此平面任意投掷一根长为b( a )的针的针,试求试求针与任一平行直线相交的概率针与任一平行直线相交的概率.解解,直线的距离直线的距离到最近的一条平行到最近的一条平行针的中点针的中点表示针投到平面上时表示针投到平面上时以以Mxax M.夹夹角角表表示示针针与与该该平平行行直直线线的的 .),(完完全全确确定定置置可可由由那那么么针针落落在在平平面面上上的的位位 x蒲丰资料蒲丰资料ax M由投掷的任意性可知由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题.0 ,sin20 bx.,|

5、 ),(中中的的所所有有点点一一一一对对应应与与矩矩形形区区域域果果投投针针试试验验的的所所有有可可能能结结 020axx中中的的点点满满足足发发生生的的充充分分必必要要条条件件为为针针与与任任一一平平行行直直线线相相交交所所关关心心的的事事件件 A的面积的面积GmGmAP )()()(2dsin20 ab .ab2ab 2蒲丰投针试验的应用及意义蒲丰投针试验的应用及意义2)(abAP 那那么么的的近近似似值值代代入入上上式式作作为为即即可可则则频频率率值值的的次次数数算算出出针针与与平平行行直直线线相相交交很很大大时时当当投投针针试试验验次次数数根根据据频频率率的的稳稳定定性性,)(,APn

6、mmn,2abnm .2ambn . 的近似值的近似值利用上式可计算圆周率利用上式可计算圆周率历史上一些学者的计算结果历史上一些学者的计算结果(直线距离直线距离a=1) 3.179585925200.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazzerini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3.1596253250000.81850Wolf相交次数相交次数投掷次数投掷次数针长针长时间时间试验者试验者的近似值的近似值 1933年年

7、, 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构率论的公理化结构 ,给出了概率的严格定义给出了概率的严格定义 ,使概使概率论有了迅速的发展率论有了迅速的发展.二、概率的公理化定义与性质柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料; 1)(0,:(1) APA 有有对对于于每每一一个个事事件件有有界界性性;)(,:(2)1 P 有有对对于于必必然然事事件件规规范范性性则则有有即即对对于于事事件件是是两两两两互互不不相相容容的的设设, 2, 1,: (3)21 jiAAjiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率

8、的定义概率的定义1.71.7:)(.),(,.,满满足足下下列列条条件件如如果果集集合合函函数数的的概概率率称称为为事事件件记记为为赋赋予予一一个个实实数数每每一一事事件件的的对对于于是是它它得得样样本本空空间间是是随随机机试试验验设设 PAAPAEE. 0)()1( P证明证明 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 )()()()()(PPPPP0)( P. 0)( P2. 性质性质概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).

9、()()(21nAPAPAP 则则有有是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ),()().()()(,)3(BPAPAPBPABPBABA 则则且且为为两两个个事事件件设设证明证明BA,BA 因因为为).(ABAB 所以所以,)( AAB又又)()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于于是是).(1)(,)4(APA PAA 则则的的对对立立事事件件是是设设,)(,1 PAAAA因因为为).(1)(APAP 证明证明)()(AAPP 1所以所以)(

10、)(APAP ).()()()(,)()5(ABPBPAPBAPBA 有有对对于于任任意意两两事事件件加加法法公公式式证明证明AB由图可得由图可得),(ABBABA ,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性质又由性质 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 推广推广 - 三个事件和的情况三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况个事件和的情况)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1(

11、)(2111nnnkjikjiAAAPAAAP v定义 :对于F上的集合函数P，若对于F中的任一单调不减集合序列An,有lim()(lim)nnnnPAPA 则称集合函数则称集合函数P P在在F F上是下连续的，其中上是下连续的，其中1l i mnnnnAAU定理定理: 若若P是是F上的非负规范的集函数，则上的非负规范的集函数，则P具具有可列可加性的充要条件是（有可列可加性的充要条件是（1)P是有限可加是有限可加的；的；(2)P是是F上是下连续的。上是下连续的。解解( ),iAP B令=第i张封信恰好装进第i个信封11(),()1niiiP AP Anni=1则所求概率为P(),易知U1111

12、(),;()2(1)(1)2!ijijij nnP AAijP AAn nn n nnnn (匹配问题）某人一次写了 封信，又写了 个信封，如果他任意地将 张信纸装入 个信封中，问至少有一封信的信纸和信封是一致的概率是多少？例例 1 1v同理可得11211()3(1)(2)3!.1(.),!ijKijknnnP A A An nnnP A AAnn 1.( 1)n nii=1由概率的一般加法公式得到：111 P(A )=1-2!3!n!U解解),()()1(BPABP 由由图图示示得得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由图示得由图示得.613121 .81)()3

13、(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互互斥斥与与的的值值三三种种情情况况下下求求在在下下列列和和的的概概率率分分别别为为设设事事件件BAAB例例2 2,)3(ABABA 由由图图示示得得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPBAAP )()()(ABPBPABP 因因而而.838121 , ABA且且 ABAB354,42?例从 双不同的鞋子中任取 只 求 只鞋子中至少有 只鞋子配成一双的概率是多少成成一一双双只只鞋鞋子子中中至至少少有有两两只只配配设设解解4A一双一双只鞋子中恰有两只配成只鞋子中恰有两只配成41A双双只只鞋鞋子子恰恰好好

14、配配成成 242A2121AAA且,AA于是)()()()(2121APAPAAPAP则则41025410224152CCCCC2113只只鞋鞋子子都都不不能能配配成成双双设设另另解解4A4104452)(CCAP 218)(1)(APAP则则21132181例例4 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数,问取到问取到的整数既不能被的整数既不能被6整除整除, 又不能被又不能被8整除的概率是整除的概率是多少多少 ? 设设 A 为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”,B为事件为事件“取到的数能被取到的数能被8整除整除”则所求概率为则所求概率为).(BAP)()(BA

15、PBAP )(1BAP ).()()(1ABPBPAP 解解,33462000333 因因为为,2000333)( AP所所以以,8424200083 由由于于.200083)( ABP得得于是所求概率为于是所求概率为)(BAP 200083200025020003331)()()(1ABPBPAP .43 .2000250)( BP故得故得,25082000 由于由于2. 最简单的随机现象最简单的随机现象古典概型古典概型 古典概率古典概率三、小结1. 频率频率 (波动波动) 概率概率(稳定稳定). n中中的的样样本本点点总总数数中中包包含含的的样样本本点点数数AnmAP )( 几何概型几何概型 )()()( mAmAP几何概率几何概率(无限等可能情形无限等可能情形).()()(),()(,)5(BPAPBAPBPAPBABA 则则且且为两个事件为两个事件设设4. 概率的主要性概率的主要性质质, 1)(0) 1 ( AP;)(,)(01 PP);(1)()2(APAP );()()()(,)4();()()()()3(ABPAPABAPBAPBAABPBPAPBAP 为为两两个个任任意意事事件件，则则