-1多元函数微分学ppt课件

1、第十四章第十四章 多元函数微分学多元函数微分学14.1 14.1 可微性可微性一、偏导数定义及计算一、偏导数定义及计算00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz

2、,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y不存在不存在,1arcsinarcsinlim22000yxyxxyzyyx 偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图 偏偏导导数数),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截

3、截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线xTM0对对x轴轴的的斜斜率率. 偏偏导导数数),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线yTM0对对y轴轴的的斜斜率率.几何意义几何意义: :二、全微分的定义二、全微分的定义全微分全微分 (Differentiability) 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分.;),(),(lim00000Axyxfyxxfx 由定义知：由定义知：0)()(),(),(lim22000000 yxyBxAyxfyyxx

4、fyx 则则令令 , 0 y .),(),(lim00000Byyxfyyxfy 同理：同理：. ),( ),( :0000yxfByxfAyx 即即习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为 dz),(00|yxdzyyxfxyxfyx ),(),(0000 dyyxfdxyxfyx),(),(0000 dyyxfdxyxfyx),(),( 推广到三元及三元以上函数推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)

5、2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例7.000),(222222 yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(处处有有0)0 , 0()0 , 0( yxff dzz 0lim220)()(limyxyx 而而不不存存在在，一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在三、可微的条件三、可微的条件多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在微分存在微分存在全微分存在全微分存在说明：多元函数的各偏导数存在

6、并不能保证全说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在微分存在.证证),(),(0000yxfyyxxfz ),(),(0000yyxfyyxxf ),(),(0000yxfyyxf xyyxxfx ),(010 )10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xyxfx ),(100 （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0, 0 yx时时，01 .其其中中1 为为yx ,的的函函数数,),(),(0000yyxfyyxxf z 2121 yx, 00 同理同理,),(200yyxfy 当当0 y时时，02 ,),(),(0000yx

7、fyyxf xyxfx ),(00 yyxfy ),(00 x 1 y 2 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微处可微. .多元函数连续、偏导数、可微分的关系多元函数连续、偏导数、可微分的关系函数连续函数连续函数偏导存在函数偏导存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim0000yyxxfyx ),(lim000zyxf ),(00yxf 可微分可微分连续连续 函函数数可可微微、函函数数连连续续偏偏导导存存在在 例例8.0,00,),(222222 yxyxyxxyyxf函函数数可可微微、偏偏导导存存在在函函数数连连续续 例

8、例922),(yxyxf 上上半半圆圆锥锥连续连续显然在显然在 )0 , 0( ,)0 , 0( 不不存存在在但但xf.)0 , 0(不存在不存在yf. )0 , 0( 不可微不可微在在故故 f思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨论讨论. 偏偏导导数数连连续续函函数数可可微微 证证令令,cos x,sin y那那么么22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故故函函数数在在点点)0 , 0(连连续续, )0 , 0(xfxfxfx )0 ,

9、 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf当当)0 , 0(),( yx时时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不连连续续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续.)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0 ,

10、 0(可微可微. 0)0,0( df四、全微分的几何意义四、全微分的几何意义nTM切平面上点的切平面上点的竖坐标的增量竖坐标的增量的的全全微微分分在在点点函函数数),(),(00yxyxfz 五、全微分在近似计算中的应用五、全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(00 .),(),(0000yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(00000000yyxfxyxfyxfyyxxfyx 解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004.