第十章相似性原理和因次分析

1、第一节 力学相似性原理第二节 相似准数第三节 模型律第四节 因次分析法第一节 力的相似性原理23nnlmmAlnvlmdldlVVnm这个比例常数，称为长度比例常数。显然，两相应面积之比，A为长度比例的平方，即A而相应体积之比，为长度比例的立方，即几何相似，是力学相似的前提。一、几何相似几何相似是指流动空间几何相似。即形成此空间任意相应两线段夹角相同，任意相应线段长度保持一定的比例。在书上图所示的两管流中，模型管流和原型管流几何相似。要求两渐扩管空间几何相似，必须相应线段夹角相同。相应的线段长度保持一定的比例，即：二、运动相似 两流动运动相似，要求两流动的相应流线几何相似，或说，相应点的流速大

2、小成比例，方向相同。有：12122/nnnvvmmmtlvvvltuuvuuvtl va，称为速度比例常数。有了速度比例常数，和长度比例常数，显然可以根据简单的关系，得出时间比例常数即时间比例常数是长度比例常数和速度比例常数之比，这个比例常数表明，原型流动和模型流动实现一个特定流动过程时间之比。不难证明，加速度比例常数是速度比例常数除以时间比例常数，即由此可见，只要速度相似，加速度也必al v然相似。反之亦然。由于流速场的研究是流体力学的首要任务，运动相似通常是模型实验的目的。三、动力相似流动的动力相似，要求同名力成比例。这里所提的同名力，指的是同一物理性质的力。例如重力、黏性力、压力、惯性力

3、、弹性力。所谓同名力作用，是指原型流动中，如果作用着黏性力、压力、重力、惯性力、弹性力，则模型流动中也同样的作用着黏性力、压力、重力、惯性力、弹性力。相应的同名力成比例，是指原型流动和模型流动的同名力成比例，即nnnnnmmmpGIEnmpGIEFFFFFFFFFFPGIF式中， 、 、 、 、 分别表示黏性力、压力、重力、惯性力、弹性力。动力相似在力学相似中起着什么作用呢？两惯性力相似是其他合力作用相似的结果。所以动力相似是运动相似的保证。第二节 相似准数一、由动力相似的定义推导相似准则设想在两相似水流中，取两个相应质点n和m，研究两质点所受黏、重、压、惯各力。认为水不可压缩，不存在弹性力相

4、似的问题。根据动力相似条件，有： ,nnnmmmnnnnnmmmmmnmnmpGInmpGIPIGIInPIGImIPPIIFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF由于惯性力相似与运动相似直接相关，我们把以上的关系写为和惯性力相联系的下列等式：现在改变上式，将它写成：这样改变的特点，在于使力的比属于同一原型或模型流动。（10-7）（10-8）分别对（10-7）式三个等式进行变形推导：分别得到以下三个结论：nmEuEunmFrFr1、原型水流和模型水流压力和惯性力的相似关系可以写为：即原型与模型流动的欧拉数相等。2、原型水流与模型水流惯性力和重力的相似关系，可以写为：3、原型水流和模型水

5、流黏性力和惯性力的相似关系可以写为：ReRenm注：在高速气流中，弹性力起主导作用。由此可见，弹性力相似，原型流动和模型流动的马赫数相等，即nmMaMa以上所提出的一系列数：欧拉数，弗汝得数，雷诺数，马赫数都是反映动力相似的相似准数。欧拉数是压力的相似准数，弗汝得数是重力的相似准数，雷诺数是黏性力的相似准数，马赫数是弹性力的相似准数。二、由运动微分方程式推导相似准数222222222222222220111yxzxxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzuuuxyzuuuuuupuuuxyzxxyzuuuuuupuuuxyzyxyzuuuuuupuuugxyzzxy 2xyxxyy

6、zzpzxyzuupuVuuVuuVupPLVPz引入无量纲量 、 、 、 、u 和 。它们与相应的无量纲量之间的关系为：x=Lx ，y=Ly ，z=Lz，式中 、 、 均为定性量由于流体的运动微分方程式反映着惯性力、质量力、压力、黏性力和弹性力等诸力的平衡关系，因此，我们也可以从运动微分方程式导出相似准数。为简单起见，我们以重力作用下的黏性不可压缩流体恒定流动为例。将方程组无量纲化，也即将（）式代入（）式，得并整理方程组得：2222222222222220yxzxxxxxxxyzzzzzzzxyzuuuxyzuuuuuuPpuuuxyzVxVLxyzuuuuuugLPpuuuxyzVVzVL

7、xyz K K2222222222201Re11ReyxzxxxxxxxyzzzzzzxyzuuuxyzuuuuuupuuuEuxyzxxyzuuuuuupuuuEuxyzFrzxy K K此式又可写成：2zz式中Eu,Re,Fr即分别为上述的准则数欧拉数，雷诺数和弗汝得数。自然，如果我们考虑的是可压缩流体，还将出现马赫数。相似理论的第一定理表明：两个相似的现象，它们的同名相似准数必定相等，即相同名称的相似准数相等。相似理论的第二定理阐明：由定性物理量组成的相似准数，相互间存在着函数关系。在考虑不可压缩流体流动的动力相似时，决定流动平衡的四种力，黏滞力、压力、重力和惯性力并非都是独立的，根据力

8、的平行四边行法则，其中必有一力是被动的其中必有一力是被动的，只要三个力分别相似，则第四个力必然相似。相似理论的第三定理告诉我们：两个现象相似的充分必要条件除了由基本规律导得的相似准数相等外，还包括单值性条件相似。所谓单值性条件是指把某一现象从无数个同类现象中区分开来的条件。单值性条件相似包括包括几何相似，边界条件和初始条件相似，以及由单值性条件所导出的相似准数相等。第三节 模型律ReRe1nmnnmmnmnnnmmmvlll vl vvllvv即则长度与速度的比例关系为：即，在多数情况下，模型和原型采用同一种流体，则雷诺数相等，表示黏性力相似。原型和模型流动雷诺数相等这个相似条件，称为雷诺模型

9、律。按照上述比例关系调整原型流动和模型流动的流速比例和长度比例，就是根据雷诺模型律进行设计。在安排模型实验前进行模型设计时,怎样根据原型的定性物理量确定模型的定性量值呢?雷诺数和弗诺得数中出现了定性长度和定性速度。因此,雷诺数和弗诺得数相等，就要求原型和模型在长度和速度的比例上要保持一定的关系。1、例如：对于雷诺数相等的式2、另一方面，对于弗诺得数相等的下式：2222nmnmnmn nm mlvnnmmvlFrFrvvggg lg llvlv也就是：由于则长度和速度的比例关系为：，弗诺得数相等，表示重力相似。原型和模型流动弗诺得数相等的这个相似条件，称为弗诺得模型律。按照上述比例关系调整原型流

10、动和模型流动的长度比例和速度比例， 除了在研究新的流动问题时，我们需探求其模型律外，在学习相似理论时，也应该掌握常见流动的模型律。（10-21）1、水在管中受两端水头差的作用而流动，水流的平均流速，根据连续性方程，只受断面大小及其沿程变化的制约。 断面流速分布和沿程水头损失，在同一水头差的条件下，与 管道本身是否倾斜，与倾斜大小无关，这说明重力不起作用，影响流速分布的因素是黏性力，因此采用雷诺模型律。管中流动，由于管壁摩擦作用成为重要因素，在几何相似的设计中，还要注意管壁粗糙度的相似。管壁绝对粗糙度K也应保持同样的长度比例关系常数，即：nnlmmnmnmnmKdKdKKKKdddd写成相似准则

11、的形式，即原型相对粗糙度与模型粗糙度相等。2、具有自由面的液体急变流动，无论是流速的变化或水面的波动，都强烈地受重力的作用，一般采用弗诺得模型律。（1）气体从静压箱经孔口淹没射流，如果是空气流出至同温度的空气中，则重力和浮力相平衡。在静压箱压差一定的条件下，孔口朝上或朝下，不影响流速及其分布。如果流速大，黏性力的影响也可以忽略的话，则流速的比值可以任意选取，与长度比例常数无关，这时，为了计算原型孔口出流速度，可以采用欧拉数相等，即：22,nmnnmnmmnmpppvvvvppp式中，和为原型和模型静压箱与外界的压差。（2）液体的孔口淹没射流也遵循同一规律。（3）紊流淹没射流，重力和浮力平衡，不

12、显示作用。流体以较高的流速流出，摩擦力作用又处于自动模型区。这时，模型设计不受模型律制约，只要求模型流动有较高的雷诺数，就可以实现原型流动和模型流动在流速分布上的相似。正是这样，无限空间紊流的理论就是以这个前提为基础的。（4）但是，非等温射流，却受温度不同所产生的密度差异的影响，这种影响表现为重力和浮力的不平衡。这时，有效重力就是重力与浮力之差，所以采用阿基米德数Ar来代替表征重力相似的弗诺得数。比较等温和非等温情况下的受力，可知弗诺得数与阿基米德数相差一个乘数,uuTTTTdvT2u为流体密度和外界介质密度之差， 为流体的密度。由于这项密度差是温度差引起的，不难根据状态方程得到：gd则阿基米

13、德数 Ar=v式中风口直径；风口速度；T风口气流相对于室内空气的温差；室内绝对温度。阿基米德数对非等温射流的影响，已反映在射流轴线的理论推导公式上。10 13030151056325550.60.125/0.68/Re0.0000nmmmmmmmmmsmm s12例某车间长，宽15m，高10m，用直径为0.6m的风口送风。风口风速为8m/s。如长度比例常数取为5，确定模型的尺寸及出口风速。解（1）模型尺寸由于，模型长为，模型宽为，模型高风口直径（2）模型出口风速 原型雷诺数，用空气 =0.0000157m7223.06 10157/Re500000.12500006.5/0.0000157/8

14、/1.236.5/4/1.234.92/mmvmvmsvmvm smsm sm svm sm smn气流处于阻力平方区，采用粗糙度较大的管子。阻力平方区的最底雷诺数，与此相应的模型气流出口流速V 为：，流速比例尺（3）假定在模型空间内所测得的流速为4m/s，则原型相应点的流速为v2222102189.8/0.60.0009568/nunmCCCgDTm smArvTm sgDTArv例数据同上例。车间温度为15，射流温度为，在上例的模型尺寸和风速的基础上，模型空间温度也取15，确定模型射流的温度。解 由于是非等温射流，要求原型和模型阿基米德数相等。原型阿基米德（18-15）K（273+15）K

15、应等于模型阿基米德数229.8/0.120.00009676.5/:10151025umm smTTm sTCCCCT（273+15）K两数相等得出即模型射流温度为第四节因次分析法1-2pghdimp dimghML T .M L Tdimm=M;diml=L;dimt=TdimT-例如，开敞容器中静水压强分布公式 =,两边的因次均为=()=在因次分析中常用到基本因次与导出因次的概念。某一类物理现象中，不存在任何联系的性质不同的因次称为基本因次；而那些可以有基本因次导出的因次为导出因次。在流体力学中，对可压缩流体流动，常采用- - - 基本因次系统。质量长度时间；温度=一、因次分析的概念与原理

16、一、因次分析的概念与原理 因次是指物理量的性质与类别。例如长度与质量，它们分别用地dimL,dimM表达。而单位除表示物理量的性质外，还包含着物理量的大小，如同为长度因次的米，厘米等单位。因次又称为量纲。 因次分析法是以方程式的因次和谐性为基础的。方程式的因次和谐性,是指完整的物理方程式中各项的因次应相同的性质。基本因次的选取并非唯一。下表列出了流体力学常用的各种物理量的因次：二、因次分析法二、因次分析法12n12n m112n212n m12n()nx ,x ,x ;mn-mfx ,x ,x0f0 x ,x ,xmK KK KK KK KK K一定理（又称巴金汉法）：对某一流动问题，设影响该

17、流动的物理量有 个：而在这些物理量中的基本因次为 个，设影响该流动的物理量排列成个独立的无因次参数 ，。它们的函数关系为： = 和 ，=然后，在变量中选择 个因次独立的量作为重复变111222n-mn mn-mii1231123421234n-m123nxm=3,xxxxxxxxxxxxxxxK K量，连同其他的 量中的一个变量组合成每个 。例如：设,为重复变量，于是有： (10-22)(10-23)(10-24)1111-3i1210 3l,d,Kv p=f l,d,K, , ,v73d:dimdLv dimv=LTdim =MLi 1n-m734 :v d :例-有压管流的压强损失。根据实

18、验，知道压强损失与管长 管径 管壁粗糙度 ，流体运动黏度 ，密度 和平均流速 有关，即在这 个量中，基本因次数为 ，因而可选择三个重复变量，不妨取管径平均流速 ：密度 ：用未知指数写出无因次参数： 222333444111222333444341321113-122133134v dpv dlv dKdimLTLMLL T1dimLTLMLML T1dimLTLMLL1dimLTLMLL1将各量的因次代入，写出因次公式：(10-26)i111222112212333444334443111222L320L310T:10T:20M0M10L310L310T:0T:0M0M01,1,0;2;0;

19、对每一个 写出因次和谐方程组：；：；：分别解得：3334441121223421;0,1,1,0,1,0,1Re/Re/Re2v dvdv dppvEul dK dF l dK dlvplpK dd 12代入（10-26）式，得：，根据 定理中（10-23）式，有pEu=，式中函数的具体形式由实验确定。实验v得知，压差与管长 长正比，因此，这样，我们运用 定理，结合实验，得到了大家熟知的管流沿程损失公式。（二）瑞利法 12123512412121212mmmmmccccccmcccccyxxxxxxyxxxyc x xxcKd v L LL LL LL LL L12m定理：假定物理量 是物理量 ， ， 的一个函数y=f， ，则 的因次等于 ， ， 的因次幂乘积，即dimy= dimxdimxdimx推论：式中无因次比例常数我们仍以例10-3为例说明瑞利法的应用。根据瑞利法，单位管长上的压强降 p l=c而方程式的因次和谐性表明 345122112131234534523221cccccTLL LLTLTMLLcccccTccMc -1：ML：于是，有：(10-28)(10-29)(10-30) 41114441421434512223521211/Re/2cccccccLccccc