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文档简介
1、精选优质文档-倾情为你奉上辅助角公式在高考三角题中的应用柳毓对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:y=asinx=bcosx。由于上式中的与的平方和为1,故可记=cos,=sin,则由此我们得到结论:asinx+bcosx=,(*)其中由来确定。通常称式子(*)为辅助角公式,它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin()+k的形式。下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析。一. 求周期例1 (2006年上海卷选)求函数的最小正周期。解:所以函数y的最小正周期T=。评注:将三角式化为y=Asin()+k的形式,是求周期的主要途径。二. 求最值 例2. (
2、2003年北京市)已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若,求f(x)的最大值和最小值。解:f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=。由。当,即x=0时,最小值;当时取最大值1。从而f(x)在上的最大值是1,最小值是。三. 求单调区间 例3. (2005年江西省)已知向量,令,求函数f(x)在0,上的单调区间。解:先由。反之再由。所以f(x)在上单调递增,在上单调递减。评注:以向量的形式给出条件或结论,是近两年来三角命题的新趋势,但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(x+)+k的形式,是求单调区
3、间的通法。四. 求值域 例4. 求函数的值域。解:所以函数f(x)的值域是-4,4。五. 画图象 例5. (2003年新课程)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),画出函数y=f(x)在区间上的图象。解:由条件。列表如下02112描点连线,图象略。六. 图象对称问题 例6. 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称,那么a=( )(A)(B)(C)1(D)-1解:可化为知时,y取得最值,即七. 图象变换 例7(2000年全国)已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?解:可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换:(1)向左平移,得到y=sin
4、(x+)的图象;(2)将(1)中所得图象上各点横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得y=的图象;(3)将(2)中所得图象上各点纵坐标变为原来的倍,横坐标不变,得y=sin(2x+)的图象;(4)将(3)中所得图象向上平移个单位长度,得到y=sin(2x+)+的图象。综上,依次经过四步变换,可得y=的图象。八. 求值例8. 已知函数f(x)=+sinxcosx。设(0,),f()=,求sin的值。解:f(x)=sin。由f()=sin(),得sin()=。又(0,)。而sin,故+,则cos(+)=。sin=sin=sin=。评注:化为一种角的一次式形式,可使三角式明晰规范。在求sin时,巧用凑角法:=(+)-,并且判断出+的范围,进而求出cos(+)的确切值,使整个求值过程方向明确,计算简捷。九. 求系数例9. (2005年重庆)若函数f(x)=的最大值为2,试确定常数a的值。解:f(x)=,其中角由sin=来确定。由已知有,解得a=。十. 解三角不等式例10. (2005年全国)已知函数f(x)=sin2x+sin2x,x,求使f(x)为正值的x的集合。解:f(x)=
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