0503定积分的换元法和分部积分法1ppt课件

1、定理定理一、定积分的换元法一、定积分的换元法第三节第三节 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法-1-1;,)( )1(上上连连续续在在baxf,),(,)( )2(具具有有连连续续导导数数或或在在 tx ;,)( ; )( ),(batba badxxf)(那么那么假设假设 badxxf)(计算计算 .)()(dtttf证证,)()(的一个原函数的一个原函数是是设设xfxF),()( tFtG 记记)()()()( GGdtttf ),()()( aFbFdxxfba 则则,)()()(的的一一个个原原函函数数是是则则ttftG )()( FF ),()(aFbF dxxfba

2、)(.)()(dtttf 的的大大小小关关系系不不作作要要求求 , .)()()(dtttfdxxfba换元公式的使用换元公式的使用: dtttfdxxfba)()()(1、作变量代换：、作变量代换：:)(tx 作作2、改变积分限：、改变积分限：., ba:)(tx 根根据据),()( )1(tfxf .)()( )2(dtttddx 例例1 1 计算计算).0( 022 adxxaa解解令令,sintax ,0时时 x, 0 t,时时ax ,2 t 原式原式 02 tacosttadcos 2022cos tdta 202)2cos1(2 dtta2022sin212 tta.42a 例例2

3、 2 计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ,时时ax ,2 t,0时时 x, 0 t原式原式 2022)sin1(sincos dttatata 20cossincos dtttt 20cossinsincos121 dttttt 20cossinln21 ttt .4 例例3 3 计算计算.803 dxex解解令令,3tx ,8时时 x, 2 t,0时时 x, 0 t 2023dttet ttdetdtet22 原式原式,3202 dtett dttetett22 tttdete22 dtetetettt222,)22(2Cttet 202dtett),1(22

4、e 原式原式202)22( ttet).1(62 e,)()()( dtttfdxxfba设设,)()()( badxxfdtttf 则则 badttfdxxxf)()()( 逆用换元公式逆用换元公式:batF)( );()(aFbF ),(xt ).(),( ba)()(xdxf )(xF例例4 4 计算计算.sincos205 xdxx解解 原式原式 015dtt0166 t.61 205coscos xxd2066cos x .61 例例5 5 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( ,sincos2/3xx 原式原式 02/3sincosdxxx 202

5、/3sincos dxxx 22/3sincosdxxx 202/3sinsin xdx 22/3sinsinxdx 202/5sin52 x 22/5sin52x )52(52 .54 练习练习1 1 计算计算解解.1.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式= 43)ln1(lnlneexxxd 43ln1lnlneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex )43(2 .6 练习练习1 1 计算计算解解.2.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式= 43)ln1(lnlneexxxd 43ln1lnlneexxxd 432)ln(1ln2eexx

6、d 43)lnarcsin(2eex )43(2 .6 2/32/2212udu 2/32/2arcsin2u .6 )43(2 证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf 0)(adxxf 0)(adttf adttf0)(例例6 6那么那么上连续上连续在在设设,)(aaxf aaadxxfdxxfxf;)(2)( ,)()1(0则则是是偶偶函函数数若若 aadxxfxf. 0)( ,)()2(则则是是奇奇函函数数若若:, ,)(0则则令令对于对于txdxxfa ,)()()(0 aaadxxfxfdxxf,)(0 adxxf,)()1(是是偶偶函函数数若若xf;)(2)(0

7、aaadxxfdxxf,)()2(是是奇奇函函数数若若xf. 00)(0 aaadxdxxf奇函数奇函数练习练习2 2 计算计算解解.1cos1112 dxxxx原式原式= 11211dxx 1121cosdxxxx偶函数偶函数0112102 dxx 10arctan2x .2 证证(1) (1) 令令,2tx ,0时时 x,2 t,2时时 x, 0 t 20)(sin dxxf 02)2sin( dttf 20)(cos dttf;)(cos20 dxxf例例7 7则则上连续上连续在在若若,1 , 0)(xf;)(cos)(sin)1(2/02/0 dxxfdxxf.)(sin2)(sin)

8、2(00 dxxfdxxxf.cos1sin 02 dxxxx并计算并计算(2) (2) 令令, tx ,0时时 x, t,时时 x, 0 t 左左 0)sin()( dttft 0)(sin)(dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxxf 0)(sindxxf.2左左右右 例例7 7则则上连续上连续在在若若,1 , 0)(xf;)(cos)(sin)1(2/02/0 dxxfdxxf.)(sin2)(sin)2(00 dxxfdxxxf.cos1sin 02 dxxxx并计算并计算 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(cos

9、cos112xdx 0)arctan(cos2x .42 )44(2 解解例例7 7则则上连续上连续在在若若,1 , 0)(xf;)(cos)(sin)1(2/02/0 dxxfdxxf.)(sin2)(sin)2(00 dxxfdxxxf.cos1sin 02 dxxxx并计算并计算证证练习练习3 3);0,( ,)1()1(:1010 nmdxxxdxxxmnnm证证明明.)1(1017 dxxx并计算并计算则则令令,1 tx 10)1(dxxxnm 01)1(dtttnm 10)1(dtttmn 10;)1(dxxxmn解解 1017)1(dxxx 1017)1(dxxx 101817)

10、(dxxx101918191181 xx.19181 191181 证证例例8 8.)(,)(;)(,)(00是是奇奇函函数数证证明明连连续续且且为为偶偶函函数数若若是是偶偶函函数数证证明明连连续续且且为为奇奇函函数数若若 xxdttfxfdttfxf,)()( 0 xdttfxF令令 )( xF则则 xdttf0)(ut 令令,)(0 xduuf)1( ,)(是奇函数是奇函数若若xf),()( ufuf 则则 xduufxF0)()(),(xF ;)(是是偶偶函函数数xF,)()2(是是偶偶函函数数若若xf),()( ufuf 则则 xduufxF0)()(),(xF .)(是是奇奇函函数数xF练习练习?,. ;:,. 1为什么为什么问这种说法对吗问这种说法对吗数数偶函数的原函数是奇函偶函数的原函数是奇函数数奇函数的原函数是偶函奇函数的原函数是偶函有人说有人说对于连续函数对于连续函数),()(0 xfdttfx .)()(0 xCdttfdxxf:. 1 提提示示_.21:. 22102 dxx填填