ch1_8连续性间断点ppt课件

1、 第一章 第一章 第八节函数的连续性与间断点 二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf( )yf xxOy0 xxxy0lim0.xy 函数0 x)(xf在点连续即:一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义000lim()()0 xf xxf x 000lim()()xf xxf x 00lim( )()xxf xf x 可见 , 函数)(xf在点0 x一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00

2、xfxfxx则称函数0( ).f xx在在连连续续(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;假设)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上延续 , 或称它为该区间上的连续函数 . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上连续 .又如又如, )()()(xQxPxR在其定义域内连续.在闭区间,ba上的连续函数的集合记作一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义有理分式函数对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(0

3、0 xfxxf( )yf xxOy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf( )yf xxOy0 xxxy0lim0.xy 函数0 x)(xf在点连续即:一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义000lim()()0 xf xxf x 000lim()()xf xxf x 00lim( )()xxf xf x 在在二、二

4、、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 ,但00lim( )().xxf xf x不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一, 函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点 . 在无定义 ;间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf假设称0 x, )()(00 xfxf假设称0 x为可去间断点 .为跳跃间断点 .二、二、 函数的间断点函

5、数的间断点间断点分类间断点分类: :第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡,称0 x若其中有一个为,为无穷间断点 .为振荡间断点 .二、二、 函数的间断点函数的间断点xytan) 1 (2x为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点 .xy1sin)2(例如例如:xytan2xyOxyxy1sinO二、二、 函数的间断点函数的间断点1x为可去间断点 .11)3(2xxy例如例如:xy1O二、二、 函数的间断点函数的间断点) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)1xOy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .二、二、 函数的间断点函数的间断点例如例如:)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等