高中全程复习方略配套正弦定理和余弦定理ppt课件

1、第七节 正弦定理和余弦定理三年三年1818考考 高考指数高考指数: :掌握正弦定理、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理, ,并能处理一些简单的三角形度量问题并能处理一些简单的三角形度量问题. .1.1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考调查的热点调查的热点. .2.2.常与三角恒等变换相结合，综合调查三角形中的边与角、三常与三角恒等变换相结合，综合调查三角形中的边与角、三角形外形的判别等角形外形的判别等. .3.3.在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的间在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的间隔问题隔问

2、题. .1.1.正弦定理正弦定理a_2R RABCsinA（ 是外接圆的半径）bsinBcsinCa_,b_,c_，2RsinA2RsinB2RsinCsinA sinB sinC_，分类分类内容内容定理定理变形公变形公式式解决的解决的问题问题知两角和任一边，求其他两边和另一角知两角和任一边，求其他两边和另一角. .知两边和其中一边的对角，求另一边的对角知两边和其中一边的对角，求另一边的对角. .a b cb2Rc2RasinA,sinB_,sinC_2R【即时运用】【即时运用】(1)(1)思索：在思索：在ABCABC中，中，sinAsinBsinAsinB是是ABAB的什么条件？的什么条件？

3、提示提示: :充要条件充要条件. .由于由于sinAsinBsinAsinB ababAB.AB.(2)(2)在在ABCABC中，中，B B3030，C C120120，那么，那么abcabc_._.【解析】【解析】A A18018030301201203030，由正弦定理得：由正弦定理得：abcabcsinAsinBsinCsinAsinBsinC1111答案：答案：1111ab2R2R3.32.2.余弦定理余弦定理分类分类内容内容定理定理变形变形公式公式解决的解决的问题问题222ABCa_;b_c_在中，有；22bc2bccosA22ca2cacosBcosA=_;cosB=_;cosC=

4、_222b +c -a2bc222a +c -b2ac222a +b -c2ab知三边知三边, ,求各角求各角. .知两边和它们的夹角知两边和它们的夹角, ,求第三边和其他两个角求第三边和其他两个角. .22ab2abcosC【即时运用】【即时运用】(1)(1)假设等腰三角形的周长是底边长的假设等腰三角形的周长是底边长的5 5倍，那么它的顶角的余倍，那么它的顶角的余弦值为弦值为_._.(2)(2)在在ABCABC中，知中，知a2a2b2b2bcbcc2c2，那么角，那么角A A为为_._.【解析】【解析】(1)(1)设底边边长为设底边边长为a a，那么由题意知等腰三角形的腰长，那么由题意知等腰

5、三角形的腰长为为2a2a，故顶角的余弦值为，故顶角的余弦值为(2)(2)由知得由知得b2b2c2c2a2a2bcbc，cosAcosA又又00A A，答案：答案：(1) (2)(1) (2)2224a4aa7.22a2a8222bca12bc2 ，2A.378233.3.三角形中常用的面积公式三角形中常用的面积公式(1) (h(1) (h表示边表示边a a上的高上的高););(2) =_=_(2) =_=_；(3) (r(3) (r为三角形的内切圆半径为三角形的内切圆半径).).1Sah21SbcsinA21absinC21acsinB21Sr(abc)2【即时运用】【即时运用】(1)(1)在

6、在ABCABC中，中，A A6060，ABAB1 1，ACAC2 2，那么，那么S SABCABC的值为的值为_._.(2)(2)在在ABCABC中，中， 那么那么S SABCABC_._.【解析】【解析】(1)(1)(2)(2)在在ABCABC中，中，cosAcosAsinAsinA答案：答案：(1) (2)(1) (2)2 5AC5AB2cosA5，ABC13SAB AC sinAsin60.222 55，55，ABC1152SAB AC sinA25.22523222 利用正、余弦定了解三角形利用正、余弦定了解三角形【方法点睛】解三角形中的常用公式和结论【方法点睛】解三角形中的常用公式和

7、结论(1)A+B+C=.(1)A+B+C=.(2)0(2)0A A，B B，C C，sin(A+B)=sinCsin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosCcos(A+B)=-cosC，tan(A+B)=-tanC.tan(A+B)=-tanC.ABCCsinsincos222ABCCcoscossin222，(3)(3)三角形中等边对等角三角形中等边对等角, ,大边对大角大边对大角, ,反之亦然；三角形中恣反之亦然；三角形中恣意两边之和大于第三边意两边之和大于第三边, ,恣意两边之差小于第三边恣意两边之差小于第三边. .【例【例1 1】根据以下条件解三角形】根据以下条件解三角形(1

8、)(1)在锐角在锐角ABCABC中，中，a a、b b、c c分别为角分别为角A A、B B、C C所对的边，又所对的边，又 b b4 4，且，且BCBC边上的高边上的高 那么角那么角C=_.C=_.(2)(2)在在ABCABC中，知中，知A AB BC C，且，且A=2C,b=4,a+c=8A=2C,b=4,a+c=8，那么，那么a=_,c=_.a=_,c=_.(3)(3)知三角形的两边分别为知三角形的两边分别为4 4和和5 5，它们的夹角的余弦值是方，它们的夹角的余弦值是方程程2x22x23x3x2 20 0的根，那么第三边长是的根，那么第三边长是_._.c21，h2 3，【解题指南】【解

9、题指南】(1)(1)作出高，利用直角三角形中的边角关系直接作出高，利用直角三角形中的边角关系直接求得；求得；(2)(2)正弦定理和余弦定理结合运用求得；正弦定理和余弦定理结合运用求得；(3)(3)利用方程求利用方程求出余弦值，再利用余弦定理求得出余弦值，再利用余弦定理求得. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)由于由于ABCABC为锐角三角形，过为锐角三角形，过A A作作ADBCADBC于于D D点，点， 那么那么C C6060. .2 33sinC42，(2)(2)由正弦定理由正弦定理又又A=2C,A=2C,所以所以即即由知由知a+c=8=2ba+c=8=2b及余弦定理，得及余弦定理，得

10、整理得整理得(2a-3c)(a-c)=0,(2a-3c)(a-c)=0,ac,sinAsinCac,sin2CsinCaca,cosC.2sinCcosCsinC2c222222aca()cabc2cosC2aba(ac)(5a3c)(ac)5a3c.4a(ac)4aa5a3c2c4a，ac,2a=3c.ac,2a=3c.a+c=8,a+c=8,(3)(3)解方程可得该夹角的余弦值为解方程可得该夹角的余弦值为 由余弦定理得：由余弦定理得：424252522 24 45 5 2121，第三边长是第三边长是答案：答案：(1)60(1)60 (2) (3) (2) (3)2416a,c.5512，1

11、221.24516521【互动探求】本例中的【互动探求】本例中的(1)(1)条件不变，假设求条件不变，假设求a,a,那么那么a=_.a=_.【解析】由余弦定理可知【解析】由余弦定理可知c2c2a2a2b2b22abcosC2abcosC，那么那么即即a2a24a4a5 50.0.所以所以a a5 5或或a a1(1(舍去舍去) )因此因此a a边的长为边的长为5.5.答案：答案：5 52221( 21)a42 a42 ， 【反思【反思感悟】感悟】1.1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形应熟练掌握正、余弦定理及其变形. .解三角解三角形时形时, ,有时可用正弦定理有时可用正弦定理, ,也可用余弦定

12、理也可用余弦定理, ,应留意根据知条件应留意根据知条件用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理. .2.2.知两边和其中一边的对角知两边和其中一边的对角, ,解三角形时解三角形时, ,留意解的情况留意解的情况. .如知如知a,b,A,a,b,A,那么有两解、一解、无解三种情况那么有两解、一解、无解三种情况. .【变式备选】在【变式备选】在ABCABC中中, ,知知a=7,b=3,c=5,a=7,b=3,c=5,求其最大内角和求其最大内角和sinC.sinC.【解析】由知得，【解析】由知得，acbacb，所以内角，所以内角A A最大，最大，由余弦定理得，由余弦

13、定理得，而而所以所以222bca1cosA,A1202bc2， 222abc4992511cosC,2ab2 7 314 2115 3sinC1 ().1414 利用正、余弦定理判别三角形外形利用正、余弦定理判别三角形外形【方法点睛】【方法点睛】1.1.三角形外形的判别思绪三角形外形的判别思绪判别三角形的外形，就是利用正、余弦定理等进展代换、转化，判别三角形的外形，就是利用正、余弦定理等进展代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判别寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判别(1)(1)边与边的关系主要看能否有等边，能否符合勾股定理等；边与边的关系主要看能否有等边，能

14、否符合勾股定理等；(2)(2)角与角的关系主要是看能否有等角，有无直角或钝角等角与角的关系主要是看能否有等角，有无直角或钝角等. .2.2.断定三角形外形的两种常用途径断定三角形外形的两种常用途径经过正弦定理和余弦定理，化边为角经过正弦定理和余弦定理，化边为角, ,利用三角变换得出三利用三角变换得出三角形内角之间的关系进展判别；角形内角之间的关系进展判别；利用正弦定理、余弦定理，化角为边利用正弦定理、余弦定理，化角为边, ,经过代数恒等变换，经过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进展判别求出三条边之间的关系进展判别. .【提示】在判别三角形外形时一定要留意解能否独一，并注重【提示】在判别三角形

15、外形时一定要留意解能否独一，并注重发掘隐含条件发掘隐含条件. .另外另外, ,在变形过程中要留意角在变形过程中要留意角A A、B B、C C 的范围对的范围对三角函数值的影响三角函数值的影响. .【例【例2 2】在】在ABCABC中，中， 判别判别ABCABC的形的形状状. .【解题指南】此题主要是利用正弦定理转化成边或角，作出判【解题指南】此题主要是利用正弦定理转化成边或角，作出判断即可断即可. .acosAbcos(B)22，（）【规范解答】方法一：【规范解答】方法一：asinAasinAbsinB.bsinB.由正弦定理可得：由正弦定理可得：a2=b2a2=b2，aab b，ABCABC

16、为等腰三角形为等腰三角形. .方法二：方法二：asinAasinAbsinB.bsinB.由正弦定理可得：由正弦定理可得：2Rsin2A2Rsin2A2Rsin2B2Rsin2B，即，即sinAsinAsinBsinB，AAB.(AB.(AB B不合题意舍去不合题意舍去) )故故ABCABC为等腰三角形为等腰三角形. .acosAbcos(B)22，（）abab,2R2RacosAbcos(B)22，（）【反思【反思感悟】三角形中判别边、角关系的详细方法：感悟】三角形中判别边、角关系的详细方法：(1)(1)经过正弦定理实施边角转换；经过正弦定理实施边角转换；(2)(2)经过余弦定理实施边角转换

17、；经过余弦定理实施边角转换；(3)(3)经过三角变换找出角之间的关系；经过三角变换找出角之间的关系；(4)(4)经过三角函数值符号的判别以及正、余弦函数有界性的讨经过三角函数值符号的判别以及正、余弦函数有界性的讨论论. .【变式训练】在【变式训练】在ABCABC中：中：(1)(1)知知a-b=ccosBa-b=ccosBccosAccosA，判别，判别ABCABC的外形的外形. .(2)(2)假设假设b=asinC,c=acosB,b=asinC,c=acosB,判别判别ABCABC的外形的外形. .【解析】【解析】(1)(1)由知结合余弦定理可得由知结合余弦定理可得 整理得整理得(a-b)(

18、a2+b2-c2)=0,a=b(a-b)(a2+b2-c2)=0,a=b或或a2+b2a2+b2=c2,=c2,ABCABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形. .222acbabc2ac222bcac2bc，(2)(2)由由b=asinCb=asinC可知可知 由由c=acosBc=acosB可知可知 整理得整理得b2+c2=a2b2+c2=a2，即三角形一定是直角三角，即三角形一定是直角三角形，形，A=90A=90,sinC=sinB,sinC=sinB，B=CB=C，ABCABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形. .bsinBsinCasinA，222acbca2ac， 与

19、三角形面积有关的问题与三角形面积有关的问题【方法点睛】三角形的面积公式【方法点睛】三角形的面积公式(1)(1)知一边和这边上的高知一边和这边上的高: :(2)(2)知两边及其夹角：知两边及其夹角：(3)(3)知三边：知三边：abc111Sahbhch .222111SabsinCacsinBbcsinA.222abcSp(pa)(pb)(pc),p.2其中(4)(4)知两角及两角的共同边：知两角及两角的共同边：(5)(5)知三边和外接圆半径知三边和外接圆半径R R，那么，那么222b sinCsinAc sinAsinBa sinBsinCS.2sin(CA)2sin(AB)2sin(BC)a

20、bcS.4R【例【例3 3】(1)(1)知知ABCABC中，中，a a8 8，b b7 7，B B6060，那么，那么c=_c=_，S SABC=_.ABC=_.(2)(2021(2)(2021山东高考山东高考) )在在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对边分别的对边分别为为a a，b b，c.c.知知求求 的值；的值；假设假设 求求ABCABC的面积的面积S.S.cosA2cosC2ca.cosBbsinCsinA1cosBb2,4，【解题指南】【解题指南】(1)(1)可利用正弦定理求出角可利用正弦定理求出角C C的正弦值的正弦值, ,再求出边再求出边长长c,c,进而求面积

21、进而求面积; ;也可利用余弦定理求出边长也可利用余弦定理求出边长c c，再求面积，再求面积. .(2)(2)可由正弦定理直接转化知式子，然后再由和角公式及诱可由正弦定理直接转化知式子，然后再由和角公式及诱导公式求解导公式求解; ;也可先转化式子也可先转化式子, ,然后利用余弦定理推出边的关系然后利用余弦定理推出边的关系, ,再利用正弦定理求解再利用正弦定理求解. .运用余弦定理及的结论求得运用余弦定理及的结论求得a a和和c c的的值，然后利用面积公式求解值，然后利用面积公式求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)方法一方法一: :由正弦定理得由正弦定理得sinC=sin(A+B)=si

22、nAcosB+cosAsinB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=由由 得得c1=5,c2=3.c1=5,c2=3.方法二方法二: :由余弦定理得由余弦定理得b2=c2+a2-2cacosB,b2=c2+a2-2cacosB,72=c2+82-272=c2+82-28 8ccos60ccos60, ,87,sinAsin60284sinAsin603,774 31cosA1 ();77 5 33 3.1414或7c,sin60sinCABC1ABC211Sac sinB10 3Sac sinB6 3.22或整理得整理得:c2-8c+15=0,:c2-8c+15=0

23、,解得解得:c1=3,c2=5,:c1=3,c2=5,或或答案：答案：3 3或或5 5 或或ABC11Sac sinB6 3,2ABC21Sac sinB10 3.26 310 3(2)(2)方法一方法一: :在在ABCABC中，由中，由及正弦定理可得及正弦定理可得即即cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosBcosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB，那么那么cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinBcosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB，sin(A+B)=2s

24、in(C+B)sin(A+B)=2sin(C+B)，而，而A+B+C=A+B+C=，那么，那么sinC=2sinAsinC=2sinA，方法二：在方法二：在ABCABC中，由中，由 可得可得bcosA-2bcosC=2ccosB-acosBbcosA-2bcosC=2ccosB-acosB，由余弦定理可得由余弦定理可得cosA2cosC2cacosBbcosA2cosC2sinCsinAcosBsinB，sinC2.sinA即cosA2cosC2cacosBb222222222222bcaabcacbacb2caa2c，整理可得整理可得c=2ac=2a，由正弦定理可得，由正弦定理可得由由c=2

25、ac=2a及及 b=2 b=2可得可得4=c2+a2-2accosB=4a2+a2-a2=4a2,4=c2+a2-2accosB=4a2+a2-a2=4a2,那么那么a=1a=1，c=2c=2，即即sinCc2.sinAa1cosB,421115SacsinB1 21 cos B224， 15S.4【反思【反思感悟】感悟】1.1.运用正、余弦定理处理几何计算问题，要抓运用正、余弦定理处理几何计算问题，要抓住条件、待求式子的特点，恰当地选择定理、面积公式住条件、待求式子的特点，恰当地选择定理、面积公式. .2.2.明确所需求求的边、角，明确所需求求的边、角，(1)(1)假设知量与未知量全部集中在

26、假设知量与未知量全部集中在一个三角形中时，可选择正、余弦定理求解；一个三角形中时，可选择正、余弦定理求解；(2)(2)假设涉及到假设涉及到两个两个( (或两个以上或两个以上) )三角形，这时需作出这些三角形，先解够条三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐渐求出其他三角形的解，其中往往用到三角件的三角形，再逐渐求出其他三角形的解，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程求解求解. .【变式训练】在【变式训练】在ABCABC中，中，BC=a, AC=b, a, bBC=a, AC=b, a, b是方

27、程是方程x2-x2-+2=0+2=0的两个根，且的两个根，且2cos(A+B)=1, 2cos(A+B)=1, 求求:(1):(1)角角C C的度数的度数;(2)AB;(2)AB的长的长度度;(3);(3)ABCABC的面积的面积. .【解析】【解析】(1)cosC=cos(1)cosC=cos-(A+B)-(A+B)=-cos(A+B)=-cos(A+B)=C=120C=120. .(2)(2)由题设：由题设：c2=a2+b2-2abcos120c2=a2+b2-2abcos120 2 3x1,2ab2 3,ab2=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=

28、即即AB=AB=(3)(3)2(2 3)210,10.ABC11SabsinCabsin120221332.222 【变式备选】在【变式备选】在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a,b,ca,b,c，(1)(1)求求sinCsinC的值的值; ;(2)(2)求求ABCABC的面积的面积. .【解析】【解析】(1)(1)由于角由于角A A，B B，C C为为ABCABC的内角，的内角，且且 所以所以于是于是4B,cosA,b3.354B,cosA,3523CA,sinA.3523134 3sinCsin(A)cosAsinA.32210(2) (2) 由由(1

29、)(1)知知又由于又由于所以在所以在ABCABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得于是于是ABCABC的面积的面积334 3sinA,sinC.510B,b3,3bsinA6a.sinB51SabsinC21634 3369 33.251050【总分值指点】解三角形问题的规范解答【总分值指点】解三角形问题的规范解答【典例】【典例】(12(12分分)(2021)(2021辽宁高考辽宁高考) )ABCABC的三个内角的三个内角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a a、b b、c c，asinAsinB+bcos2A=asinAsinB+bcos2A=(1)(1)求求 (2) (2)假

30、设假设 求求B.B.【解题指南】【解题指南】(1)(1)根据正弦定理，先边化角，然后再角化边，根据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得；即得；(2)(2)先结合余弦定理和知条件求出先结合余弦定理和知条件求出cosBcosB的表达式，再利的表达式，再利用第用第(1)(1)题的结论进展化简即得题的结论进展化简即得. .2a.b;a222cb3a ，【规范解答】【规范解答】(1)(1)由正弦定理得，由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sin2AsinB+sinBcos2A=即即sinB(sin2A+cos2A)= 3sinB(sin2A+cos2A)= 3分分故故 所以所以 6

31、6分分(2)(2)由余弦定理及由余弦定理及 得得由由(1)(1)知知b2=2a2b2=2a2，故，故 10 10分分可得可得 又又cosB0cosB0，故故 所以所以B=45B=45.12.12分分2sinA，2sinA.sinB2sinA，b2.a222cb3a ，(13)acosB.2c22c(23)a .21cos B,22cosB2，【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：得到以下失分警示与备考建议：失失分分警警示示解答本题时有以下三点容易造成失分：解答本题时有以下三点容易造成失分：(1)(

32、1)看到第一问所求是边的比值看到第一问所求是边的比值, ,进而在边角互化时将角进而在边角互化时将角化为边化为边, ,使问题复杂化而得不到正确答案使问题复杂化而得不到正确答案. .(2)(2)利用余弦定理后没有结合第一问的结果而使后面求利用余弦定理后没有结合第一问的结果而使后面求解无法进行解无法进行. .(3)(3)由由 求求cosBcosB时，忽略了判断角时，忽略了判断角B B的取值范围的取值范围而产生错解而产生错解. .21cos B2备备考考建建议议在解决三角形问题时还有以下几点容易造成失分在解决三角形问题时还有以下几点容易造成失分, ,在备在备考时要高度关注考时要高度关注: :(1)(1

33、)忘记或不会应用三角形中的隐含条件忘记或不会应用三角形中的隐含条件. .(2)(2)求边、角时求边、角时, ,忽略其范围忽略其范围. .(3)(3)应用正、余弦定理时计算失误应用正、余弦定理时计算失误. .另外另外, ,要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒等要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒等变换变换, ,才能快速正确地解决解三角形问题才能快速正确地解决解三角形问题. .1.(20211.(2021浙江高考浙江高考) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c.a,b,c.假设假设acosA=bsinBacosA=bsinB，那么，那么sinAcosA+cos2B=( )sinAcosA+cos2B=( )(A) (B) (C)-1 (D)1(A) (B) (C)-1 (D)1【解析】选【解析】选D.D.由由acosA=bsinBacosA=bsinB可得可得