专题4函数的概念及其表示方法解析版

1、专题4函数的概念及其表示方法专题知识梳理1 .函数的概念设A、B是两个非空数集，如果按某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A至UB的一个函数，记作y=f(x),xCA.2 .函数的定义域与值域在函数y=f(x),xCA中，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域；与x的值对应的输出值y叫做函数值；函数值的集合y|y=f(x),xCA叫做函数的值域.3 .函数的三要素函数的构成要素为定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以，如果两个函数的定义域、值域和对应法则完全一致,我们称这两个函数是同一个函数.4 .函数的表示表示

2、函数的常用方法有列表法、解析法和图象法.5 .分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数,通常叫做分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.考点探究考向1函数的概念【例】（1）已知A=1,2,3,k,B=4,7,a4,a2+3a,aCN*,kCN*,xCA,yCB,f：x-y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数，求a,k的值；（2）下列各组函数中，表示同一函数的是.3o,ox2-1,y=jx3与y=52;尸与丫=*1；x+1y=lnex与y=elnx;y=x0与y=4x【解析】（1

3、）（定义法）由对应法则1-4,2-7,310,又k-3k+1,故a2+3a=10（a4=10舍去），解得a=2或a=一5（舍去）,故3k+1=a4=16,解得k=5.a=2,k=5.(2)由y=3不与丫=%2化简为y=x与y=|x|,两个函数的对应法则不相同，不表示同一函数.-x21山、,一、,山、,一、，"山、，-0+一0p、=的7E义域为x|xd1,y=x1的7E义域为R,两个函数的7E义域不相同，不表不同一函x+1y=lnex的定义域为R,y=e1nx的定义域为xlx>0,两个函数的定义域不相同，不表示同一函数.y=x0与y=4的定义域、对应法则完全相同，表示同一函数.故

4、应填.x题组训练1.设集合A=x|1xw2B=x|1xw4有以下4个对应法则：f:x-y=x2;f：x-y=3x2;f：x-y=x+4;f：xy=4x2,其中不能构成从A到B的函数的是.(填序号)【解析】按函数的定义判断，中的对应能构成从A到B的函数；而中若x=2,则y=6?B,中若x=2,则y=0?B,即中的对应不能构成从A到B的函数.故应填2 .下列各组的两个函数中表示同一函数的是.CDy=21og2x与y=1og2x2;y=x2与y=.x2-4x+4；6,x,3l3f1-x+1y=logaa(a>0,aw1有y=V？；y=xT1与y=1【解析】与中的两个函数，其定义域不同，中的两个

5、函数，其值域不同，它们都要不是同一函数；而中的两个函数，定义域和值均为R,其函数都可以等价转化为y=x,它们是同一函数，故应填.3 .(易错题)下列所给图形中是函数图象的个数为.【解析】中的图形，直线x=a(a>0)与其有两个交点，不符合函数的定义，从而不是函数的图象，中的图形，当x=x0时，对应的y值有两个，不符合函数的定义，也不是函数的图象，中的图形都是函数的图象，故是函数图象的个数为2.考向2函数的解析式【例】根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x)=4x+3;(2)已知f(d+1)=x+2也；(3)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)f(x)=

6、3x+1;(4)已知f(0)=1,对任意的实数x,y都有f(xy)=f(x)y(2xy+1).【解析】(1)(待定系数法)设贻)=2*+3则f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3a2=4,a=2a=2，十解得“或。.故f(x)=2x3或f(x)=2x+1.ab+b=3,b=-3b=1(2)解法1(换元法)：设t=近+1,则x=(t-1)2(t>1)代入原式有f(t)=(t1)2+2(t1)=t22t+1+2t2=t21.f(x)=x21(x>1)解法2(配凑法)：x+2%3=(x)2+2yA+11=(浜+1)21,.f(x+1)=(x+1)2-

7、1(>/x+1>1)即f(x)=x2-1(x>1)(3)用一x换x得2f(x)f(x)=3x+1,与原式联立消去f(x)得f(x)=x+1.(4)令x=0,得f(y)=f(0)y(y+1)=1+y2y,f(y)=y2+y+1,即f(x)=x2+x+1.题组训练1 .已知f（怖）=32则他）二【解析】令+=石£之0：,则£二F所以，所以，故答案为：（r>0）2 .函数/(力满足f(-x)-lx,则f(i)-【解析】由题意知臼+/（一幻二"匕天0+f便）=-改故答案为2x.,1、313 .(易错题)已知函数y=f(x)满足f(x+)=x+1,求

8、f(x).xx1.1.一【解析】令t=x+,则当x>0时，t=x+2,当且仅当x=1时取等号；xx11t=x+=(x*)W2,当且仅当x=1时取等三，所以t匚(°°,2J2,4元),x-x又fix1lx1Ix2-14J；1lx1x-31,xxx2xx_23_3f(t)=t(t3)+1=t-3t+1,即f(x)=x-3x+1.，f(x)=x3_3x+1,X£(-00,-2U2,-He).考向3分段函数2x+a,x<1,【例】已知实数awQ函数f(x)=*若f(1a)=f(1+a),则a的值为;x2a,x>l,3x-1,xv1,(2)设函数f(x)=

9、xx则满足f(f(a)=2f的a的取值范围是;12,x>i,.一x2+1,x"由，、2.(3)已知函数f(x)="则满足不等式f(1x2)>f(2x)的x的取值范围是1,x<0,【解析】(1)当a>0时，1a<1,1+a>1,3由f(1a)=f(1+a),可得2(1a)+a=(1+a)2a,解得a=-2,不合题息.3，当a<0时，1a>1,1+a<1,由f(1a)=f(1+a),可得一(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得a=-4,符合题意.1-a的值为一3.4(2)由f(f(a)=2*a),得f(a)>1当a&

10、lt;1时，有3a1>1,-as|,-3<a<1；当aRl时，有2a>i,a>0,.>1.综上，a的取值范围是a.3(3)当x<-1时，有1>1,.无解.当一1a<0时，有(1x2)2+1>1,xw±,11<x<0.当0aW1时，有(1x2)2+1>(2x)2+1,0+721.当x>1时，有1>(2x)2+1,无解.综上：x的取值范围是1<x<j2-1.题组训练1.函数2京>0则8(-3)二一f(加，时<0【解析】函数闸二:矗“：则砥倒二/(9)二三二<0四；故答案

11、为：.5口父+3f>02.已知函数f(x)=Rf若伽)=2,则实数m的值等于ML-bjAVU【解析】：函数二R+y打网二2,vJ-上腐mU1,当时,f网=2阳3=2,解得踪:二一，不成立；当班，。时,/(陶二而一2=2,解得题二或a=2i舍).综上，实数m的值为故答案为：.-U3.已知函数力二则一一二的值是【解析】函数用E)=-7H)=loM=2,川*3)=2gm=3,二/(-；)+川电。=2+3=5.故答案为：5.2x,x<4,4 .已知函数f(x)="则f(f(5)=.f(x-1),x>4【解析】f(5)=f(4)=f(3)=23=8._3f(f(5)=f(8)

12、=f(7)=f(6)=f(5)=f(4)=f(3)=2=8.m的值为m=8;3一一一，3x-m,xwz45 .(拔局题)已知头数mwo,函数f(x)="右f(2m)=f(2+m),则x2m,x>2,【解析】当m>0时，2m<2,2+m>2,所以3(2m)m=(2+m)2m,所以当m<0时，2m>2,2+m<2,所以3(2+m)m=(2m)2m,所以m=综上，m的值为8或-8.3考向4函数及其表示方法的实际应用【例】如图，有一块四边形绿化区域BCED,其中/C=ZD=90°,BC=BD=J3,CE=DE=1.现准备经过DB上一点P和E

13、C上一点Q铺设水管PQ,且PQ将四边形EQ=y.(1)求x,y之间的关系式；(2)求水管PQ的长的最小值.【解析】(1)延长BD、CE交于点A(如图所示),则AD=73,AE=2,又BC=BD=用,则/A=30°,SAade=Sabde=Sabce=-2.PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，S3pq=J3.而Szapq=APAQsinA=(x+V3)(y+2)sin30=73,1一一即(x+石)(y+2)=屈,1.(x+73)(y+2)=4V3.4BCED分成面积相等的两部分，设DP=x,PQ2=AP2+AQ2-2APAQcos30=(x+73)24.32+x-3-2m73X>2Xa/3-12=873-12.2当且仅当(x+.3)2=|-43_x-3-2,即x=24/3-J3时，pq取得最小值.PQmin=M石-12=272>/3-3.题组训练1.如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x.(1)求此框架围成的面积y与x的函数式y=f(x),并写出它的定义域(2)x为何值时，面积y最大？最大值是多少?(2)在MPQ中，由余弦定理，得：【解析】(1)设AB=2x,CD=兀鸟于