DNA序列的数学建模论文

1、2015年“深圳杯”全国大学生数学建模竞赛DNA序列毛西露，陈洁（重庆三峡学院，重庆万州404100；重庆三峡学院，重庆万州404100）（联系方式联系方式摘要：本文通过对DNA分子的研窕分析，对其进行简单及更深入的分类。由提示，将20个DNA单分子链中“TAGC”数量及百分含量数学统计，并运用欧式和马氏距离判别分析分析，检验两种的准确性，选出较高优化的方式科学地把要求的DNA序列分为A类，B类，依据此方法完成后20个及182个自然DNA分子单链的分类。得出了所求20个人工制造序列及182个自然序列的分类结果如下：、20个人工序列:A类：21

2、、24、26、28、30、31、32、33、38、40。B类：22、23、25、27、29、34、35、36、37、39。（2）经检验欧式优化度高，欧式进行对182个自然DNA分子分类：A类：4、5、6、8、9、11、13、14、15、16>17、18、19、20、21、27、29、31、32、33、35、36、38、39、41、42、44、45、46、47、49、52、53、55、58、59、60、61、62、64、66、67、68、69、70、71、73、77、79、81、82、87、89、90、91、93、95、96、100、101>104、105、106、108、109、1

3、10、112>115、117.118、120、124、132、134、135、136、139、141、145、148、150、154、155、158、172、173、177.B类：1、2、3、7、10、12、22、23、24、25、26、28、30、34、37、40、43、48、78、80、83、84、85、86、92、50、51、54、56、57、63、65、72、74、75、76、94、97、98、99、102、103、107>111、113、114、116、119、121、122、123、125、126、127、128、129、130、131、137、138、140、142、

4、143、144、146、147、149、151、152、153、156、157、159、160、161、162>163、164.165、166、167、168、169、170、171174、175、176、178、179、180、181、182。一、问题重述人类基因组计划中DNA全序列草图由4个字符A,T,C,G按一定顺序排成的长约30亿的序列，其中没有“断句”也没有标点符号，除了这4个字符表示4种碱基以外,人们对它包含的“内容”知之甚少，难以读懂。破译这部世界上最巨量信息的“天书”是二十一世纪最重要的任务之一。在这个目标中，研究发现DNA序列具有一些规律性和结构。例如，在全序列中有一些

5、是用于编码蛋白质的序列片段，即由这4个字符组成的64种不同的3字符串，其中大多数用于编码构成蛋白质的20种氨基酸。又例如，在不用于编码蛋白质的序列片段中，A和T的含量特别多些，于是以某些碱基特别丰富作为特征去研究DNA序列的结构也取得了一些结果。此外，利用统计的方法还发现序列的某些片段之间只有相关性，等等.这些发现让人们相信，DNA序列中存在着局部的和全局性的结构，充分发掘序列的结构对理解DNA全序列是十分有意义的。作为研究DNA序列的结构的尝试，提出以下对序列集合进行分类的问题：1）请从20个已知类别的人工制造的序列（其中序列标号110为A类，11-20为B类）中提取特征，构造分类方法，并用

6、这些已知类别的序列，衡量你的方法是否足够好。然后用你认为满意的方法，对另外20个未标明类别的人工序列（标号2140）进行分类，把结果用序号（按从小到大的顺序）标明它们的类别（无法分类的不写入）。2）同样方法对182个自然DNA序列（它们都较长）进行分类，写出结果。二、模型假设特定量的假设简单的数量统计及提取：1、对分析的及将要分析的所有DNA分子能将其分成A类、B类或不判断分类；2、不考虑特殊密码子的变异问题及书写密码子的格式；3、不考虑碱基序列的非编码区和编码区的区别；4、题目中所给的样本信息量足够大。三、特定符号的说明特定量的假设：Xij表示第i条DNA单链分子中碱基j的百分比含量，其中j

7、=1（表示碱基A的含量）2（表示碱基C的含量），3（表示碱基G的含量），4（表示碱基T的含量）。Gi表示由某些具有相同属性的个体组成的类Ka表示A类集合的几何中心Kb表示B类集合的几何中心样本Da点X1到Ka的欧氏距离样本Db点X，ljKb的欧氏距离Ma,a的均值si,a的协方差Pbb的均值,s2,b的协方差nl,n2a,b的自由度Q检验统计量、模型的分析1、针对题目给出A、B类DNA单链分子的特征提取（1）、减基“ATGC”含的分析，如数据所示：A类：1-10条链DNA碱基统计表1组2组3组4组5组6组7组8组9组10组总计A33303047263939312320318T151732121

8、421211715171C191824122614111823301951-10各组碱基的百分比折线图G44465020474440414845425有以上数据显示，T+C总含量在33%左右，A+G总含量在67%左右。B类:11-20条链DNA碱基统计表1组2组3组4组5组6组7组8组9组10组总计A39362833324039322422325C531190927131619112G11161413一10151087111T55555755715129556262552由以上各碱基含量的数据可将后2140归化成A、B类。A类：21、24、26、28、30、31、32、33、38、40。具体统

9、计数据如下：DNA碱基统计表ATCG总和A%T%C%G%21组3141221911327.43%36.28%19.47%16.81%24组2417222211520.37%40.87%19.13%19.13%26组25112-12111421.93%38.60%21.05%18.42%28组3052171811725.64%44.44%14.53%15.38%30组3127262310728.97%25.23%24.30%21.50%31组2740202511224.11%35.71%17.86%22.32%32组1936252910917.43%33.03%22.94%26.61%33组30

10、37212311127.03%33.33%18.92%20.72%38组2651202011722.22%43.59%17.09%17.09%40组2350232011619.33%43.10%19.83%17.24%各组碱基的百分比折线对于A类来讲：A+T含量较高达63%左右，C+G含量较低在37%左右。B类：22、23、25、27、29、34、35、36、37、39。具体统计数据如下；DNA碱基统计表ATCG总和A%T%C%G%22组3023252610428.85%22.12%24.04%25.00%23组3124262710828.70%22.22%24.07%25.00%25组322

11、5272811228.57%22.32%24.11%25.00%27组3326282911628.45%22.41%24.14%25.00%29组3427293012028.33%22.50%24.17%25.00%34组3528303112428.23%22.58%24.19%25.00%35组3629313212828.13%22.66%24.22%25.00%36组3730323313228.03%22.73%24.24%25.00%37组3831333413627.94%22.79%24.26%25.00%39组3932343514027.86%22.86%24.29%25.00%A+

12、TC+G碱基的百分比折线图A+TC+G对于B类来讲：C+G含量较高达56%左右，A+T含量相比较低在44%左右。五、模型的建立和求解1）、模型一：Euclid（欧式距离）分类模型的建立和求解在欧氏距离（Euclid）分类模型中，把每个样本视为三维空间的一个点，以其到不同集合几何中心的欧氏距离作为判据.具体的算法如下：（1）计算属于A类与属于B类的10个样本点的集合各自的几何中心，1018Ka=Iogxij+Kb=而全殉+Ka(i,2)=18%Ka(i,4)=15%Kb(i,2)=10.18%Kb(i,4)=50.18%由的数据可以得出Ka的中心值Ka（i,1）=29%Ka(i,3)=38%由的

13、数据可以得出Kb的中心值Kb(i,1)=29.55%Kb(i,3)=10.00%对于给定的样本点Xij,分别计算该点到Ka的欧氏距离Da二|Ka-Xij|,及该点到Kb的欧氏距离D欧|kb-Xij|；（2）判别准则如下:a若Da>Db,则将Xij点判为A类；b.若DaDb,则将Xij点判为Bc.若Da=Db,则将Xij点判为C类（C类为不可判别类）。用上述算法对已知样本的20个DNA单链分子进行分类，得到的分类结果是，A类：1235678910B类：411121314151617181920其中只有A4被错分为B类，其准确率达到95%,在可接受范闱内，该模型可信赖。用该模型对样本后给出的

14、20个进行分类，得到的分类结果是，A类：222325272930323435363739B类：2124262831333840用上述算法对未知的自然序列182个进行分类，得到的结果见附表2)、模型二：由于马氏距离具有统计意义，在距离判别分析时经常应用马氏距离.在马氏距离分类模型表示数据的协方差距离，也可以表述为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Z的随机变量间的差异程度。(1)首先要判别两个总体的协方差矩阵是否相等H。：Sj=ScH:$产S,Q=1,2)检验统计量：P是向最维数q=(n.-l)lnIS|-lnIS.|-p+titss.)/(p(p+l)/2)(i=U)对给定的a,查卡方分布表得到

15、临界值入若Qo<X,则接受Ho，否则拒绝以(2)计算属于A类与属于B类的10个样本点的集合指标各自的协方即，设S表示指标的协差阵即：由己学的Matlab求协方差SoSl=cov(A),S2=cov(B)由己学的Matlab求p,Panean(A),pb=mean(B),计算总体的协方差矩阵s=(RT)*S】+(n-1)、,其中1,n2分别为两个样本的容量样品X到总体G的马氏距离定义为：d=(x-pa)S-1(x-pa)9-(x-pb)S1(x-pb)9(3).判别准则如下：ad<0,则将点判为A类：b.d>0,则将X1点判为B类：c.若d=0,则将点判为C类(C类为不可判别类

16、)。用上述算法对已知样学习样本A1-A20进行分类，结果是A类:21、24、26、28、31、33、38、40B类:22、23、25、27、29、30、32、34、35、36、37、39六、模型的误差分析和检验误差分析：1、系统误差由于我们假设用4种碱基a、c、g、t的含量作为指标来判别类别是充分的，这当然与实际情况是不符合的，实际分类过程中，评价一种分类的好坏，还要考虑到其它的因素，如：碱基的结构：碱基a、c、g、t的内部结构及其生化性没有予以予考虑；碱基的环境：包括内环境、碱基在不同细胞的表达等都可能对其产生一定的影响。2.在问题一中，对所给的A1A40的DNA序列，我们采用从中提取特征，

17、构造分类模型的方法，但这是不充分的，必然会引起误差。检验：运用Matlab和SPSS等软件都可以进行判别分析。运用上面算法对己知类别的训练本进行判定，结果为：A类：1,2,3,5,6,7,8,9,10B类：4,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20只有第4个样本发生了误判，故正确率为95%,值得信赖。距离判别方法简单实用，容易实现，并且结论的意义明确。但是，马氏距离判别没有考虑：（1）各总体本身出现的可能性在距离判别中没有考虑；（2）错判造成的损失在距离判别中也没有考虑。通过分析比较，欧式分类模型较优化。七、模型的改进与推广模型的优缺点：优点：利用MATLAB软件对数据进行

18、处理并作出各种平面图，简便，直观、快捷：运用多种数学软件进行计算，取长补短，使计算结果更加准确：本文建立的模型与实际紧密联系，使模型更贴近实际，通用性强。我们没有使用单一的模型对问题进行分析求解，而是综合运用了多种数学模型；增加了一定得检验环节，使我们所得到的数据更加合理可信，增加了论文的实际参考价值；（6）发现异常值剔除，有助于结果的合理性。缺点：对附件1中的DNA的序列分类，我们把从中提取特征，构造分类方法，作为充分必要条件，增加了误差；检验序列只有20列，运用的数据不是很多，不够精确：忽略了碱基存在的内环境因素及其生化结构的影响。在实际中，DNA序列分类是一个复杂的数学问题，存在着大量的

19、不确定性。模型的推广：在我们的模型基础上提出的分类方法可以很好的验证已知的20个序列，并且很好的完成了对未知类型序列的分类，我们认为这种模型，同时考虑了序列中元素的局部性质和序列的全局性质，具有相当的实际背景，当我们知道分类标准的更多信息时，我们可以很方便的调整模型中的参数，使之符合新的情况，具有很好的自学习性，但这个模型比较复杂，在实际计算中参数选择需要花费大量计算时间进行搜索.。Av参考文献1姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）M.北京：高等教育出版社，20032薛薇，基于SPSS的数据分析中国人民出版社2006张韵华.Mathematica符号计算系统实用教程（第一版）M.合肥：中国

20、科技大学出版社，1998九、附录Matlab程序1：欧氏距离对A21A40DNA待测序列分类、对自然182个DNA进行分类，以此程序的进行A1-A20DNA分子的检验：functionf=fun(xl,xla,xlb)countA=zeros(1,20);countB=zeros(1,20);countN=zeros(1,20);ja=l;jb=l;jn=l;fori=l：20da=sqrt(xl(i,l)-xla(l,1).2+(x1(i,2)-xla(l,2).*2+(x1(i,3)-xla(l,3).-2+(xl(i,4)-xla(l,4)2);db=sqrt(xl(i,1)-xlb(l

21、,1).*2+(x1(i,2)-xlb(l,2).*2+(x1(i,3)-xlb(l,3).2+(xl(i,4)-xlb(l,4).-2);if(da<db)countA(l,ja)=i+20:ja=ja+l;endif(da>db)countB(l,jb)=i+20;jb=jb+l;endif(da=db)countN(l,jn)=i+20;jn=jn+l;endendcountAcountBcountNxla=0.290.150.18038;xlb=0.29550.50180.10180.10;xi=0.2743036280.19470.1681;0.28850.22120.2

22、4040.25;0.28700.22220.24110.25;0.20870.40870.19130.1913;0.28570.22320.24110.25;0.21930.38600.21050.1842;0.28450.22410.24140.25;0.25640.44440.14530.1538;0.28530.22500.24170.25;0.28970.25230.24300.2150;0.2411035710.17860.2232;0.17430.33030.22940.2661;0.27030.33330.18920.2072;0.28230.22580.24190.25;0.2

23、8130.22660.24220.25;0.28030.22730.24240.25;0.27940.22790.24260.25;0.22220.43590.17090.1709;0.27860.22860.24290.25;0.19830.43100.19830.1724;fbn(xiKlaXb)countA=Columns1tluougli113032343536372223252729Columns12tlirougli20390000countB=Cohnims1tluougli112124262831333840Columns12tlirougli20countN=Columns1

24、through1100000000000Columns12tlirougli20000000000Matlab程序1：马氏距离对A21A40DNA待测序列分类、对自然182个DNA进行分类，以此程序的进行A1-A20DNA分子的检验：functionf=fun3(a,b,x)countA=zeros(20,1);countB=zeros(20,1);countN=zeros(20,1);ml=mean(a);m2=mean(b);sl=cov(a);s2=cov(b);s=(sl+s2)/2;A=1;B=1;N=1;fori=l:20d=(x(i,:)-ml)*inv(s)*(x(i,:)-m

25、l)1-(x(i,：)-m2)*inv(s)*(x(i,:)-m2)>ifd>0countB(B,1)=i+20;B=B+1;endifd<0countA(A,l)=i+20;A=A+1;endifd=0countN(N,l)=i+20;N=N+1;endendcountAcountBcountN»a=33,15,19,44;30,17,18,46；30,7,24,50;47,32,12,20；26,12,26,47;39,14,14,44；39,21,11,40;31,21,18,41;23,17,23,48；20,15,30,45;»b=39,55,5

26、,U;36,55,3,16;28,57,11,14;33,55,9,13;32,71,0,7；40,51,9,10;39,29,27,15;32,55,13,10;24,62,16,8;22,62,19,7;»X=31,41,22,19；30,23,25,26;18,19,26,39；24,47,22,22;26,23,24,32;25,44,24,21;24,24,21,35:30,52,17,18;15,19,22,45；31,27,26,23;27,40,20,25;19,36,25,29；30,37,21,23;24,17,24,37;25,21,22,35;24,22,32

27、,27;22,21,26,34；26,51,20,20;29,25,30,22;23,50,23,20;>>fun3(a,b,x)countA=Columns1through112124262831333840Columns12through20countB=Columns1through112223252729303234353637Columns12through2039countN=Columns1through11Columns12through20经欧式与马氏的程序检验，发现欧式具有较高的分辨度，因此选择欧式对对自然182个DNA进行分类(程序同上省略)：对自然182个D

28、NA进行分类：x=271,289,314,247；340,359,282,298；304,307,236,292;271,334,355,352;186,169,363,374；375,330,331,336；390,365,152,223；267,269,493,429；313,276,252,302；405,343,191,216:321,428,399,410;414,319,178,299;176,157,437,376;236,263,310,371;256,162,428,402;169,148,514,449；359,317,263,321;253,272,392,390；284

29、,299,360,390372,339,419,489;314,340,314,382;460,528,267,379:514,540,283,341;489,510,30。388;449,461,344,451;483,519,335,370;353,304,385;458,454,466,404；388,374,332,376；400,421,457,533;453,345,287,250;399,427,452,537；340,331,375,450;558,550,170,220；393,438,446,541；276,350,424,450；550,512,362,4127；441,

30、400,349,400;500,581,461,394;283,254,564,541;523,501,311,361;537,421,365,387；408,414,432,470;500,449,366,462;542,612,382,432;375,447,547,614；512,581,463,492;547,592,438,495;439,361,496,504;367,367,730,649;570,501,477,566；339,322,592,563；510,462,680,626；517,503,398,420；449,552,675,695;720,546,216,371；

31、616,613,586,597;450,387,790,800;584,603,813,856;502,523,1031,942;434,464,1140,1062:409,327,612,530;822,799,825,714；379,346,596,565;811,488,279,337；735,669,243,301；787,1076,644,670；565,491,398,518；827,860,875,812;378,330,673,623;700,579,362,375；618,884,1082,896；678,765,1036,1005；661,560,372,459;650,6

32、61,318,471;1056,1202,541,762;623,686,372,443;484,518,495;634,624,479,541;437,417,632,744；566,674,1290,1170;673,669,1159,1179;1096,1320,685,678;725,520,527,617;1171,1023,906,797；986,1028,1037,1022;1311,1069,1136,1028;817,661,438,552:835,735,341,567;832,659,443,623;519,505J96,805;1088,1108,1133,1295:8

33、24,728,545,471；1472,859,975;395,369,981,889;1125,1150,1128,1215;627,677,667,866;1348,1602,857,960;1232,1241,1296,1226；420,494,948,985;1095,906,466,513;844,1017,1291,1159；412,410,1042,1036；1315,1642,1627；848,896,626,664；453,432,1019,1096,953,1060,1735,1772;921,1109,739,562;678,527,1048,947；1057,1043,708,790;1640,1833,959,1098;1471,1731,1110,1230:13