面积问题27838

1、面积问题1. 在梯形ABCD中,AB/CDAGBD相交于点0,若AC=5BD=12中位线长为13,AOB2的面积为$,COD的面积为S,贝USiS2=.（山东省竞赛题）过B做直线平行于AC,并交DC延长线于E点AB平行CE,BE平行AC那么四边形ACEB就是平行四边形就有:BE=AC=5;CE=ABDE=CD+CE=CD+AB=2*（2分之13）=13那么就有在三角形BDE中,BD=12,BE=5,DE=12就可以得到：角DBE=90度也就是AC垂直于BD所以有三角形DCO与三角形DEB相似所以有:S2:S（三角形BDE的面积）=CDA2:DEA2也就是:S2:30=CDA2:13A2那么就有

2、根号S2=（根号30/13）*CD又因为有三角形AOB与三角形COD相似得到：根号S1:根号S2=AB:CD那么根据比例式的性质就有：（根号S1+根号S2）:根号S2=（CD+AB）:CD也就是：（根号S1+根号S2）=根号S2*（CD+AB）/CD=（根号30/13）*CD*13/CD=根号30AP与CQ相交于点E,且/PAD=设2. 如图，在ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BDLCEBD=4,CE=6那么ABC的面积等于（）A.12B.14C.16D.18（全国初中数学联赛试解：连接DED、E分别为AC,AB的中点DE|BC,DE=1/2BCSADE=1/4SABC=1/3

3、S四边形BCDEBD丄CES四边形BCDE=1/2BD*CE=1/2*4*6=12SAED=4SABC=4SAED=163. 如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点,/QAD求证：S矩形ABCt=SAPQ（重庆市竞赛题）延长AD交PQ于F,S三角形APQ=1/2*AF*DQ+1/2*AF*CD=1/2AB=a,BC=b,DQ=DE=h则AD:CP=DE:CE即b/CP=h/(a-h)CP=b(aJh)</hp且DF:CP=DQ:CQ即DF/CP=h/(h+a)推得:DF=b*(a-h)/(a+h)所以AF=b+DF=2ab/(a+h)S三角形APQ=1/2*2ab/(a+

4、h)*(a+h)=ab=S矩形ABCD因为/QAPhPAD可得D为QE中点SAAQP=&QAE+&QEPSAQEP=CP*QE/2CP/CE=AD/DE所以SAQEP=AD*CE*QE/2DE=AD*CESAAPQ=2ADE+SPEQ=2AD*DE/2+AD*CE=AD*(DE+CE矩形ABCD4. 如图，ABC中，AD与BE相交于F,已知SaAFE=12cmf,Sabfd=9c,SAAFE=6cmi，那么四DFE的面边形CDFE的面积为cm2连接CF，设SCEF=X,SaCDF=y，根据三角形的面积与三角形底边成比例，进而求出四边形解答:积.解：连接CF，设SCEF=X，Sa

5、CDF=y，y+9EFBF6125yx+6DFAF912解得x=10.8，y=12.6，故四边形CDFE的面积=x+y=23.4.故答案为：23.4.5. 如图，分别延长厶ABC的三边ABBGCA至A'、B'、C,使得AA'=3ABBB'=3BC,CCABCSaABC由于SaABA'B1即：SaaB(=2XSaabc=2，同理可以求出其他部分的面积，最后求出总和，即是SA"BzC解答：£解：如下图所示：连接AB,BG,GA由三角形的面积公式且AA=3AB，易知：SaABCSaABCABA'BABA'AAB12所以，Sa

6、ab=2XSabc=2,同理可得SaABC=sAB'=2,SaaBz=SABC=SABC=4,所以，SaaB'=sABC+SAB+SABC+SABC+SABC+SAB'+SABC=1+2+2+2+4+4+4=19故答案为19.点评：本题主要考查了灵活运用三角形的面积公式，求岀各部分之间的关系，进而求岀面积的方法6. 如图，设ABC的面积是1,D是边BC上一点，且竺1,若在边AC上取一点，使DC2四边形ABDE勺面积为4，则AE的值为.(天津市竞赛题)5EC设厶ABC的BC边上的高为h,BC=a;CDE的DC边上的CDE面积=1/5;解得：x=3h/5h/x=(AE+EC

7、)/ECAE/EC=2/31、3、5，则7. 如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为这个等边三角形的边长为.(全国初中数学联赛试题)“你是不是想求等边三角形的面积啊？若是这样，则方法如下：/I.设P是等边三角形ABC内一点，且P到AB、BC、AC的距离依次是、5。那么：/!ABC的面积=PAB的面积+PBC的面积+PAC的面积=(1+3+5)AB/2=(9/2)AB。又厶ABC的面积=(1/2)ABA2sin60°=(V3/4ABA2。(V3/4ABA2=(9/2)AB。显然有：AB>0，二AB=(9/2)/(V3/4=6“3。ABC的面积=(9/2)

8、AB=27V3。&如图，已知DE、F分别是锐角ABC的三边BGCAAB上的点，且ADBE、CF相交ABC先求证SaPBCSaABCx+6，同理:SaPACSa于P点，AP=BP=CP=，设PD=x，PE=y,PF=z，若xy+yz+zx=28，求xyz的值.yy+65SaPABSaABCzz+612PM?BC,Saabc=12AN?BC,SaPBCSaABCPMANPDADxx+6同理:SaPACSaABCyy+65SaPABSaABCz+zz+6=1.即1-6x+6+1-6y+6+16z+6+3z+6=1,/3(yz+zx+xy)+36(x+y+z)+324=xyz+6(xy+yz+

9、zx)+36(x+y+z)+216,xy+yz+zx=28.xyz=108-3(xy+yz+zx)=24.答：xyz的大小为：24.点评：此题主要考查学生对三角形面积计算的理解和掌握，解答此题的关键是求证SaPBCSaABCxx+65SaPACSaABCyy+65SaPABSaABCz+6.此题有一定的拔高难度，属于难题.9.如图甲，ABCD是两条线段，M是AB的中点，SadmcSadac&dbc分别表示厶DMCADACDBC的面积，当AB/CD时，有Sadmc=SDACSDBC2(1)如图乙，若图甲中AB不平行CD式是否成立？请说明理由;如图丙，若图甲中A月与CD相交于点0时，问Sa

10、dm和SaDAC和Sadbc有何种相等关系？试证明你的结论.(安徽省中考题)图乙(1)先看题中给出的条件为何成立，由于三角形ADC,DMC,DBC都是同底，而由于AB/DC,因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A,M,B分别作BC的垂线AE,MN,BF,AE/MN/BF,由于M是AB中点，因此MN是梯形AEFB的中位线，因此MN=12(AE+BF)，三个三角形同底因此结论是成立的.(2)本题可以利用AM=MB，让这两条边作底边来求解，三角形ADB中，小三角形的AB边上的高都相等，那么三角形ADM和DBM的面积就相等(等底同高)，因此三角形OAD,OMD的和就等于三角形

11、BMD的面积，同理三角形AOC和OMC的面积和等于三角形CMB的面积.根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系.DBC解答:解：(1)当AB和CD不平行时，结论仍然成立.如图，由已知，可得AE、BF和MN两两平行,四边形AEFB是梯形./M为AB的中点，/MN是梯形AEFB的中位线./MN=2(AE+BF).二SaDAC+SDBC=12DC?2MN=2Sadmc,SaDMC=SDAC+S(2)vM为AB的中点，二ADM=SBDM,SACM=SBCM,SaDCM=SMOD+SMOC=(SAMD-SAOD)+(SAMC-SaAOC)=(SBDM+SBCM)-(SAOD+SAOC)=(SDBC-SDMC)-SDAC,2SaDCM=SDBC-SaDAC,二SaDMC=SDBC-SDAC2点评：本题主要考查了中位线定理的应用，根据中位线或中点得岀三角形的底相等或高成比例是解题的关键.10.如图，设PABC内任意一点，直线AP、BP、CP交BCCAAB于点DE、F.PDPEPF彳求证：(1)1;ADBECF证明：因为BDP和厶ABD是等高三角形,所以BDP和厶ABD的面积的比取决于底的比，即SBDP/SABD=DP/AD,同理：SCDP/SACD=DP/AD,所以DP/A