与椭圆有关的最值问题

1、教材分析与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。1定义法F2F1M1M2例1。P(-2,),F2为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP+MF2的最大值和最小值。分析：欲求MP+MF2的最大值和最小值o可转化为距离差再求。

2、由此想到椭圆第一定义MF2=2a-MF1, F1为椭圆的左焦点。解：MP+MF2=MP+2a-MF1连接PF1延长PF1交椭圆于点M1,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知PF1MP-MF1PF1当且仅当M与M1重合时取右等号、M与M2重合时取左等号。因为2a=10, PF1=2所以（MP+MF2）max=12, （MP+MF2）min=8结论1：设椭圆的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则MP+MF2的最大值为2a+PF1,最小值为2aPF1。例2：P(-2,6),F2为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP+MF2的最大值和最小值

3、。 分析：点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使MP+MF2值最小，求最大值方法同例1。解：MP+MF2=MP+2a-MF1连接PF1并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时MP-MF1取最大值PF1。MP+MF2最大值是10+，最小值是。结论2：设椭圆的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则MP+MF2的最大值为2a+PF1，最小值为PF2。2.二次函数法例3求定点A(a,0)到椭圆上的点之间的最短距离。分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示PA，转化为x,y的函数，求最小值。解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，PA2=(x-a)2+y2

4、 =(x-a)2+1-2=+1-a2由椭圆方程知x的取值范围是-（1） 若a,则x=2a时PAmin=（2） 若a,则x=时PAmin=a（3） 若a,则PAmin=a+结论3：椭圆上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示MA或MB，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3.三角函数法例4：椭圆上的点M(x,y)到直线l：x+2y=4的距离记为d,求d的最值。分析：若按例3那样d=转化为x或y的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆的参数方程，即三角换元。解：d= 令 则d= 当sin=1时,dmin=, 当

5、sin=1时,dmax=结论4：若椭圆上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。4.判别式法例4的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线m：x+2y+c=0 将x=2yc代入椭圆方程整理得8y2+4cy+c2-4=0，由=0解得c=, c=- 时直线m：x+2y-=0与椭圆切于点P,则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平行直线m与l的距离，所以dmin=c=时直线m：x+2y+=0与椭圆切于点Q，则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m与l的距离，所以dmax=。结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问