无模型隐含波动率

1、赵月涓广发证券发展研究中心2013年3月6日从VIX到无模型(Model Free)隐含波动率刻画目目 录录一、波动率指数VIX二、国外波动率指数发展状况三、 BS隐含波动率四、无模型隐含波动率VIX波动率指数发展概况波动率指数VXO （1993年）最接近平价看涨期权最接近平价看跌期权加权平均4个近月、次近月BS隐含波动率4个近月、次近月BS隐含波动率缺点不可复制、不可投资 波动率指数VIX（2003年）引入无模型隐含波动率22021()(1)rTiiiiXFe Q XTXTX优点可复制，可投资，可开发新产品编制原理2004年 VIX期货2006年 VIX期权平价期权隐含波动率加权近月远月与

2、加权平均3/22雷曼兄弟倒闭欧债危机爆发欧债危机升级次贷危机爆发911恐怖袭击事件波动率指数(VIX)能及时有效地反映市场情绪，又被形象地称为“投资者恐慌指标”（The Investor Fear Gauge ）2001年以来VIX波动率指数与S&P500指数的表现从VIX指数看出S&P500指数变盘征兆从长期时间的实证检验来看，VIX与S&P500指数收益率呈负相关关系4/22波动率指数VIX 是由近月合约和次月合约的无模型隐含波动率关于时间加权而成 反映了30天后市场的波动率水平，市场波动情况的风向标 可复制，可投资，可开发新产品 与标的S&P500的收益率

3、呈负相关 总结5/23目目 录录一、波动率指数VIX二、国外波动率指数发展状况三、 BS隐含波动率四、无模型隐含波动率全球主要波动率指数概况国家国家/地区地区交易所交易所波动率指数波动率指数发布时间发布时间相关衍生产品相关衍生产品美国芝加哥期权交易所VIX指数1993年2004年推出VIX期货，2006年推出VIX期权欧洲（欧盟）欧洲期货交易所STOXX 50波动率指数2005年2009年推出VSTOXX期货（FVS），2012年推出VSTOXX期权台湾台湾期货交易所台指期权波动率指数2006年没有推出以台湾VIX指数为标的的衍生产品 印度印度国家交易所India VIX 波动率指数2008年

4、没有推出以India VIX指数为标的的衍生产品韩国韩国交易所KOSPI 200波动率指数2009年计划于2013年12月16日前推出VKOSPI期货产品日本大阪证券交易所Nikkei 225波动率指数2010年2012年推出Nikkei 225VI期货香港香港交易所恒指波幅指数（VHSI）2011年2012年推出恒指波幅指数期货7/22目目 录录一、波动率指数VIX二、国外波动率指数发展状况三、 BS隐含波动率四、无模型隐含波动率BS期权定价模型,exp()exp()BSt Tft TtTt Tt Tt TBSt Tft Tt Tt TtTt TCrESdXdPrXdESd 基本假设：l标的

5、资产价格服从几何布朗运动，漂移率与波动率均为已知常数。l标的资产在剩余期限内无现金流出。l剩余期限内市场无风险利率为已知常数，投资者可按市场无风险利率无限借贷，标的资产可无限卖空。l标的资产可连续交易且标的资产的价格变动也是连续的。l市场光滑无摩擦，即标的资产与期权合约均无交易成本。l期权合约仅能到期行权。 基于BS期权定价模型的看涨期权与看跌期权的定价形式：基于市场风险中性假设与无套利定价方法得到的欧式期权定价BS模型9/22Vega是指期权价格对波动率的导数，代表期权对波动率变化的敏感程度。Vega越大，期权对波动率越敏感。结论：在股价一定时，平价期权隐含的波动率信息最多的。数据来源：数据

6、来源：Wind资讯、广发证券发展研究中心资讯、广发证券发展研究中心l对于某个给定的期权 当标的资产运行至到期行权概率为50%的价格位置时，该期权的价值对于标的资产波动率变动的敏感性达到最大。l对于某个给定的标的资产 在一组同一标的资产且到期时间相同的期权中，能够使得Delta的绝对值最接近于0.5的期权，其价值对于标的资产波动率的变动最为敏感。2,00,argmaxexp ()2tBStt Tft TSXSVegaXr2,00,argmaxexp ()2BStt Ttft TXSXVegaSrVega暴露度达到最大值的条件10/22无模型隐含波动率与BS隐含波动率的比较BS隐含波动率无模型隐含

7、波动率反映未来波动率有效信息结论：无模型隐含波动率可复制、可开发创新产品，更具投资价值 原理：原理：反解BS公式 原理：原理：期权组合市场价格的加权平均 不足： 依赖于BS模型 未来波动率有偏估计 不可复制，不可投资 优点： 不依赖于BS模型 包括不同行权价期权所包含的波动率预测信息 可复制、可开发创新产品，更具有投资价值11/22目目 录录一、波动率指数VIX二、国外波动率指数发展状况三、 BS隐含波动率四、无模型隐含波动率无模型隐含波动率基于方差互换定价数学角度光滑函数基于Dirac Delta函数的分解13/22复制方差互换合约波动率方差互换合约简介波动率方差互换定价波动率方差互换在风险

8、中性下的无套利定价第一种表达形式无模型隐含波动率剩余期限波动率方差可以用远期对数合约空头来复制波动率方差互换在风险中性下的无套利定价第二种表达形式利用基准行权价价的导数分之一份的远期合约空头对数合约静态复制（到期收益复制）低于基准行权价的看跌期权组合高于行权价的看涨期权组合波动率方差互换在风险中性下的无套利定价第三种表达形式无模型隐含波动率离散形式VIX指数14/22波动率方差互换 波动率方差互换l 方差互换在市场风险中性环境下的无套利定价反映了对市场投资者对未来波动率的一致预期l 结论：无模型隐含波动率实际上是对方差互换定价。标的股票收益率的年化波动率方差类型远期合约到期收益222,()X

9、TXN2,X t15/22 ()tttttdSSdtdW 2222,exp()Ttt Ttft TX tt TdVNEr 222,TttX tt Tt TEd16/22波动率方差互换定价第一种形式 假设波动率方差互换定价波动率方差互换多头部位的到期收益在市场风险中性环境下的现值波动率方差互换在市场风险中性环境下无套利定价的第一种表达标的资产价格波动波动率方差互换定价的第二种表达形式l通过消除时变的标的资产漂移率来复制标的资产的未来波动率：l波动率方差互换在市场风险中性环境下无套利定价的第二种表示形式： 22()2(ln)1ln()2tttttTTTttttttttd SSd td Wd SSd

10、SSdSd td W 恒定单位对数远期市值持仓合约空头2,22lnlnlnTt Tft TttTtTt Ttt TSrEE SESS17/22结论：l 标的资产的未来波动率可以用对数远期合约空头来表示。l 静态持有标的资产对数远期合约的空头部位，合约的到期交割价格为标的资产的当期价格。对数远期合约标的股票价格交割价格当期时点 时刻的到期交割价格为到期收益tSt,X tS对数远期合约空头部位的到期收益 lnln,(lnln)SSTX tTVSSNl采用静态复制方法复制对数远期合约空头部位的到期收益： ,ln,ln,220,lnlnX tX tSTX tTSSTX tTTSX tVSSNSSXSS

11、Xd Xd XSXX 看跌期权多头组合看涨期权多头组合 线性部分远期合约空头部位非线性高阶部分 特殊期权组合对数远期合约空头复制特殊期权组合2,PCt TX tXXSX18/22无模型隐含波动率在市场风险中性环境下将时间坐标从到期时刻前移至当前时点：无模型隐含波动率波动率方差互换在风险中性环境下无套利定价的第三种表述形式： ,2,2,lnlnlnexpTX tPCtTtX ttT TX tX ttTX tPCX tt TX tft TX tSSESESEXXSXSE SSSXXSXrS,2,2,2lnexptTX ttTt Tt TX tX tPCt TX tft TE SSE SSSXXSXr19/2222021()(1)rTiiiiXFe Q XTXTX美国波动率指数VIX香港恒生波幅指数22()rTiiiiXe Q XTX两者的行权基准价不同20/22基准行权价的取值,22,exp2ft TPCt Tt TtTt TrXXE SX21/22 基准行权价选取：l 在无模型隐含波动率的计算中，而构建特殊