2.1-第讲一元微积分应用ppt课件

1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中 第六章 一元微积分的应用本章学习要求：熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧

2、长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第六章 一元微积分的应用第四、五、六节 面积、体积、弧长一、平面图形的面积三、平行截面面积为已知的几何体的体积二、旋转体的体积四、弧长及其计算方法五、旋转体的侧面积 )( 或称为积分元素法法数学建模中的微分元素 , 当把非均匀变化的问题实际中在物理、几何以及工程 , ,则通积达形式能表示为某两个量的乘看作是均匀变化时 . 分问题来处理常可将问题归结为定积 . 具有对区间的可加性要求量运用定积分处理问题时A 取极限”求和近似“分划 ,局利用整体上变化的量在局部问题的步骤将整体问题化成 , ,替“变”在局部上以“不变”代关系部上近似于不变

3、的辩证 , 采用按照定积分的概念 . , )( 111iiiniiiniixxxfAA便有关系式 , ,个将具有代表性的第略去下标为简便和醒目起见ii , , d , , 1且取称之为典型小区间表示为小区间xxxxxii , 则有为区间的左端点xi . d)(xxfA , )( d)( 记为或积分元素的微分元素为量通常称Axxf . d)(dxxfA ( 0d , 相当于取极限过程对区间的可加性由量xA , d , 0)|上“无限累加”起来在区间将微分元素baAx , )(上的值：在区间就得到量即作定积分baA . d)(d babaxxfAA . ,加解为微分元素的无限累我们在这里将定积分理

4、简言之 : ,具有可加性要求所计算的量在应用微分元素法时A , , 个子区间上部总等于它在该区间的各量上即在区间Aba . 的和分量A : 的步骤如下求量 A ; d , , ) 1 (xxxba中任取一小区间在区间 , )2(记为近似值在小区间上的部分量的求出AA )d)(d ( d)(xxfAxxfA微分元素为 , )3(上的值在区间计算定积分求出量baA . d)(d babaxxfAA1直角坐标系中平面图形的面积)(xfy )(xgy ax bx . , )( ),( 积所围成的平面图形的面及求由连续曲线bxaxxgyxfyOxyab )( , , , 为面积元素则微分元素任取baxx

5、xxxxAdxxgxfAd| )()(| d , 所求面积为于是baxxgxfA d | )()(| Oxy)(xfy )(xgy ax bx ab 积的计算公式为所围成的平面图形的面bxaxxgyxfy , )( ),( 及求由连续曲线)( . d | )()(| baxxgxfAbadycyyxyx , )( ),( 及求由连续曲线 积的计算公式为所围成的平面图形的面)( . d | )()(| dcyyyAdc ,类似地例1解解 . 2 2积所围成的平面图形的面与直线求曲线yxxyOxy2xy 2 yx21AB ) 1 (求积分区间 联立方程组 2xy 2 yx . ) 1 , 1 (

6、),4 , 2( :BA 求得交点 . d)2(d )2(2xxxA微分元素 )3(计算面积 . 2 14 322d)2(1 2321 2 2xxxxxxA . 1 , 2 x积分区间例1解解 . 2 2积所围成的平面图形的面与直线求曲线yxxyOxy2xy 2 yx21AB ) 1 (求积分区间 联立方程组 2xy 2 yx . ) 1 , 1 ( ),4 , 2( :BA 求得交点 . d)2(d )2(2xxxA微分元素 )3(计算面积 . 2 14 322d)2(1 2321 2 2xxxxxxA例1解解 . 2 2积所围成的平面图形的面与直线求曲线yxxyOxy2xy 2 yx21A

7、B ) 1 (求积分区间 联立方程组 2xy 2 yx . ) 1 , 1 ( ),4 , 2( :BA 求得交点 . d)2(d )2(2xxxA微分元素 )3(计算面积 . 2 14 322d)2(1 2321 2 2xxxxxxA有何想法?例2解解 . 2 , , 2所围平面图形的面积直线求曲线xyxyxyOxyxy2xy 2xy : ) 1 (求积分区间 )2(微分元素 )3(计算面积 联立方程组 2xy xy 2xy 2xy xy 2xy . )0 , 0( ),4 , 2( ), 1 , 1 ( OBA求得交点为AB12 . 2 0,2 1,1 0, 积分区间为 ; dd)2(d

8、, 1 , 0 xxxxxA中在 . d)2(d , 2 , 1 2xxxA中在 . 6 7d)2(d)2(2 1 21 0 xxxxxxA例3解解. 4 2 2积所围成的平面图形的面与直线求曲线xyxyOxyxy224 xyAB ) 1 (求积分区间 联立方程组xy224 xy . )4 , 8( , )2 , 2( BA求得交点为 : 由图可以看出 . 为积分变量好为积分变量比选择选择xy )2(求微分元素. d)21)4(d2yyyA )3(计算面积 . 18d)21)4(4 2 2yyyA . 4 , 2 y积分区间为2参数方程形式下平面图形的面积 :出如果曲线由参数方程给 . , )

9、( , )(ttytx .处理即可积公式按定积分换元法则将直角坐标系下的面 . )( )( 件满足定积分换元法的条和此时要求函数tt例4解解 .积所围成的平面图形的面 20 ,sin ,cos 33ttaytax求星形线Oxya223 , 只需求出由对称性 , 1然第一象限中的面积 A . 4 即可后乘以 ) 1 (积分区间 . 02 : , 0 :tax时 )2(微分元素 . dcossin3)cosd(sind |d242331tttatataxyA )3(所求面积0 2 242 0 1d)cossin3(4d | 44tttaxyAAa. 8 3dsin)sin1 (1222 0 422

10、attta t例5解解 )cos1 ( ),sin( 的第一拱求由摆线tayttax . )20(积所围成的平面图形的面与横轴 xtOxya2a ) 1 (求积分区间 .20 : , 20 :tax时 )2(求微分元素 d | dxyA )sin(d()cos1 (ttata .d)cos1 (22tta )3(计算面积2 0 222 0 d)cos1 (d|ttaxyAa .3d)coscos21 (22 0 22attta t3极坐标系中平面图形的面积Oxd , )( rrr及射线求由曲线 )( 所围成的平面图r , ,为积分变量取形的面积时 . , 剩下的问则积分区间为 .积分值题是求微

11、分元素和计算)(rr , ,d , 在该小区间上任取一个小区间 d , )( 的圆扇形的面积近中心角为可以用半径为rr , , 面积元素为从而形的面积似代替其上的窄曲边扇 )( . d)( 2 1d2微分元素rA )( , )( rrrr及射线求由曲线 积的计算公式为所围成的平面图形的面 .d)( 2 1d 2 rAA .中曲边扇形的面积公式该公式也称为极坐标系例6解解 . 2sin 积所围成的平面图形的面求曲线ar Oxy . 4 , ,11AAA则积计算出第一象限中的面由对称性 . 2 , 0 ) 1 (积分区间微分元素 )2( . d)2sin(21d21aA )3(计算面积 d)2si

12、n(21442 0 21aAA . 2d2 4cos1 222 0 2aa例7解解 cos1 cos3 所围成的与心形线求圆rr .平面图形的面积Ox3cos3rcos1r .2 , ,11AAA则求出上半部分的面积由对称性 ) 1 (联立方程组求积分区间cos3rcos1r 2 1cos3 ,cos1 , 30 r曲边为时当 )2(微分元素 .d)cos1 (21d21A ,cos3 ,2 3 r曲边为时当 .d)cos3(21d21A )3(计算面积12AA 2 3 23 0 2d)cos3(21d)cos1 (2123 0 d)22cos1cos21 (2 3 d2)2cos1 (9 4

13、 5 Ox)(1rr )(2rr A如何计算? .d| )()(|21d2221rrA. d| )()(|21 2221rrA 一轴旋转一周所生成的将平面图形绕平面上某 . , 该轴称为旋转轴几何体称为旋转体 . , 间的可加性旋转体的体积具有对区上在区间I :旋转体的特点旋转体的特点 , 截旋转体所得的的平面任何一个垂直于旋转轴 . 图形均为圆截口Oxy1ABab)(xfy xxx )(在区间计算连续曲线xfy 轴所围成的平面图形以及 xbx 转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x .体积 , ,axABba与直线上的一段弧 . ,bax . 0 , , xbax , 得到如图所示的轴的平面分别作

14、垂直于和点过点xxxx , ).( )( ,可以用很小时当和其半径分别为两个圆xxxfxf , )( 似旋转为高的圆柱体的体积近以为半径的圆为底以xxf .)( : , 22xxfxyVxxx上的体积体在 :积分区间 :微分元素Oxy1ABab)(xfy xxx )(在区间计算连续曲线xfy 轴所围成的平面图形以及 xbx 转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x .体积 , ,axABba与直线上的一段弧 . ,bax :积分区间 :微分元素 .dd2xyV .d)(d2xxfV :计算体积 d baVV .d 2baxy2 , )( 上的一段弧在区间计算连续曲线dcyx . 转体的体积轴旋转一周所

15、产生的旋绕 x , 轴所围成的平面图形以及与直线ydycyAB :类似于上面的作法可得 . ,dcy :积分区间 :微分元素 .dd2yxV .d)(d2yyV :计算体积 d baVV .d 2baxy例8解解 , 1 2222轴旋转一周所生成的绕轴绕求椭圆yxbyax .旋转体的体积Oxyaabb )( ) 1 (只需用上半椭圆轴旋转绕 x . ,aax :积分区间 :微分元素 dd2xyV . 3 4d)( d2 2222 abxxaabVVaaaa .d)(2222xxaab :计算体积 )( )2(只需用右半椭圆轴旋转绕 y . ,aax :积分区间 :微分元素 dd2yxV . 3

16、 4d)( d2 2222 bayybbaVVbbbb .d)(2222yybba :计算体积OxyaabbOxy22xyxy 11Mx例9解解 2 2轴所以及与抛物线求圆弧yxyxy , 轴旋转一周所生成的旋绕轴围成的平面图形绕yx .转体的体积 ) 1 (轴旋转绕 x :积分区间 :微分元素 d)()2(dd2222xxxxyV .67d)2( d 21 0 aaxxxVV :计算体积 .之差可视为两个旋转体体积xy 22xy) 1 , 1 ( M交点 .1 , 0 x圆环的面积Oxy22xyxy 11M ) 2 (轴旋转绕 y :积分区间 :微分元素 .dd)(dd42221yyyyyx

17、V d d2 1 21 0 121VVVVV :计算体积 . 2 , 1 1 , 0y , 1 0, 上在区间 .d)2(dd222yyyxV , 2 1, 上在区间 .15 22220 d)2(d 2 1 21 0 4yyyy ?有其它的计算方法吗Oxy22xyxy 1M ) 2 (轴旋转绕 y , 0 ,1 , 0 ,xx如图所示xxx , 小矩形生成轴旋转时平面图形绕 y , 故微分的空心圆柱体一个壁厚为 x 元素为 .d)2(2d2xxxxV 周长 高 厚 .1522220d)2(2d 1 0 21 0 xxxxVV 于是例10解解 )2(0 )cos1 ( ),sin( ttaytt

18、ax的第一拱求摆线 . 转体的体积轴旋转一周所生成的旋绕 xOxya2a ,式这是曲线的参数方程形 .法处理我们可以按照积分换元 ,d 2baxyV由 ),cos1 ( ),sin( 且则令tayttax ,20 :ax .20 :t d 2 0 2axyV故 d)cos1 ()cos1 (2 0 22ttata .5d)cos1 (32 0 33atta展开回想一下旋转体体积计算公式 的创建过程. OxyABab)(xfy x )(在区间计算连续曲线xfy 轴所围成的平面图形以及 xbx 转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x .体积 , ,axABba与直线上的一段弧 . ,bax :积分区间

19、:微分元素 .dd2xyV :计算体积 d baVV )(2xSy . 轴的截平面上的面积垂直于x d baVV d)( baxxS有何想法? ).( xSxA轴的平面所截得的面积被垂直于设几何体Oxyabx )(xS , ), ,()( 上的体积为位于区间则几何体若baAbaCxS .d)( baxxSV 微分元素 d)(xxS例11解解 , ,的线段为顶以平行且等于该圆直径求以圆为底 . 的正劈锥的体积高为 hOxyhxaayh| y| y . | ) |2(21)(22xahhyhyxS222ayx . |22xay例11解解 , ,的线段为顶以平行且等于该圆直径求以圆为底 . 的正劈锥

20、的体积高为 hOxyhxaay :积分区间 :微分元素 :计算体积 . ,aax .dd22xxahVaaxxahV 22d cos ax 令 .21dsin 2 0 22ahah正劈锥的体积等于同底、同高的圆柱体体积的一半. )( ,所量得的长度但不能拉长把弧拉直后有人说 . , 简称为弧长就是弧的长度？1 平面曲线弧长的定义OxyABBMMMMAnn , ,1100M1M1nMnM1iMiMa1x1ixix1nxb , 任意取分点上在弧 AB : 个小段弧分成将nAB ). , 2 , 1 ( 1niMMii )., 2 , 1 ( :1从而得到弦依次连接相邻两分点成niMMii , 该折

21、线的长度为一条折线 , |111niiiniiMMs .max | . | 111iniiiiiiissMMMMs记的长度为弦其中 . 的长度极限值为曲线 AB , , lim 10|是可求长的则称曲线存在若极限ABsniis在则曲线若一般说来 )( ), ,()( ,1xfybaCxf . , 上是可求长的区间ba . , 光滑曲线是可求长的也就是说2 式平面曲线弧长的计算公 , , , )( 分别其端点为光滑曲线设BAbaxxfy , 则该曲线弧的长度为和对应于bxax . d1 2baxys : , Tba进行分化任意对 110bxxxxann )., 2 , 1( , : 1nixxn

22、ii个小区间得到 )., 2 , 1( :1nixxxiii每个小区间长度 : , , 1为相应当弦的长度上在iiilxx1ixix)(xfy 1iMiMil . )()()(2121iiiiixfxfxxl ), ,()( 1由微分中值定理得因为baCxf ), ,( )(1 12iiiiiixxxfl ,为所对应的整个折线长度到从从而BA ). ,( 1112iiiniiixx x )(f L , )(1 ,max | 21的长度为得的可积性则由记ABxfxxini )(1 lim120|niiixxfs .d)(1 2baxxf1ixix)(xfy 1iMiMil ), ,( )(1 1

23、2iiiiiixxxfl , 求弧长的由上面的推导可知 :微分元素为 ,iils .d)(1 d2xxfs : , 所以我们必须规定是非负数由于弧长 s .量的增加方向一致弧长的增加方向与自变则或者是极坐标形式式如果曲线是参数方程形 , , . )( 的表达式方法求出可以利用参数方程求导xf 的方程为设曲线 L )(ty )(tx ,的起终Lt . tt和点别对应于 0,)()( ), ,()( ),( 221ttCtt且若函数 .d)()( 22ttts , 其弧长为是可求长的则曲线 L)()(tty . )( : rrL的方程为极坐标形式设曲线 , ), ,()( 1其弧长为是可求长的则曲

24、线若函数LCr . d)()( 22rrs : )( 可化为参数形式方程rr cos)(rx sin)(ry 例12解解 ,中的钢筋形状为抛物线建筑中所使用的鱼腹梁 0).( ,2axay可将其方程表示为适当选取坐标后 ). ( , 见图之间的钢筋长度求在bbOxybb2xay d)(1 22bbxxas d)2(1 2bbxax d)2(1 2 0 2bxax ).41 2ln(2141 2222baabababMatlab 或者用可查积分表例13解解 ).( sin ,cos abtbytax设椭圆方程为 .求计算椭圆全长的公式 . ,弧长只需计算第一象限中的由椭圆的对称性 d)sin()

25、cos( 42 0 22ttbtas dcossin 42 0 2222ttbta dcos)cos1 ( 42 0 2222ttbta dcos1 42 0 2222ttaba .dcos1 42 0 22ttka)( 222椭圆离心率abak椭圆积分该积分称为 椭圆积分表解析性质幂级数，利用幂级数的可以将被积函数展开为 . 求椭圆积分的近似值432 8642 5311 642 311 4211 2111 xxxxx) 11 (x ), 20 ( 1cos0 , 10 从而故由于xx cos! ! 211cos1 2222xx2 0 222 0 22d)cos211 ( 4 dcos1 4

26、ttattas于是)411 (22a例14解解 . )0 ,2(0 )cos1 ( 的整个弧长求心形线aar d)()( 0 22rrs d)sin()cos1 ( 0 222aa d)cos1 (2 0 2a d 2cos4 0 22a d2cosd2cos22 0 a . 8a例15解解 )cos1 ( ),sin( 的第一拱的长为求分摆线tayttax . 3:1的点的坐标 摆线的第一拱全长为 dsin)cos1 (2 0 22tttas .8d2sin22 0 atta ,24 , 0 , 00asttt上曲线的长度为则在设分点的坐标对应于0 0 d2sin22 tttaa即有 . )

27、 2cos1 (40ta .32 ,212cos 00tt由此得 .23 ), 2332 ( 00ayax故分点的坐标为3 弧微分Oxyab)(xfy ABxC ), ,()( 1则光滑设函数baCxf )( 的弧长为曲线xfy .d)(1 2baxxfs , ,( 所对应到点则点xabax .d)(1 )( 2xattfxs , 有由积分上限函数的性质. )(1 d)(1 ddd)(d2 2tfttfxxxsxa 的长度为的弧 AC , )( 的增加方向一致时的增加方向与自变量当弧长xxs , d )(d 则有同号与 xxs .d1 d2xys .ddd 222yxs及 . ) ,( )( d处的弧微分在点称为曲线yxxfysbabaxyss 2 d1 d