第二章矩阵及其运算

1、第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 重点：重点：1.矩阵加法、数乘、乘积、转置矩阵加法、数乘、乘积、转置 2.方阵的行列式方阵的行列式 3.伴随矩阵伴随矩阵 4.逆矩阵逆矩阵 5.矩阵分块矩阵分块可到以下公共邮箱下载课件：可到以下公共邮箱下载课件：密码：密码：2013la 由由m n个数个数 aij ( i=1,2,m;j=1,2,n )排成的排成的m行行n列的数表列的数表:称为称为m行行n列的矩阵列的矩阵. 简称简称 m n 矩阵矩阵.简记为简记为: mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211这这m n个数个数aij称为称为矩阵矩阵A的元素的元素.A=Am n=( aij

2、)m n=( aij ).一、基本概念一、基本概念 skkjiksjisjijiijbabababac12211 设设A=(aij)是一个是一个m s 矩阵矩阵, B=(bij)是一个是一个s n 矩阵矩阵, 定义矩阵定义矩阵A与矩阵与矩阵B的乘积的乘积C=(cij)是一个是一个m n矩阵矩阵, 其其中中6. 矩阵与矩阵矩阵与矩阵相乘相乘( i=1,2, m; j=1,2, n ). 并把此乘积记作并把此乘积记作C=AB.5. 数与矩阵相乘数与矩阵相乘 数数 与矩阵与矩阵A=(aij)的乘积定义为的乘积定义为( aij), 记作记作 A或或A , 简称为数乘简称为数乘.(注意与注意与数乘行列式

3、数乘行列式的区别的区别)注意：注意：矩阵相乘不满足交换律矩阵相乘不满足交换律 设有两个同型的设有两个同型的 m n 矩阵矩阵A=(aij)与与B=(bij),那末矩那末矩阵阵A与与B的和定义为的和定义为(aij+bij), 记作记作A+B, 即即 把矩阵把矩阵A 的行列互换的行列互换, 所得到的新矩阵所得到的新矩阵, 叫做叫做矩阵矩阵A 的的转置矩阵转置矩阵, 记作记作AT.转置矩阵转置矩阵(1) (AT)T = A;(2) (A+B)T = AT + BT;(3) ( A)T = AT;(4) (AB)T = BTAT;转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 由由n 阶方阵阶方阵A 的元素所构

4、成的行列式叫做的元素所构成的行列式叫做方阵方阵A 的行列式的行列式, 记作记作 | A | 或或 detA .方阵行列式的运算性质方阵行列式的运算性质(1) | AT | = | A |;(2) | A | = n| A |;(3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |.(1)0| 0| 0| 0ABABAB 或或0|B|0A, 0AB)2( 且阶方阵，则：为nB,A一个重要结论一个重要结论 (7) 行列式行列式 | A | 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式Aij 所构所构成的如下矩阵成的如下矩阵 nnnnnnAAAAAAAAAA2

5、12221212111称为矩阵称为矩阵A 的的伴随矩阵伴随矩阵.性质性质: (1) AA* = A*A = | A | E.|)()(*11*AAAA (2) 对于对于n 阶方阵阶方阵A, 如果存在一个如果存在一个n 阶方阵阶方阵B, 使得使得AB = BA = E则称矩阵则称矩阵A是是可逆的可逆的(非奇异的非奇异的, 非退化的非退化的), 并称矩阵并称矩阵B为为A的的逆矩阵逆矩阵. A的逆矩阵记作的逆矩阵记作A-1.(2) 矩阵矩阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是| A | 0.,|11 AAA(3) 若若A是可逆矩阵是可逆矩阵, 则则(1) 若若 AB = E ( 或或 BA = E )

6、, 则则 B = A-1.(4) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 且且 0, 则则 A 亦可逆亦可逆, 且且 .111 AA (5) 若若A可逆可逆, 则则A-1亦可逆亦可逆, 且且(A-1)-1 = A.(7) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 则则AT 亦可逆亦可逆, 且且(AT)-1=(A-1)T.(6) 若若A, B为同阶可逆方阵为同阶可逆方阵, 则则AB亦可逆亦可逆, 且且(AB)-1 = B-1A-1.(8) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 则有则有| A-1 |=| A |-1.例例4: 求求 dcba的逆矩阵的逆矩阵( ad bc 0 ).1|11 acbdbcadAAA 求求二阶矩阵二阶矩阵A的

7、逆的逆可用可用“两调一除两调一除”的方法的方法, 其其做法如下做法如下: 先将矩阵先将矩阵A中的主对角元素中的主对角元素调换调换其位置其位置, 再将次再将次对角元素对角元素调换调换其符号其符号, 最后最后除除A的行列式的行列式|A|.二阶矩阵求逆矩阵的计算二阶矩阵求逆矩阵的计算1n2100 对角矩阵的逆矩阵对角矩阵的逆矩阵1n2100 分块对角阵的分块对角阵的逆矩阵类似！逆矩阵类似！)0(,10101n21n21 )0(,01110n2111nn 111B00AB00A 0AB00BA0111逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法:;|11 AAA(3)初等变换法初等变换法(2)伴随矩阵法伴随矩阵法

8、:低阶矩阵低阶矩阵(1)定义法定义法;(4)分块矩阵法分块矩阵法;待定系数待定系数A为为n阶方阵阶方阵, 记记 (A)=a0E+a1A+amAm,则则 (A)称为称为方阵方阵A的的m次多项式次多项式, 简称简称矩阵多项式矩阵多项式.矩阵多项式可以类似与一般多项式一样相乘或分解因矩阵多项式可以类似与一般多项式一样相乘或分解因式式. 定义定义: 设设A, B都是都是n阶矩阵阶矩阵, 若有可逆矩阵若有可逆矩阵P, 使使P-1AP = B ,则称则称矩阵矩阵A与与B相似相似. 也有也有A = PBP-1,相似矩阵有相似矩阵有(1). Am = PBmP-1.(2).若若 (A)=a0E+a1A+amA

9、m, 则则 (A) =P (B)P-1一、矩阵的运算（加法、数乘、乘法和转置）一、矩阵的运算（加法、数乘、乘法和转置）2010年期末考试题年期末考试题 (课后题课后题2题题)： 150421321,111111111BA 求求 及及AAB23 BAT设设.092650850,2294201722213223 BAAABT答案：答案：三、计算下列各题三、计算下列各题.)BA()AB()EBC(3B001020001C100020101A)8.(11T1T1TT 可逆矩阵，求阶为一个，设分 001040001CAT答案：2012年选考题年选考题.AA112011001P000010001BPBAP

10、A)10.(5及，求，其中满足设三阶矩阵分五 011012001AA113011001P51，答案：2012年选考题年选考题._2,2,10112010141 nnAAnA则为正整数而、设 00020200022nn2011年期末考试题年期末考试题 ，填空题，填空题(4分分) (课后题课后题2题题)： ._)31,21, 1(,3 , 2 , 11 nTAA则则，且且）（、已已知知 123332123121131n2011年选考题，填空题年选考题，填空题(4分分) 矩阵的矩阵的n次幂次幂矩阵拆分相乘矩阵拆分相乘._A,001001A4n 则、设 n1nn2n1nn00n02)1n(nn2012

11、年期末考试题年期末考试题.A20213443A)36I)(10.(n2求设学时专业学时做，线性代数分五 2222125005221302nnnnnA答答案案：2012年期末考试题年期末考试题二项式法二项式法二项式法二项式法二、求解矩阵方程二、求解矩阵方程2010年期末考试题年期末考试题 (8分分) (课后题课后题15题题)：,2,321011330BAABA 设设 求求B.1033123110B=(A-2E) A 答答案案：2010年选考题年选考题.2,101110011)8.(3XAXAXA，求，求设设分分 011101110)2(1AEAX答答案案： 2235231727171121X答案

12、：答案：2010年期末考题年期末考题(I)，2011年选考题年选考题20011 1025231038341X求解矩阵方程求解矩阵方程.100020001,200011001)8.(2100XBAAXBA求，且设分 100021-2001100100答案：2011年期末考题年期末考题2008年期末考题年期末考题设设 矩阵矩阵X满足关系式满足关系式,200120312,100110011 CB,)(1ECBCEXTT 求求X.2009年期末考题年期末考题 (课后题课后题16题题)：,1010201012BAEABA 设设 求求B.201030102BAE答答案案：1100210121T 答答案案：

13、X =(C -B) X =(C -B) . |)61(*)2( |2|3)8.(31 AAAA，求阶矩阵，为设分答案：答案：42011年选考题年选考题三、计算方阵行列式三、计算方阵行列式(逆矩阵、伴随矩阵逆矩阵、伴随矩阵). |*5)2|,21|3)8.(31AAAA （求求阶阶矩矩阵阵，为为设设分分16 答案：答案：2011年期末考题年期末考题2009年期末考题年期末考题二、填空题二、填空题 4. 设设 且且 存在，则存在，则0,0AXC 11,AC 1_.X 四、逆矩阵四、逆矩阵课后题课后题22题：题：, 022 EAA设方阵设方阵A满足满足 证明证明A及及A+2E都可逆都可逆,并求并求

14、及及 .设方阵设方阵A满足满足 证明证明A及及A+2E都可逆都可逆,1 A1)2( EA11324(),()AEEA答答案案1100CA 12, 032. 6AEAAAn则则满满足足方方程程阶阶矩矩阵阵若若 EA231 13,. 3AEA则则已已知知A22009年期末考题年期末考题2.设设A、B均为均为n阶可逆矩阵，且阶可逆矩阵，且AB=BA，则下列命题，则下列命题 不正确的是不正确的是( ) ABAB11 (A)11 BABA(B)11 BAAB(C)1111 ABBA(D)2. 设设n阶矩阵阶矩阵A, B, C满足关系式满足关系式ABC = E，E为为n阶单位矩阵，则必有阶单位矩阵，则必有

15、( ).(A) ACB = E; (B) CBA = E; (C) BAC = E; (D) BCA = E.2008年期末考题年期末考题(II)DC._)AE(0AAk41k 则，满足，使得方阵、若存在正整数EAA1k 2012年选考题、年选考题、课后课后21题题例例5(课后题课后题24题题) 设设n阶矩阵阶矩阵A的伴随矩阵为的伴随矩阵为A*, 证明证明:(1) 若若| A | = 0, 则则| A* | = 0; (2) |A*| = | A |n1.aA |2010年期末考试年期末考试(II) 一、填空题一、填空题(4)设设A是是n阶方阵，且阶方阵，且 ，而，而 是是A的伴随矩阵，则的伴

16、随矩阵，则*A._|* A4 4、设、设A是是n阶方阵，且阶方阵，且|A|=0,而而A*是是A的伴随矩阵，则的伴随矩阵，则| A* |= .02010年期末考试年期末考试(I)五、伴随矩阵五、伴随矩阵1na设设A= 的伴随矩阵为的伴随矩阵为A*, 则则(A*)1 = 3330220012008年期末考题年期末考题(I)课后题课后题23题：题：设设A可逆，证明其伴随阵可逆，证明其伴随阵A* 也可逆，且也可逆，且 .11( *)()*AA2010年期末考题年期末考题(I)二、选择（每题二、选择（每题4分，共分，共16分）分）1、设、设A与与B均为均为n阶方阵，则下列结论中成立的是阶方阵，则下列结论中成立的是( ) |AB|=0,则则A=0或或B=0; B. |AB|=0,则则|A|=0或或|B|=0；C. AB=0,则则A=0或或B=0; D. AB0,则则|A|0或或|B|0； B1. 设设 则则| AB | = ( ). ,142212101,100540321 BA(A) 8; (B) 10; (C) 12; (D) 14.2008年期末考题年期末考题(I)C六、方阵的行列式六、方阵的行列式 tOABtBOA则则且且阶阶方方阵阵设设,35342531,3. 24| B |=4t16.例例3: