思维特训七一元二次方程根与系数关系的运用技巧

1、思维特训(七)一元二次方程根与系数关系的运用技巧一元二次方程ax2+bx+c=0(aw咂两实数根分别是xi,X2,则xi+x2=b,xix2=c.aa这是一元二次方程根与系数的关系，运用这一关系可解决下列问题：(1)已知方程的一个根，求另一个根.方法：利用两根之和或两根之积列方程求解；(2)求与两根有关的代数式的值.方法：将所给的代数式变形，使其出现两根之和或两根之积；(3)求方程中字母系数的值.方法：根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于字母系数的方程或不等式；(4)求作方程.方法：逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项.类型一已知一根求另一根1 .若关于x的一元二次方程ax2+bx+c

2、=0有一个根为1,且a=4-c+业-42,求方程的另一个根.2 .已知关于x的一元二次方程mx2(m4)xm2=0的一个根是1,求方程的另一个根.类型二求与两根有关的代数式的值3 .2019仙桃若汕方程2x25x1=0的两个实数根，则22+3a毋53的值为()A.-13B.12C.14D.154.已知一元二次方程x2+3x1=0的两个实数根分别为a,不解方程求下列各式的值.(1) a2+缶；(2)a3B+a3；3a(3)-+-J(4)(a-1)(3-1).ap5,设x1,x2是方程x2-x-2019=0的两个实数根，求x13+2019x22019的值.6.已知关于x的方程x2+2x-k=0有两

3、个不相等的实数根.第1页/共6页(1)求k的取值范围；a3(2)若a,猾这个方程的两个实数根，求的值；1十a1十6(3)根据(2)的结果你能得出什么结论？类型三求字母系数的值7,已知关于x的方程x2+2mx-(m+1)=0,若两根倒数的和比两根倒数的积小1,求m的值.8 .已知x1,x2是一元二次方程(a6)x2+2ax+a=0的两个实数根.(1)是否存在实数a,使x+xx2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(2)求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.9 .已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+(3a1)x+2a21=0的两个实数根，使得(3x1x2

4、)(x13刈=80成立，求实数a的可能值.类型四已知两根作新方程10 .如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2,那么x1+x2=p,x-x2=q.请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知关于x的方程x2+mx+n=0(nw0)求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；ab,一(2)已知a,b满足a215a5=0,b215b5=0,求:十一的值；ba(3)已知a,b,c均为实数，且a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.详解详析1.解：.a=14c+小4-2,4c>OHc-4>0,解得c=4,，a=2.设方程的另一个根为x,则x-1)=-=2,x=2.

5、a一2即方程的另一个根为2.第2页/共6页2 .解：二,关于x的一元二次方程mx2(m4)xm2=0的一个根是1,，m(m4)-m2=0,解得m=±2.，方程变为x23x+2=0或x2+x2=0.设方程的另一个根为x,则xi2或x上一2,，x=2或一2,，方程的另一个根为2或一2.3 .B解析&为方程2x25x1=0的实数根，1-2025a1=0,即2=5a+1,.,.2o2+3a0-53=5a+1+3a,53=5(a+3+3a0-1.内防方程2x25x1=0的两个实数根，5°1-25_,1_/3=2a特一2，.24+3“毋53=5.+3X(2)+1=12.故选B.

6、4.解析由根与系数的关系，得计3=3,a#1,把要求的代数式分别用a+3,a表示，代入求值.解：%3是一元二次方程x2+3x-1=0的两个实数根，od-3=一3,a样一1.(1) a2+32=(a+呼2a伊(一3)22XJ1)=11.(2) a33+a3)=a0a+日2)=(-1)X仔一11.3a02+廿11(3) 一+r=-7=-11.apap1(4)(a1)(3-1)=民伊(a+3+1=(1)(3)+1=3.5,解：.x2-x-2019=0,.x2=x+2019,x=x22019.又.x1,x2是方程x2x2019=0的两个实数根，x1+x2=1,x13+2019x22019第3页/共6页

7、=X1-xi=":-''(1+a)(1+3)a3=_'_"一1+a322k+2019x2+X22019=xi-(xi+2019)+2019x2+X2-2019=xi2+2019xi+2019x2+x22019=(xi+2019)+2019xi+2019x2+x22019=xi+x2+2019(xi+x2)+2019-2019=1+2019=2019.6 .解：(1)A=4+4k.方程有两个不相等的实数根，A>0,即4+4k>0,.k>1.(2)由根与系数的关系可知a+3=-2,a节一k,a31+a1+31-2-k=2.a(1+3)+

8、3(1+a)民B当k>-1时，干3的值与k无关.2m一(m+1)7 .解：设方程的两个根分别为xi,x2,则xi+x2=2m,xix2=(m+1),111r_xi+x21由题息可知1十1嬴=1,即不丁一蒜=1'1,解得m=-2.3第4页/共6页此时A=4m6一为负整数6a-6一a为一1或一2,3,一6,解得a=7或8或9或12.9.解：.X1,X2是关于X的一元二次方程x2+(3a1)X+2a21=0的两个实数根,X1+X2=(3a1),X1-X2=2a21,而(3X1X2)(X13X2)=80,+4(m+1)=4(m2+m+1)=4|+1)=28>0,符合题意,39一m=

9、一8.解：(1)根据题意，得=(2a)2-4>(a-6)=24a>0,解得a>0.又.a6wq.aw6.由根与系数的关系，得,2aXl+X2=-7,a6aX1X2=a-6由一X1+X1X2=4+X2,得X1+X2+4=X1X2,2aat+4=解得a=24.a-6a-62aa.经检验，”24是万程-+4=的解.，存在实数a,使一X1+X1X2=4+X2成立.2a.a.3X12-10X1X2+3X22=-80,3(X1+X2)216x1x2=80,(2)(X1+1)(X2+1)=X1+X2+X1X2+1=a6+6+1=6a331.5a2+18a99=0,a=3或a=-.当a=3时

10、，方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的<0,a=3不合题意，舍去，33a=一5.10.解：(1)设关于x的方程x2+mx+n=0(nw0)两个根为xi,x2,1- xi+X2=m,x1-x2=n,.1.1x1+x2m111-x1+x2=x1x2=n,xJx2=n,，所求一元二次方程为x2+mx+1=0,即nx2+mx+1=0.(2) 当a而时，由题意知a,b是一元二次方程x2-15x-5=0的两根,.-a+b=15,ab=-5,aba2+b2(a+b)22ab1522X(5)r+_=r-=r=47.baabab5当a=b时，+=1+1=2.baab综上可知,h+=47或2.ba(3)