新课标人教版高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结

1、高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版2.重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量,圆锥曲线，立体几何，导数1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1:集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幕函数）必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3:算法初步、统计、概率。必修4:基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角包等变换。必修5:解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的

2、发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。止匕外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1:由2个模块组成。选彳11:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选彳12:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2:由3个模块组成。选彳2-1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选彳2-2:导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选彳2-3:计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3:由6个专题组成。选彳31:数学史选讲。选彳32:信息安全与密码。选彳33:球面上的几何。选彳34:对称与群。选彳35:欧拉公式与闭曲面分

3、类。选彳36:三等分角与数域扩充。系列4:由10个专题组成。选彳41:几何证明选讲。选彳42:矩阵与变换。选彳4>43:数列与差分。选彳44:坐标系与参数方程。选彳45:不等式选讲。选彳46:初等数论初步。选彳47:优选法与试验设计初步选彳48:统筹法与图论初步。选彳49:风险与决策。选彳410:开关电路与布尔代数。高中数学解题基本方法一、配方法二、换元法三、待定系数法四、定义法五、数学归纳法六、参数法七、反证法八、消去法九、分析与综合法十、特殊与一般法H一、类比与归纳法十二、观察与实验法高中数学常用的数学思想一、数形结合思想二、类讨论思想三、函数与方程思想四转化（化归）思想难点：函数、

4、圆锥曲线高考相关考点：集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数歹I、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方

5、程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用(11)概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算必修1数学知识点第一章：集合与函数概念§1.1.1、集合1、把研究的对象统称为元巴一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个sinx；(3)uv

6、uv(v0).、一一,、.A_、八.A*.3、常见集合：正整数集合：N或N,整数集合:Z,有理数集合：Q,实数集合:R.4、集合的表示方法：列举法、描述法.§ 1.1.2 集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的王型记作AB.2、如果集合AB,但存在元素xB,且xA,则称集合A是集合B的真子集.记作:9B.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，2n1个真子集.§ 1.1.3 集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集

7、合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作:AB.2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交箜.记作：AB.3、全集、补集？CuAx|xU,且xU§1.2.1、函数的概念1、设AB是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有惟一确定的数fx和它对应，那么就称f:AB为集合A到集合B的一个邈J记作：yfx,xA.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.§1.2.2、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图

8、象法、列表法.§1.3.1、单调性与最大(小)值1、注意函数单调性的证明方法：(1)定义法：设xx2a,b,x1x2那么f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；f(Xi)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.步骤：取值一作差一变形一定号一判断格式：解：设x1,x2a,b且XiX2,则：fx1fx2=(2)导数法：设函数yf(x)在某个区间内可导，苣f(x)0,则f(x)为增函数；在f(x)03f(x)为减函数.§1.3.2、奇偶性x,都有fxfx,那么就称函数fx为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.2、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个X,都有fxfx,那

9、么就称函数fx为奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识链接：函数与导数1、函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义：函数yf(x)在点X0处的导数是曲线yf(x)在P(X0,f(Xo)处的切线的斜率f(Xo),相应的切线方程是yy0f(xo)(xXo).2、几种常见函数的导数c'0；(xn)nxn1；/'D(sinx)cosx；(cosx)(ax)axlna；(ex)ex；1一'1(logax)；®(lnx)一xlnax3、导数的运算法则'''(1)(uv)uv.'''(uv)uvuv.4、复合函数求导法则复合函数

10、yf(g(x)的导数和函数yf(u),ug(x)的导数间的关系为Vxyuux,即y对x的导数等于yu的导数与u对x的导数的乘积.解题步骤：分层一层层求导一作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：极值是在X0附近所有的点，都有f(x)<f(x0),则f(Xo)是函数f(x)的极大值；极值是在X0附近所有的点，都有f(x)>f(xo),则f(Xo)是函数f(x)的极小值.(2)判别方法：如果在x0附近的左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,那么f(X0)是极大值;如果在X0附近的左侧f'(X)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值.6、求

11、函数的最值(1)求yf(x)在(a,b)内的极值(极大或者极小值)(2)将yf(x)的各极值点与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。注：极值是在局部对函数值进行比较(局部性质)；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。第二章：基本初等函数(I)§2.1.1、指数与指数哥的运算1、一般地，如果xna,那么x叫做a的n次方根。其中n1,nN.2、当n为奇数时，a；当n为偶数时，Vana.3、我们规定：namman*a0,m,nN,m1；°1一a-n0;a4、运算性质：arasarsa0,r,sQ；saaa0,r,sQ；abrarbra0,

12、b0,rQ.§2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象：yaxa0,a1yy=ax0<a<1a>1ox2、性质：§2.2.1、对数与对数运算2、对数恒等式：alogaNN.3、基本性质：loga10,logaa1.4、运算性质：当a0,a1,M0,N0时10gaMNlogaMlogaN；GMlogalogaMlogaN；NlogaMnnlogaM.5、换底公式:a0,a6、重要公式:7、倒数关系:logablogcblogca1,c0,c1,b0.loganlogabbmm.,logabn1a0,a1,b0,b1.logba§2.2.2、对数函数

13、及其性质1、记住图象：ylogaxa0,a1y=logax0<a<1o/1a>12、性质:数拟合，最后检验图象（1）定义域：（0,+8）性（2）值域：R质（3）过te点（1,0）,即x=1时，y=0（4）在（0,+8）上是增函数（4）在（0,衣）上是减函数(5)x1,logax0；0x1,logax0(5)x1,logax0；0x1,logax0§2.3、哥函数1、几种哥函数的图象:第三章：函数的应用§3.1.1、方程的根与函数的零点1、方程fx0有实根函数yfx的图象与x轴有交点函数yfx有零点.2、零点存在性定理：如果函数yfx在区间a,b上的图象是连

14、续不断的一条曲线，并且有fafb0,那么函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b,使得fc0,这个c也就是方程fx0的根.§ 3.1.2 用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.§ 3.2.1 几类不同增长的函数模型§ 3.2.2 函数模型的应用举例1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函必修2数学知识点第一章：空间几何体1、空间几何体的结构常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥底面

15、的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。3、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积；S侧面性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。11、线面垂直:定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面

16、面垂直：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）2、公理2:过一条直线上的三点，有且只有一个平面。于同一条直线的两条直线平行.4、公第三章：直线与方程y2x2YiXi1、倾斜角与斜率：ktan2、直线方程：点斜式：yy0kxx0斜截式：ykxb两点式：*_！xx1x2x1截距式：-y1ab一般式：AxByC03、对于直线：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2有:kk2；b1b

17、21i和l2相交k1k2；，一、一一k1k211和l2重合；b1b211l2k1k21.圆台侧面积：S侧面rlRl体积公式：1oV柱体Sh；V锥体-Sh；3V台体1S上.S上SSh3球的表面积和体积：S球4R2,V球4R3.3第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。3、公理3/0口果两个家重合的平面有一个公共点，那么它们有超盘善:条过该点的公共直线。5、gU：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6、线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面面位置关

18、系：平行、相交。9、线面平行:判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。10、面面平行:判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）O4、对于直线：11 :A1x12 :A2xBiyCiB2yC20，有:0弦长公式:l2vr2d2(为x2)24x1x2l1l2AB2B1C2A2BB2cl'dO1O211和l2相交A1B2A2B1；ll和12重合AB2BiC2A2BiB2Ci外离dR

19、r;外切dRr;相交Rrd内切dRr;内含dRr.3、两圆位置关系:(4)lil2A1A2B1B23、空间中两点间距离公式:P1P22x2xi2y2yi2Z2Zi5、两点间距离公式:P1P222,x2xiy2yi6、点到直线距离公式:AxoBy。CA2B27、两平行线间的距离公式:li：AxByCi0与l2：AxByC20平行,CiC2则d11A2B2第四章：圆与方程1、圆的方程：标准方程:其中圆心为一般方程:(a,b),半径为r.DxEy0.其中圆心(D必修3数学知识点第一章：算法i、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、规范表示方法；3、

20、算法的三种基本结构：判断框、流程线等r1加E24F.22、直线与圆的位置关系直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2的位置关系有三种dr相离0dr相切0dr相交055顺序结构、条件结构、循环结构顺序结构示意图:当型循环结构直到型循环结构（图1）条件结构示意图：IF-THEN-ELSE格式：（图5）（图2）4、基本算法语句：输入语句的一般格式:输出语句的一般格式:赋值语句的一般格式:（“一有时也用“一”INPUT"提示内容”；变量PRINT"提示内容”；表达式变量=表达式条件语句的一般格式有两种：IF-THEN-ELSE语句的一般格式为:循环结构示意图:IF条件THEN语句1

21、ELSE语句ENDIF2（图2）IF-THENg句的一般格式为:IF条件THEN语句ENDIF（图3）直到型（UNTIL型）循环结构示意图:WHILE条件循环体（图4）WEND循环语句的一般格式是两种：当型循环（WHILE语句的一般格式:直到型循环（UNTIL）语句的一般格式:DO循环体LOOPUNTIL条件（图5）算法案例：舞转相除法一结果是以相除余数为0而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：i）:用较大的数m除以较小的数n得到一个商S0和一个余数R0；ii）：若Ro=0,则n为m,n的最大公约数；若RW0,则用除数n除以余数R0得到一个商6和一个余数R；话）：若Ri=0,则Ri为m,

22、n的最大公约数；若Rw标准差：s2nXbX几何概型概率计算公式:P(A)0,则用除数Ro除以余数R得到一个商&和一个余数R2；依次计算直至Rn=0,此时所得到的Rn1即为所求的最大公约数。更相减损术一结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下:i):任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。ii):以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数。进位制十进制数化为k进制数一除k取余法k进制数化为十进制数第二章：统计1、抽样方法：简单随机抽

23、样(总体个数较少)系统抽样(总体个数较多)分层抽样(总体中差异明显)注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会(概率)均为-。N2、总体分布的估计：一表二图：频率分布表一一数据详实频率分布直方图一一分布直观频率分布折线图一一便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：平均数：XX1X2X3包；n取值为X1,X2,Xn的频率分别为P1,P2,Pn,则其平均数为X1P1X2P2XnP

24、n；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差与标准差：一组样本数据X1,X2,Xn一1n-2方差：s2-(X,X);ni1n21-(XiX)ni1注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系;制作散点图，判断线性相关关系线性回归方程：ybXa(最小二乘法)nXynXyi1bn2Xii1ay注意：线性回归直线经过定点(x,y)o第三章：概率1、随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表不；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随机事件A的概率：P(A)m,0P(A)1.

25、n2、古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果;古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事彳A发生的概率P(A)-.n3、几何概型：几何概型的特点：所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生。d的测度.D的测度'其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件Ai,A2,An任意两个都是互斥事件，则称事彳A,A2,An彼此互斥。如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件

26、A,B发生的概率的和，即：P(AB)P(A)P(B)如果事件Ai,A2,An彼此互斥，则有：P(AiA2An)P(Ai)P(A2)P(An)对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。事件A的对立事件记作p（a）p（A）1,p（A）1对立事件-一定是互斥事件,件。P(A)互斥事件未必是对立事必修4数学知识点第一章：三角函数§ 1.1.1 任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念2、与角终边相同的角的集合：2k,kZ.§ 1.1.2 弧度制1弧度1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做的角.2、3、弧长公式:lnR180R.4、扇形面积公式:S店360-

27、lR.2§1.2.1、任意角的三角函数是一个任意角，它的终边与单位圆交于点2、x,y,那么：siny,cosx,tan设点Ax,y为角终边上任意一点，那么:（设sin3、sintan符号和三角函数在四个象5、特殊角0°,30°,45°,60°,90°,180°,270等的三角函数值.06432丁33-2-2sincostan§1.2.2、向角三角函数的基本关系式sinsin,coscostantan5、诱导公式五:sincos2cossin26、诱导公式六：sincos2cossin2§1.4.1、正弦、

28、余弦函数的图象和性质画法.正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT1、平方关系:sin2cos21.2、商数关系:tansin.cos3、倒数关系：tancot1§ 1.3 三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限"kZ）1、诱导公式一：sin2ksin,cos2kcos,（其中：kZ)tan2ktan.2、诱导公式二:sinsin,coscos,tantan.3、诱导公式二：sinsin,coscos,tantan.4、诱导公式四：1、记住正弦、余弦函数图象:y=sinxy-5/-4-7-3'；：-2131o22-12y=cosxC-5,、一1'

29、-3-/、-4-7二-2-3Jo2、熊够对照图象进出正弦，至弦函数的相来性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图ysinx在x0,2上的五个关键点为:3(0,0),(万,1),(,0),(，,-。,(2,0).§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象:yy=tanx3,oo322、记住余切函数的图象yy=cotx3223、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性周期函数定义：对于函数fx,如果存在一个非零常数T,使彳#当X取定义域内的每一个值时，都有fxTf-X,那么函数fx

30、就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质ysinxycosxytanx图象iy3JI/122nIVb77jy,nRi可1L-：/：J710定义域RRx|xk,kZ值域-1,1-1,1R最值x2k,kZ时，ymax12x2k,kZ时，ymin12x2k,kZ时，丫刀小1x2k,kZ时，ymin1无周期性T2T2T奇偶性奇偶奇单调性kZ在2k_2k_上单调递增2，2在2k_2k3上单调递减2,2在2k,2k上单调递增在2k,2k上单调递减在（k_k_）上单调递增2,2对称性kZ对称轴方程：xk2对称中心（k,0）对称轴方程：xk对称中心（k,0）2

31、无对称轴，一，、k对称中心（,0）2§1.5、函数yAsinx的图象1、对于函数：yAsinxBA0,0有：振幅A,周皿2i期T初相，相位x，频率fT-.2、能够讲出函数ysinx的图象与yAsinxB的图象之间的平移伸缩变换关系.先平移后伸缩：ysinx平移|个单位ysinx（左加右减）横坐标不变.yAsinx纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变*yAsinxi横坐标变为原来的|一|倍平移|B|个单位.yAsinxB（上加下减）先伸缩后平移：ysinx横坐标不变yAsinx纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变愀yAsinxi,、横坐标变为原来的|一|倍平移一个单位yAsinx（左加右减）平移|

32、B|个单位.yAsinxB(上加下减)3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数ysin(x),xCR及函数ycos(x),2xCR(A,为常数，且Aw0)的周期T；函M数ytan(x),xk,kZ(A,w,为2常数，且Aw0)的周期T._M对于yAsin(x)和yAcos(x)来说，对称中心与零点相联系，又称轴与最值点联系.求函数yAsin(x)图像的对称轴与对称中心，只需令xk(kZ)与xk(kZ)2解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：A-ymax-ymnBymaxymin2'2要根据周期来求，要用图像的关键点来求.§ 1.

33、6 三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15。的三角函数值:sincostan12“64工6友42甚§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sinsincoscossin2、sinsincoscossin3、coscoscossinsin4、coscoscossinsin5、tantan1tantantan.6、tantan1tantantan.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos,变形：上sincossin2.2.22、cos2cossin2cos2112si

34、n2.变形如下：1c21 cos22cos22 cos22sin3 1cos2。cos2)sin22(1cos2)2tan.1tan2sin21cos2cos2sin2升哥公式:降哥公式:3、tan24、tan一1§3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式yasinxbcosx.a2b2sin(x)(其中辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定，tan).第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向.§ 1.1.2 向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向

35、线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称uuu段)，记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量线段AB中点坐标为x1x2y1y2212)1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量§ 2.2.1 向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则2、abwab.§ 2.2.2 向量减法运算及其几何意义i、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减

36、法法则和平行四边形减法法则.§ 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作:a,它的长度和方向规定如下：a|a,当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反.2、平面向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯个实数，使ba.§2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a,*AJ有且只有一对实数1,2，使a1e2e2.1、 axiyjx,y.§ 1.3.3 平面向量的坐标运算1、设ax1,y1,bx2,y2，则

37、：abxx2,yV2,abxx2,yy?,ax1,y1,abx1y2x2yl.2、设Ax1,y1,Bx2,y2,则：ABx2xly1.§ 1.3.4 平面向量共线的坐标表示1、设人治，丫1用*2,丫26*3,丫3,则ABC的重心坐标为.3,3§ 1.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1、ab|a|b|cos.2、 a在b方向上的投影为：acos.-223、aa.4、口.a2.5、abab0.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设ax1，y1，bx2,y2,贝U：abx1x2y1y2H.x2yrrrrabab0xx2y1y20rrrra/bab

38、x1y2x2y10§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表不2、设Ax1，y1，Bx2,y2,则:3、AB,X2Xi2y22yi根据法向量定义建立方程组两向量的夹角公式rrabrrna0rrnb0cosX1X22yiYiY222、X2y24、点的平移公式平移前的点为P（X,y）（原坐标），平移后的对应点UULT为P（X,y）（新坐标），平移向量为PP（h,k）,hk.rf（x）的图像按向量a（h,k）平移后的解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.函数图像的解析式为ykf（xh）.§2.5.1、平面几何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空

39、间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量.直线的方向向量1ULUT若AB是直线l上的任意两点，则AB为直线l的uur一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.平面的法向量：r若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量rrr垂直于平面，记作n,如果n,那么向量n叫做平面的法向量.平面的法向量的求法（待定系数法）：建立适当的坐标系.r设平面的法向量为n（x,y,z）.求出平面内两个不共线向量的坐标rita（a。,%）,b（卜也也）2、用向量方法判定空间中的平行关系线线平行rr设直线Ii

40、,l2的方向向量分别是a、b,则要证明li/rrrrl2,只需证明a/b,即akb（kR）.即：两直线平行或重合G两直线的方向向量共线。线面平行r（法一）设直线l的方向向量是a,平面的法向rrr量是u,则要证明l/,只需证明au,即rrau0.即：直线与平面平行Q直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行rr若平面的法向量为u,平面的法向量为v,要rrrr证/,只需证u/v,即证uv.即：两平面平行或重合0'两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直rr设直

41、线li,l2的方向向量分别是a、b,则要证明rrrrliL只需证明ab,即ab0.即：两直线垂直G两直线的方向向量垂直。线面垂直r（法一）设直线l的方向向量是a,平面的法向r量是u，则要证明lrrrr,只需证明a/u,即au.r（法二）设直线l的方向向量是a,平面内的两rirurur个相交向量分别为m、n,若am0,rr，则lan0其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O,分别在两个半平面内作射线即：直线与平面垂直Q直线的方向向量与平面的法向量共线,=:直线的方向向量

42、与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。rr若平面的法向量为u,平面的法向量为v,要rrrv,即证uv0.分别为m、n,再设m、n的夹角为，二面角即：两平面垂直=两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，A,C与B,D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为，uurunrACBD贝Ucosunri.uuurac|bd求直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角.r求法：设直线l的方向向量为a,平面的法向量rrr为u,直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则为的余角或的补角的余角.即有：sincosa

43、uau.求二面角定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分,urrl的平面角为，则二面角为m、n的夹角或其补角根据具体图形确定是锐角或是钝角:如果如果是锐角，则cosurrmncosurrmn即arccosurmn是钝角，则cosIcosI即arccosirrmnmn5、利用法向量求空间距离点Q到直线色距离若q为直线外的一点，p在直线l上，a为直线l的ruur方向向量，b=PQ,则点Q到直线l距离为1rr2rr2hr（|a|b|）2（ab）2|a|点A到平面的距离若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，r平面的法向量为n,则P到平面的距离就等于unrrMP在法向量n方向上的投影的绝对值.uuir

44、MPuuurMPruuurnMP直线a与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。ruuurnMP即dr.nPO,O推理模式：PAIAaPAa,aOA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直PO,0推理模式：PAIAaAOa,aAP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影，且BDLAD,垂足为D.设AB与(AD)所成的角为i,AD与A

45、C所成的角为2,AB与AC所成的角为.则coscos1cos2.两平行平面,之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。ruuurnMP即dr.n异面直线间的距离r设向量n与两异面直线a,b都垂直，Ma,Pb,uuurr则两异面直线a,b间的距离d就是MP在向量n方向上投影的绝对值。ruuurnMP即dr.n8、面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为SS原，它在平面内的射影图形的面积为SS1,平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则cos9、一个结论长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为k、以l3,夹角分别为1、2、3,则有,2.2.2

46、.2222.ll1l2l3cos1cos2cos31.2.2.2-sin1sin2sin32.(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).直，那这条斜a6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂么它也和线垂直-2、余弦定理:a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB,22.2cab2abcosC.cosAcosBcosC,222bca2bc222acb2ac222abc2ab用途：已知三角形两边及其夹角，求其它元素;已知三角形三边，求其它元素。做题中两个定理经常结合使用3、三角形面积公式：11,.ABCabsinCbcsinA22ac

47、sinB24、三角形内角和定理：在ABC中，有ABCC(AB)C_AB2225、一个常用结论：在ABC中，ab2C22(AB).sinAsinBAB;一.特别注意,2B不成立。若sin2Asin2B,则AB或AB在三角函数中，sinAsinBA必修5数学知识点第一章：解三角形1、正弦定理：b2R.sinAsinBsinC(其中R为ABC外接圆的半径)a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;sinA-.sinB-,sinC;2R2R2Ra:b:csinA:sinB:sinC.用途：已知三角形两角和任一边，求其它元素；已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。第二章：数列1、数列中an三Sn之间的关系：an§,(n1)注意通项能否合并。SSm.(n2).2、等差数列：定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an-an1=d,(n>2,nCN),那么这个数列就叫做等差数列。等差中项：若三数a、A、b成等差数列abA-2通项公式：ana1(n1)dam(nm)d或anpnq（p、q是常数）前n项和公式:na1an2常用性质:若mnpqm,n,p,qN,则amanapaq；下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,仍组成等差数列；数列anb（笛为常数）仍为等差数列；若an、bn是等差数列，贝Ukan、kanpbn.一一一_*（