数学建模五步法案例上课讲义

1、数学建模五步法案例数学建模五步法小论文问题再现：一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元，估计每100美元的折扣可以使销售额提高15%。(1)多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。假设实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%,对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%15%之间的某个值，结果以如何。什么情况下折扣会导致利润的降低？问题一：一、问题的提出1 .具体问题(1)多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。(2)对你所得的结果，求关于所做的15%&

2、#167;设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。(3)假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%15%J句的某个值,结果以如(4)什么情况下折扣会导致利润的降低。2 .符号的说明(1)每辆汽车的成本C;(2)折扣前的销量n;(3)折扣后的销量n'(4)折扣前每辆车的价格P;(5)折扣后每辆车的价格P'(6)折扣前的销售额R;(7)折扣后的销售额R'(8)折扣前的利润L;(9)折扣后的利润L'由题意：折扣前的利润Ln(PC)1500,设折扣为x时，可使利润最高。此时假设活动一次性完成，即厂家一次性

3、降低100x美元，销售额提高15%x可使利润最高。二、选择建模方法则由题中已知条件可得方程组P'P100XPC1500n'n(10.15x)L'n'(P'C)三、推导模型公式由各关系式可推出折扣后的利润函数为：L'n(10.15x)(P100xC)n(10.15x)(1500100x)四、求解模型已知厂商折扣后的利润函数为：L'n(10.15x)(P100xC)n(10.15x)(1500100x)为使厂商利润最大，令dL'33n(1500100x)100n(1-x)0dx2020解得：6五、回答问题一般情况下，无论n值取多少，厂

4、商为了使得利益最大，都会选择降价420美元左问题二：灵敏性分析题中估计每折扣100美元销售量提高15%现在假设其实际值是不同的，对几个不同的值13%14%16%17%重复问题一中的求解过程，以此来分析销售量提高率的敏感程度。同理，还是对厂商利润函数L求导，使之等于0解得不同提高率下的降价金额如表1所示：表1不同提高率下的降价金额销售量提降价金额(美高率元)13%365.414%392.915%42016%437.517%455.9利用表2中数据在matlab中画图，输入命令：x=0.130.140.150.160.17;y=365.4392.9420437.5455.9;plot(x,y,&#

5、39;*')得图2:4604504404304204104003903803703600.130,1350.140,1450.150,1550.160,1650.170.175图2由图可以看到厂商需降价的金额对销量的提高率是很敏感的。问题三：若实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%同样我们可以通过对利润函数求导，并令导数等于0,求得相应的x值是2.5,即厂商欲获利最大，需将价格下降250美元；假设销量提高率在10唯415%：间的某一个数，我们设为r,则r(0.10,0.15),通过对利润函数求导使之等于0得到：15r11x2；O,75,r(0.10,0.15)当r(0.10,0.15)时，每个r都对应着一个应降价的金额，利用matlab做其函数关系如图3输入命令：x=0,100.110.120.130.140.15;y=7.5-1./(2*x)plot(x,y,'*')得图3:4