数字控制系统第三章

1、n A/D,D/AA/D,D/A的数学描述及特性的数学描述及特性n 采样控制系统特性采样控制系统特性n 采样系统的离散模型采样系统的离散模型n 采样系统方框图分析采样系统方框图分析第第3 3章章 数字控制系统的数学数字控制系统的数学描述（描述（4 4学时）学时）参考书参考书：1. 计算机控制系统理论、设计与实现（第计算机控制系统理论、设计与实现（第2,，3章）章）2.2.动态系统的数字控制（第动态系统的数字控制（第5 5章）章）3 3. Digital Control in Power Electronics3.1.1 A/D3.1.1 A/D变换过程变换过程3.1 A/D3.1 A/D的数学

2、描述的数学描述量化量化：将采样时刻的信号幅值按最小：将采样时刻的信号幅值按最小量化单位取整量化单位取整量化单位：量化单位：max2nVq VmaxVmax：模拟量的最大幅值；：模拟量的最大幅值；n n：二进制位数；：二进制位数；量化：量化：fq(kT)=Lqfq(kT)=LqL L 整数，舍入或取整；整数，舍入或取整；fq(kT)=Lq fq(kT)=Lq f(kT) f(kT) 量化误差量化误差 n n q q 量化误差量化误差 采样：影响系统的传递特性，是本质问题；采样：影响系统的传递特性，是本质问题；量化：使信号幅值产生误差，初步分析时不考虑；量化：使信号幅值产生误差，初步分析时不考虑；

3、编码：信号形式的变化，无误差的等效变换；编码：信号形式的变化，无误差的等效变换；忽略量化效应，忽略量化效应，A/DA/D变换器等效为采样开关变换器等效为采样开关*0 ( )( )( )()()TkftfttfkTtkT1、时域数学描述时域数学描述3.1.2 3.1.2 理想采样的数学描述理想采样的数学描述 ( (时域、频域、时域、频域、S S域模型）域模型）输出为一串强度为输出为一串强度为f(kT)f(kT)的脉冲信号的脉冲信号采样信号的基本频谱，正采样信号的基本频谱，正比于原连续信号的频谱。比于原连续信号的频谱。派生出高频频谱分量，以派生出高频频谱分量，以 s s为周期为周期 旁旁带。带。当

4、当s2c时，高频频谱和时，高频频谱和基本频谱不会重叠。基本频谱不会重叠。 当当s 系统带宽系统带宽TjEjE1)()(*222sin)(TjTTheTjG2TjTeZOH： s s系统带宽系统带宽1 1、模型：、模型：3.3.1 3.3.1 信号的采样与保持信号的采样与保持E(t)ZOHE*(t)Eh(t)2 2、时域特性：、时域特性：fh(t)=f(t-T/2)+高频噪声ff*fh3 3、频域特性、频域特性: :高频噪声；相位滞后高频噪声；相位滞后; ; 后置滤波器（后置滤波器（D/AD/A之后）之后）滤掉输出的高频噪声滤掉输出的高频噪声例例1 1：一阶滤波器，正弦输入频率为一阶滤波器，正弦

5、输入频率为4.9Hz4.9Hz为为周期信号，采样频率为周期信号，采样频率为10Hz10Hz。 输入频率与假频频率相互作用得到差拍信号。输入频率与假频频率相互作用得到差拍信号。采样产生假频采样产生假频 fsamp=(nfsfsamp=(nfs f) f) 最低假频为最低假频为5.1Hz5.1Hz 输入信号与假频信号失真通过零阶保持器输入信号与假频信号失真通过零阶保持器例例2 2：sintZOH11sT=0.05s奈奎斯特频率奈奎斯特频率 N=62.8rad/s 分别为分别为5 5rad/srad/s，6060rad/s，130130rad/s ，62.8rad/sn当输入频率远小于当输入频率远小

6、于奈奎奈奎斯特频率时，输出主要来斯特频率时，输出主要来自基频成分；自基频成分；n当当输入频率接近输入频率接近奈奎斯奈奎斯特频率时，输出得到差拍特频率时，输出得到差拍信号；信号；n当当输入频率大于输入频率大于奈奎斯奈奎斯特频率时，输出主要来自特频率时，输出主要来自在（在（0 0， N N ）频率范围上）频率范围上的假频信号；的假频信号；n当输入频率等于当输入频率等于奈奎斯奈奎斯特频率时，输出取决于采特频率时，输出取决于采样时刻与输入的如何同步；样时刻与输入的如何同步；例例3 3：船用锅炉给水加热系统的流程如图船用锅炉给水加热系统的流程如图7.97.9所示。所示。用阀门控制给水流量。由于磨损，阀门

7、定位装置存用阀门控制给水流量。由于磨损，阀门定位装置存在着间隙，这种间隙引起水温和压力振荡。温度的在着间隙，这种间隙引起水温和压力振荡。温度的采样记录和压力的连续记录如图采样记录和压力的连续记录如图7.107.10。解释现象。解释现象压力振荡角频率：压力振荡角频率： 0 0 =2.978rad/m =2.978rad/m温度采样角频率：温度采样角频率： s s =3.142rad/m =3.142rad/m最低假频频率：最低假频频率： s s- - 0 0 =0.1638rad/m =0.1638rad/m3.3.2 3.3.2 采样定理采样定理若连续信号为有限带宽c ,则采样角频率为:s 2

8、 cn 如何选择采样周期避免假频现象？如何选择采样周期避免假频现象？n 信号中混杂有高频干扰信号时，如何选择信号中混杂有高频干扰信号时，如何选择 s s？n 有用信号不是有限带宽，如何选择有用信号不是有限带宽，如何选择 s s？采样函数频谱连续函数频谱前置滤波器（前置滤波器（A/DA/D之前）之前） 滤波器转折频率的选取要综合有用信号、噪声、滤波器转折频率的选取要综合有用信号、噪声、采样周期等因素。采样周期等因素。叠加有0.9Hz正弦扰动的方波信号1Hz采样频率采样生成0.1Hz的假频加前置滤波器对滤波后的信号采样PWM变换器的采样问题：变换器的采样问题：同步采样：采样与同步采样：采样与PWM

9、PWM调制严格同步，采样时刻在调制严格同步，采样时刻在开关导通或关断阶段的中点。开关导通或关断阶段的中点。开关频率的噪声如何处理？开关频率的噪声如何处理？y(t)G(s)D(z)r(t)e(t)u(t)ZOHe(k)u(k)前置滤波器后置滤波器e(t)ee(k)u(t)e(k)u(t)采样系统结构采样系统结构3.4 3.4 采样系统的离散模型采样系统的离散模型（脉冲传递函数）（脉冲传递函数）数字控制系统简化为采样系统后的方框图如下：数字控制系统简化为采样系统后的方框图如下：G0(s)D*(s)R(s)E(s)u(s)c(s)ZOHE*(s)u*(s)G*(s)ABR*(s)C*(s)G*(s)

10、D*(s)R*(s)E*(s)u*(s)C*(s)等效离散系统：等效离散系统：求求G*(s)或G(z)，称之为连续模型的离散称之为连续模型的离散01*( )( )*sTeGsG ss01( )( )sTeG zZG ss00( )( )sTG sG sZZ ess10( )(1) G szZs3.3.1 3.3.1 输入输入- -输出模型的离散输出模型的离散01( )( )sTeG zZG ss0( )( )hG z G z001( )( )sTheZG sG G zs注意：可用可用MATLAB语句语句：c2d01( )1(1)G sTss s例例4 4：1102( )1( )(1) (1)

11、(1)G sG zzZzZsssMATLAB 程序S7num=1;den=1,1,0;sysc=tf(num,den);t=1;sysd=c2d(sysc,t);Transfer function: 0.3679 z + 0.2642-z2 - 1.368 z + 0.367912111(1) 1zZsss20.3680.2641.3680.368zzzXAXBuyCXDuZOH)(ku)(tu)(kY)(tY(1)( )( )( )( )( )X kFX kGU kY kCX kDU k)(kY1 1、输入与状态之间没有延时、输入与状态之间没有延时( )( )( )( )( )( )X tA

12、X tBu ty tCX tDu tU(t) m 维Y(t) P 维3.3.2 3.3.2 状态空间模型的离散状态空间模型的离散由由A，B，C，D求求F，G，C，D状态方程的解状态方程的解: :00()()0( )()( )tA ttA ttX teX teBud0(1)tkTtkT设(1)(1)(1)( )( )kTATAkTkTX keX keBud( )( )(1)uU kkTkT0(1)( )( )TATAtX keX keBdtU k(1)(1)0( )( )ATAtt TkTTA kTAtkTF TeeG TeBde Bdt(1)( )( )( )( )( )( )( )X kF

13、T X kG T U kY kCX kDU kMatlab语句：sysc=ss(A,B,C,D);sysd=c2d(sysc,t);( )( )()( )( )( )X tAX tBu ty tCX tDu t延时时间T()(1) ()()()()(1)uu kTkTkTuu kTkTkT(1)( )(1)( )abX kFX kG U kG U k(1)(1)(1)( )()kTATAkTkTX keX keBud不是标准的状态不是标准的状态空间表达式空间表达式2 2、输入与状态之间有延时、输入与状态之间有延时()00A TAtaTAtbGeeBdtGeBdt其中：其中：11(1)( )(

14、)(1)( )001abnnX kX kFGGU kXkXk(1)( )(1)( )abX kFX kG U kG U k1( )( )0( )( )nX kY kCDU kXk1(1)( )nXkU km维，维，表示表示控制信号的先前值控制信号的先前值1( )(1)nXkU k引入新的状态变量引入新的状态变量: :010( )( )()0001X tX tu tT 例2：求包含零阶保持器在内的离散化数学模型。()0()2A TAtaTGee Bdt解：解：101Atte1( )01ATTF Te11(1)( )( )(1)( )001abnnX kX kFGGu kXkXk201()2TAt

15、bTGe BdtTT112223( )()(1)(1)( )( )(1)(1)( )( )(1)(1)( )nnnnnnn dn dmdXkU kdXkU kdXkXkU kdXkXkXkU kXkU k引入新的状态变量(1),0,dTT d设为整数(1)( )(1)( )abTX kFX kG U kG U k延时在一个 内时（d=1)(1)( )()(1)abX kFX kG U kdG U kd同理：( )( )()( )( )( )X tAX tBU ty tCX tDU t1111(1)( )000(1)( )00000( )(1)( )000(1)( )001abnnn dn dn

16、 dn dX kX kFGGXkXkIU kXkXkIXkXk ()000.3020.33TA TAtAtabGee BdtGe Bdt( )( )(2.6)1x tx tu tTs 例3：求包含零阶保持器在内的离散化数学模型。解：=2.6=(3-1)+0.6 d=3 =0.6 Attee0.368TFe(1)( )()(1)abX kFX kG u kdG u kd(1)0.368 ( )0.302 (3)0.33 (2)x kx ku ku k11223344(1)( )0.3680.3020.3300(1)( )00100( )(1)( )00010(1)( )00001x kx kxk

17、xku kx kx kxkxk 311( )(0.3020.33)( )( )(1 0.368)X zzzG zU zz脉冲传递函数例例5 5：半桥逆变器的电流闭环数字控制系统半桥逆变器的电流闭环数字控制系统1 1、半桥电压源逆变器主电路：、半桥电压源逆变器主电路：0( )11( )21oDCsssIsG sVLdRsR( )PKm tdc2 2、电流闭环控制原理：、电流闭环控制原理：电流闭环控制框图：电流闭环控制框图：3 3、数字、数字PWMPWM（DPWMDPWM）分析：）分析：占空比分辨率占空比分辨率: :scpufDf12N等效二进制位数：等效二进制位数：2log ()cpusfNfD

18、PWMDPWM模型：模型：4 4、电流环采样系统控制框图：、电流环采样系统控制框图：连续模型的离散连续模型的离散: :( )TGz1( )( )ddsTsTTeGzZ eG ss3.5.1 3.5.1 基本采样环节的结构基本采样环节的结构1 1、 采样输入采样输入)(sG)(sR)(sc)(*sc( )C z)(*sR)(zR( )( ) ( ),( ) ( )( ) ( )C zG z R zG zZ G sR zZ R s3.5 3.5 采样系统的方框图分析采样系统的方框图分析（复杂采样系统脉冲传递函数）（复杂采样系统脉冲传递函数）2 2、连续输入、连续输入)(sG)(sR)(sc)(*s

19、c( )C z( )( ) ( ) ( )C zGR zZ G s R s 输入信号未被采样，不能写出系统的脉冲传输入信号未被采样，不能写出系统的脉冲传递函数，只能写出输出的递函数，只能写出输出的z变换。变换。3 3、连续环节之间有采样开关、连续环节之间有采样开关)(1sG)(sR)(1sc)(1zc)(zR)(2sG)(sc)(zc4 4、连续环节之间没有采样开关、连续环节之间没有采样开关1( )G s)(sR)(1sc)(zR)(2sG)(sc)(zc12( )( )( )G zG z G z12( )( )G zGG z 2 2个相邻采样开关之间的环节称为独立环节。个相邻采样开关之间的环节称为独立环节。只有独立环节才能求只有独立环节才能求z z变换。变换。例例6 6：求求Y*以及脉冲传递函数。以及脉冲传递函数。REY HUU* G3.5.2 3.5.2 采样系统的脉冲传递函数采样系统的脉冲传递函数( ) ( )( )1( )RH z G zY zGH z*YU G*YU G*()UEH*()RHYH*()RHU GH*()()RHUGH*()1 ()RHUGH12( ) ( )( )1( )( )H z R zY zHG z Gz例例7 7：求求Y*以及传递函数。以及传递函数。RE