第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波

1、8.1 8.1 位移电流位移电流由库仑定律和场的叠加原理可得出关于静电场的两条由库仑定律和场的叠加原理可得出关于静电场的两条重要定理：重要定理：（1 1）电场的高斯定理）电场的高斯定理0( )SD dSq（2 2）静电场的环路定理）静电场的环路定理( )0LE dl由毕奥由毕奥萨伐尔定律可得出稳恒磁场的两条重要定理：萨伐尔定律可得出稳恒磁场的两条重要定理：（3 3）磁场的高斯定理）磁场的高斯定理0( )LH dlI( )0SB dS（4 4）安培环路定理）安培环路定理（5 5）法拉第电磁感应定律）法拉第电磁感应定律ddt 麦克斯韦在前人工作的基础上，全面系统地考察了麦克斯韦在前人工作的基础上，

2、全面系统地考察了这些规律，并试图把这些规律推广到非稳恒的情况。正这些规律，并试图把这些规律推广到非稳恒的情况。正如第五章所提到的那样，麦克斯韦首先把电场的环路定如第五章所提到的那样，麦克斯韦首先把电场的环路定理加以推广。他认为感生电动势现象实际上预示着变化理加以推广。他认为感生电动势现象实际上预示着变化的磁场周围产生涡旋电场，因此电场的环路定理在普遍的磁场周围产生涡旋电场，因此电场的环路定理在普遍情况下应是：情况下应是：()()LSBE dldSt 静电场的环路定理不过是其特例而已。静电场的环路定理不过是其特例而已。 对于电场的高斯定理和磁场的高斯定理，当推广到普对于电场的高斯定理和磁场的高斯

3、定理，当推广到普遍情况时，则没有发现不合理之处，麦克斯韦假定它们对于遍情况时，则没有发现不合理之处，麦克斯韦假定它们对于变化的电场仍然适用。但是，将安培环路定理推广到一般情变化的电场仍然适用。但是，将安培环路定理推广到一般情况时，麦克斯韦遇到了困难。典型的例子是电容器充放电的况时，麦克斯韦遇到了困难。典型的例子是电容器充放电的情况。我们取一环路情况。我们取一环路L，而，而 和和 都是以都是以L为周界的曲为周界的曲面。对于曲面面。对于曲面 它与导线相交，因此它与导线相交，因此2S1S1S100()SjdSI但是对于曲面但是对于曲面 ，它穿过电，它穿过电容器两极板之间，故有容器两极板之间，故有2S

4、20()0SjdS这就是说，对同一个闭合回路这就是说，对同一个闭合回路L， 的值不定，的值不定，这表示非稳恒情况下，我们在前面写出来的安培环路这表示非稳恒情况下，我们在前面写出来的安培环路定理不再适用。定理不再适用。如果再与稳恒情况相比，我们很容易看出，通过以如果再与稳恒情况相比，我们很容易看出，通过以L为周界的任一曲面上的电流强度是相等的，因为根据为周界的任一曲面上的电流强度是相等的，因为根据电流的稳恒条件，对于由电流的稳恒条件，对于由 构成的闭合曲面构成的闭合曲面H dl12,S S210( )00()()0SSSjdSjdSjdS 综合以上分析可以看出稳恒情况下安培环路定理综合以上分析可

5、以看出稳恒情况下安培环路定理成立是因为此时电流是连续的；而在电容的例子中安成立是因为此时电流是连续的；而在电容的例子中安培环路定理之所以引出矛盾的结果，其根源在于传导培环路定理之所以引出矛盾的结果，其根源在于传导电流在电容器极板间的中断，即在非稳恒的情况下传电流在电容器极板间的中断，即在非稳恒的情况下传导电流具有不连续性。导电流具有不连续性。 对于非稳恒情况，电流的稳恒条件虽不成立，但对于非稳恒情况，电流的稳恒条件虽不成立，但是根据电荷守恒定律：是根据电荷守恒定律：00( )SdqjdSdt 而而0( )SqD dS0( )( )SSDjdSdSt 0( )0SDjdSt因此可得出因此可得出因

6、为是对同一闭合曲面求积分，移项后得因为是对同一闭合曲面求积分，移项后得由上式可知，在非稳恒情况下传导电流不连续。但是由上式可知，在非稳恒情况下传导电流不连续。但是 这个量永远是连续的，只要边界这个量永远是连续的，只要边界L相同，相同，它在不同曲面它在不同曲面 上的面积分相等。上的面积分相等。0Djt12,S S令令( )DSD dS( )DSdDdSdttDddt代表通过某一曲面的电位移通量代表通过某一曲面的电位移通量则有则有麦克斯韦把麦克斯韦把 这个量叫做这个量叫做位移电流位移电流(displacement current)， 是是位移电流密度位移电流密度。Dt传导电流传导电流 与位移电流合

7、在一起与位移电流合在一起称为称为全电流全电流。全电流在任何情况下都是连续的。全电流在任何情况下都是连续的。00IjdS麦克斯韦还假定在产生磁效应上，位移电流麦克斯韦还假定在产生磁效应上，位移电流 与传导电流与传导电流 等效。在非稳恒情况下，磁场环路等效。在非稳恒情况下，磁场环路定理右面定理右面 应由应由 代替，即：代替，即：Dddt0I0I0DdIdt0( )DLdH dlIdt或者写成或者写成0( )( )LSDH dljdSt这里这里S是以是以L为周界的任意界面。为周界的任意界面。以上便是麦克斯韦以上便是麦克斯韦的位移电流假说。的位移电流假说。(1)在电介质中在电介质中 位移电流为位移电流

8、为0DEP0DdDEPdSdSdSdttttpql在上式中，第二项是极化强度矢量的时间变化率。在上式中，第二项是极化强度矢量的时间变化率。如果单位体积的介质中有如果单位体积的介质中有n个偶极子，每一个偶极子个偶极子，每一个偶极子为为 ，那么当场强变化时，偶极子间的距离，那么当场强变化时，偶极子间的距离也将随之改变，所以也将随之改变，所以Plnqnqvtt式中式中v是束缚电荷规则运动引起的，由此可知是束缚电荷规则运动引起的，由此可知 正是极化电流密度。正是极化电流密度。Pt(2)(2)式右端第一项是与电场的时间变化率式右端第一项是与电场的时间变化率 相联系相联系的，在真空中的，在真空中 ，在位移

9、电流中就只剩，在位移电流中就只剩这一项了。因此，这一项是位移电流的基本组成部分，这一项了。因此，这一项是位移电流的基本组成部分，但是，它与但是，它与“电荷的流动电荷的流动”无关，它仅仅是变化着的无关，它仅仅是变化着的电场，即电场，即位移电流是由变化的电场产生的位移电流是由变化的电场产生的。Et0,0PPt如果把如果把(1)式应用于没有传导电流的情形中，则得式应用于没有传导电流的情形中，则得( )( )LSDH dldSt它表示不仅传导电流可能激发磁场，变化的电场也能它表示不仅传导电流可能激发磁场，变化的电场也能激发涡旋磁场。激发涡旋磁场。8.2 8.2 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 麦克斯韦在

10、引入涡旋电场和位移电流两个重要概念麦克斯韦在引入涡旋电场和位移电流两个重要概念之后得到了在普遍情况下电磁场必须满足的方程组之后得到了在普遍情况下电磁场必须满足的方程组 一般情况下，式中一般情况下，式中有关各量是空间坐标和有关各量是空间坐标和时间的函数时间的函数 这便是麦克斯韦方程组这便是麦克斯韦方程组(Maxwell equations)的积分形式，的积分形式，在实际应用中，更重要的是麦克斯韦方程组的微分形式。在实际应用中，更重要的是麦克斯韦方程组的微分形式。0( )( )( )( )0( )( )0SLSSLSD dSqBE dldStB dSDH dlIdSt 首先推导高斯定理的微分形式。

11、假定自由电荷是体分首先推导高斯定理的微分形式。假定自由电荷是体分布的，电荷的体密度为布的，电荷的体密度为 ，则高斯定理可写成，则高斯定理可写成0e0( )()eSVD dSdV0()()eVVDdVdV式中式中V是高斯面是高斯面S所包围的体积所包围的体积 利用矢量分析中的高斯定理可把上式中左端的面积利用矢量分析中的高斯定理可把上式中左端的面积分化为体积分：分化为体积分：上式对任何体积都成立，被积函数本身应处处相等，故有上式对任何体积都成立，被积函数本身应处处相等，故有0eD这就是高斯定理的微分形式。同样可得磁场中的高斯定理这就是高斯定理的微分形式。同样可得磁场中的高斯定理的微分形式的微分形式0

12、B 对于安培环路定理，我们也假定电流是体分布的，对于安培环路定理，我们也假定电流是体分布的，其密度为其密度为 则有：则有：0( )( )()LSDH dljdSt0( )( )()SSDH dSjdSt0DHjt利用斯托克斯定理利用斯托克斯定理(Stokes theorem)，把上式左端的，把上式左端的线积分化为面积分：线积分化为面积分：因为上式中积分范围可以任意，被积函数必须相等，因为上式中积分范围可以任意，被积函数必须相等，故得故得0j对于麦克斯韦方程组积分形式的第二个方程，也可以对于麦克斯韦方程组积分形式的第二个方程，也可以进行类似以上的处理，最后我们得到如下四式：进行类似以上的处理，最

13、后我们得到如下四式：000eDBEtBDHjt 以上是麦克斯韦方程组的微分形式。通常所说的麦克斯以上是麦克斯韦方程组的微分形式。通常所说的麦克斯韦方程组，大都是指它的微分形式。韦方程组，大都是指它的微分形式。 散度散度(divergence)旋度旋度(curl)() 将麦克斯韦方程组再加上将麦克斯韦方程组再加上三个物质性质的方程三个物质性质的方程就就构成了一组完整的说明电磁场性质的方程组，对于各构成了一组完整的说明电磁场性质的方程组，对于各向同性介质来说这三个方程：向同性介质来说这三个方程：000rrDEBHjE ()()和和()式是宏观电动力学的基本方程组，应用以上式是宏观电动力学的基本方程

14、组，应用以上方程，加上方程，加上 场量应满足的边界条件以及它们的起始条场量应满足的边界条件以及它们的起始条件，就可以定量地得出有关电磁场问题的解。件，就可以定量地得出有关电磁场问题的解。8.3 8.3 电磁波电磁波 由麦克斯韦方程组可以看出，变化的磁场激发涡旋由麦克斯韦方程组可以看出，变化的磁场激发涡旋电场，变化的电场（位移电流）激发涡旋磁场。因此空间电场，变化的电场（位移电流）激发涡旋磁场。因此空间某一区域存在一变化电场，它将在周围空间产生变化磁场，某一区域存在一变化电场，它将在周围空间产生变化磁场，这变化磁场又在较远处产生一变化电场，这样变化的电场这变化磁场又在较远处产生一变化电场，这样变

15、化的电场和磁场相互激发，闭合的电力线与磁力线就像链条那样一和磁场相互激发，闭合的电力线与磁力线就像链条那样一环套一环，由近及远向外传播，从而形成电磁波。环套一环，由近及远向外传播，从而形成电磁波。需要媒需要媒介电磁介电磁波不波不 1. 1.电磁波电磁波2.2.电磁波的产生电磁波的产生（1）偶极振子）偶极振子 要产生一个电磁波必须有一个电磁振荡源。在第要产生一个电磁波必须有一个电磁振荡源。在第五章中我们讨论过的五章中我们讨论过的LCR电路中的电容器充电后，电路中的电容器充电后，电荷满足微分方程：电荷满足微分方程：220d qdqqLRdtdtC00cos()tqq et2RL在电阻在电阻R较小时

16、，它的解具有阻尼振荡的形式：较小时，它的解具有阻尼振荡的形式：这里这里01LC00122fLC 当把当把LCR电路接在电子管或者晶体管上组成振荡器电路接在电子管或者晶体管上组成振荡器之后，由直流电源不断补充能量，就可以产生持续的电之后，由直流电源不断补充能量，就可以产生持续的电磁振荡。对于这种电路，由于电场和电能都集中在电容磁振荡。对于这种电路，由于电场和电能都集中在电容元件中，磁场和磁能都集中在自感线圈中，而且振荡的元件中，磁场和磁能都集中在自感线圈中，而且振荡的频率不够高，难于有效地把能量发射出去。频率不够高，难于有效地把能量发射出去。 产生电磁波的条件：产生电磁波的条件： （1）电磁场尽

17、量分布于整个空间）电磁场尽量分布于整个空间 （2） 大大0f 按图中按图中a、b、c、d顺序改造顺序改造LC振荡电路，使电容器振荡电路，使电容器的极板面积越来越小，间隔越来越大，同时使自感线圈的的极板面积越来越小，间隔越来越大，同时使自感线圈的匝数越来越少，固有振荡频率越来越大；另外，电路也越匝数越来越少，固有振荡频率越来越大；另外，电路也越来越开放，使电场和磁场分布于空间中去。最后振荡电路来越开放，使电场和磁场分布于空间中去。最后振荡电路逐步演化为一根直导线（逐步演化为一根直导线（d），电流在其中往复振荡，两），电流在其中往复振荡，两端出现正负交替的等量异号电荷。这样的电路叫做振荡偶端出现正

18、负交替的等量异号电荷。这样的电路叫做振荡偶极子（偶极振子极子（偶极振子(dipole oscillator)），可以有效地向外发），可以有效地向外发射电磁波。广播电台或者电视台的天线都可以看做这类偶射电磁波。广播电台或者电视台的天线都可以看做这类偶极振子。极振子。bacd(2)赫兹实验赫兹实验(Hertz experiment) 图图a是赫兹的实验装置，当充电到一定程度后，间隙间是赫兹的实验装置，当充电到一定程度后，间隙间产生火花放电产生火花放电(spark discharge)，振子间就有来回的振荡电，振子间就有来回的振荡电流通过，经过多次振荡后振幅逐渐减小。这种振子的振荡流通过，经过多次振

19、荡后振幅逐渐减小。这种振子的振荡频率很高，当火花接通的瞬间，振荡已经进行了几百万次，频率很高，当火花接通的瞬间，振荡已经进行了几百万次，振动已衰减得非常之小了。感应圈以振动已衰减得非常之小了。感应圈以10100Hz的频率的频率对振子充电，从而造就一种间歇性的阻尼振荡（图对振子充电，从而造就一种间歇性的阻尼振荡（图b）。）。ab 振子发射出来的电磁波可以用谐振器接受，如图振子发射出来的电磁波可以用谐振器接受，如图a中中的圆形铜环就是赫兹用过的一种谐振器，间隙间的距离的圆形铜环就是赫兹用过的一种谐振器，间隙间的距离可利用螺旋做微小调节。将谐振器放在距振子一定的距可利用螺旋做微小调节。将谐振器放在距

20、振子一定的距离之外，适当地选择其方位，赫兹观察到发射振子的间离之外，适当地选择其方位，赫兹观察到发射振子的间隙有火花跳过的同时，谐振器的间隙也有火花跳过。赫隙有火花跳过的同时，谐振器的间隙也有火花跳过。赫兹的实验证明了电磁波确能在空间中传播。兹的实验证明了电磁波确能在空间中传播。 赫兹利用这种实验装置还观察到了电磁波与金属面赫兹利用这种实验装置还观察到了电磁波与金属面反射回来的电磁波叠加而产生的驻波现象，并测定了波反射回来的电磁波叠加而产生的驻波现象，并测定了波长，证明了这种电磁波与光波一样具有偏振特性，能产长，证明了这种电磁波与光波一样具有偏振特性，能产生折射、反射、干涉、衍射等现象。赫兹不

21、但令人信服生折射、反射、干涉、衍射等现象。赫兹不但令人信服地证明了电磁波的存在，而且初步证实了光波本质上也地证明了电磁波的存在，而且初步证实了光波本质上也是电磁波。是电磁波。8.4 8.4 偶极振子发射的电磁波偶极振子发射的电磁波下图是一偶极振子，假定振子中的电流作正弦变化并设：下图是一偶极振子，假定振子中的电流作正弦变化并设：00( )sin(90 )i tIt00( )( )sinsinIq ti t dttKqtK0(sin)pq lqtl 则在两端积累的电荷则在两端积累的电荷q为为式中式中K为积分常数。在非稳恒情况下可以不考虑与时间为积分常数。在非稳恒情况下可以不考虑与时间无关的常量，

22、因此可以令无关的常量，因此可以令K=0=0。这样电偶极矩为。这样电偶极矩为ll( )i t( )q t( )q tr0r00qq如果坐标系如图所示，可以分两如果坐标系如图所示，可以分两个区域给出电场和磁场的表达式个区域给出电场和磁场的表达式 （1）离振子中心点的距离）离振子中心点的距离r远远小于波长远远小于波长 的区域称为似稳的区域称为似稳区或近区，这里场量的各分量可区或近区，这里场量的各分量可表示为：表示为：20( , )sin4rHHi lHr tr30302( , )cos4( , )sin4( , )0rq lE r trq lE r trEr tab由式子由式子a可以看出，可以看出，

23、 的表达式与毕奥的表达式与毕奥-萨伐尔定律萨伐尔定律给出的电流元产生的磁场强度相同；而式子给出的电流元产生的磁场强度相同；而式子b给出了给出了场强与电偶极矩为场强与电偶极矩为 的电偶极子产生的场强相同。的电偶极子产生的场强相同。q lHr （2） 的区域通常称为辐射区或者远区。的区域通常称为辐射区或者远区。这一区域内场强的各分量可表示为：这一区域内场强的各分量可表示为：00( , )sinsin()4rHHIlrHr ttrv 2000( , )sinsin()40rEIlrE r ttrvE 12上式中上式中v是电磁波传播的速度，是电磁波传播的速度， 称为称为相位常数相位常数。由上式可以看出

24、，在辐射区，场强的位相滞后于激励源由上式可以看出，在辐射区，场强的位相滞后于激励源的电源位相，这是由于电磁波以有限的速度传播所表现的电源位相，这是由于电磁波以有限的速度传播所表现出来的推迟效应。在辐射区中磁场强度出来的推迟效应。在辐射区中磁场强度 位于与赤道位于与赤道面平行的平面内而电场强度面平行的平面内而电场强度 位于子午面内，二者位于子午面内，二者相互垂直，且都垂直于半径相互垂直，且都垂直于半径r（如下图）。（如下图）。vHE上图中描绘了某一瞬间上图中描绘了某一瞬间 线在空间的分布。不管线在空间的分布。不管在远区还是在近区，在远区还是在近区， 线的分布都具有轴对称线的分布都具有轴对称性，在

25、垂直于振子的平面内，性，在垂直于振子的平面内， 线围绕着振子轴线围绕着振子轴线旋转而成闭合曲线，它们和传导电流及位移电流线旋转而成闭合曲线，它们和传导电流及位移电流相互交链且成右手螺旋关系。每隔半个波长，相互交链且成右手螺旋关系。每隔半个波长， 线的方向变动一次，随着电磁波的向前推移，线的方向变动一次，随着电磁波的向前推移， 线的半径越来越大。线的半径越来越大。HHHHH图中表示以振子为轴图中表示以振子为轴的子午面上的电场分的子午面上的电场分布。在近区，布。在近区， 线可线可从正电荷出发终止于从正电荷出发终止于负电荷；在远区，电负电荷；在远区，电场由变化的磁场产生，场由变化的磁场产生， 线成为

26、闭合曲线，它线成为闭合曲线，它和该处的和该处的 线交链。线交链。图中的图中的“.”和和“+”分别分别表示穿入纸面的表示穿入纸面的 线。由于电场的大小线。由于电场的大小和和 成正比，所成正比，所以在与振子垂直的平以在与振子垂直的平面上，面上， 线最密集，线最密集，而在振子轴线方向上而在振子轴线方向上无无 线。线。EEEHHsinE8.5 8.5 平面电磁波平面电磁波讨论在自由空间传播的均匀平面电磁波讨论在自由空间传播的均匀平面电磁波(plane electromagnetic wave)。所谓。所谓自由空间自由空间是指空间中既没有自由电荷，也没有传是指空间中既没有自由电荷，也没有传导电流，而且空

27、间无限大，可以不考虑边界的影响。空间可以导电流，而且空间无限大，可以不考虑边界的影响。空间可以是真空，也可以充满均匀介质。是真空，也可以充满均匀介质。均匀平面波均匀平面波系指等相位面是平系指等相位面是平面，且等相面上各点的场强都相等的电磁波。面，且等相面上各点的场强都相等的电磁波。自由空间的麦克斯韦方程组可写为：自由空间的麦克斯韦方程组可写为：0000rrEHEtHEHt xyzxyz(ijk )xyzEE iE jE kHH iH jH k 它们在直角坐标系中的分量形式为：它们在直角坐标系中的分量形式为：0000yxzyxzryxzryxzrEEExyzEHEyztHEEzxtEEHxyt

28、xyz0000yxzyxzryxzryxzrHHHxyzHEHyztEHHzxtHHExyt xyz设平面波沿设平面波沿+z轴传播，则波面垂直于轴传播，则波面垂直于z轴，由于均匀轴，由于均匀平面波的原因，场强与平面波的原因，场强与x,y无关，上式中所有对无关，上式中所有对x和和y的偏微商全部等于零，于是的偏微商全部等于零，于是，Z，Z四式四式化简为化简为0zEz0zHz0zHt0zEt这说明电场矢量和磁场矢量沿波传播方向的分量这说明电场矢量和磁场矢量沿波传播方向的分量 和和 是与任何的空间变量无关的常量。在波动问是与任何的空间变量无关的常量。在波动问题中常数没有意义，因此可令题中常数没有意义，

29、因此可令 。可见均匀平面波中的电场和磁场都没有和波传播方可见均匀平面波中的电场和磁场都没有和波传播方向平行的分量，因此都和传播方向垂直，即对传播向平行的分量，因此都和传播方向垂直，即对传播方向来说，他们都是横向的，即方向来说，他们都是横向的，即这种电磁波为横波这种电磁波为横波。zEzH0,0zzEH其余四式简化后变为：其余四式简化后变为：0000yxryxryxryxrEHztHEztHEztEHzt xyxy如果我们考虑的是平面偏振波，电矢量的方向始终在如果我们考虑的是平面偏振波，电矢量的方向始终在xz平平面内，可取面内，可取x轴沿轴沿E矢量的方向，则矢量的方向，则E只剩下只剩下 一个分量，

30、一个分量，而而 。这样一来上式中的。这样一来上式中的x ，y两式给出：两式给出：0 xHt0 xHz0rEHzt 即即 分量也是一与电磁波无关的常量，仍可设分量也是一与电磁波无关的常量，仍可设 ，于是于是H矢量也只剩下一个矢量也只剩下一个 分量了。由此可见若分量了。由此可见若E矢矢量沿量沿x方向，方向，H矢量沿矢量沿y方向，他们彼此垂直。如果用方向，他们彼此垂直。如果用 代表电磁波传播方向的单位矢量，那么电矢量代表电磁波传播方向的单位矢量，那么电矢量E，磁矢，磁矢量量H和传播方向和传播方向 三者两两垂直。三者两两垂直。经过化简最后只剩经过化简最后只剩y ，x两个方程式了，略去下标得：两个方程式

31、了，略去下标得：0rHEzt 1xE0yE xH0 xH yHkk我们将一个式子对我们将一个式子对z取偏微分，另一个式子对取偏微分，另一个式子对t取偏微取偏微分，便可把一个场变量消去。消去分，便可把一个场变量消去。消去H的方程为：的方程为：2200220rrHHzt 2200220rrEEzt ()0()0jtkzjtkzEE eHH e2同理，消去同理，消去E的方程式为：的方程式为：3式式2，3是是E和和H所遵守的波动方程所遵守的波动方程。如果考虑沿。如果考虑沿z方向方向传播的简谐波，我们可将其用复数形式表示：传播的简谐波，我们可将其用复数形式表示：其中其中 和和 是角频率和波数，他们与周期

32、是角频率和波数，他们与周期T和波长和波长 的关系为的关系为k2T2k4波的传播速度（相速）为：波的传播速度（相速）为：vTk00EjEE e00HjHH e4式中式中 和和 是复振幅，它们分别为：是复振幅，它们分别为： 分别是分别是E，H的振幅和初位相。现将的振幅和初位相。现将试探解试探解4式分别代入波动方程式分别代入波动方程2，3式可得出，只要式可得出，只要 和和 满足如下关系：满足如下关系：2200rrk 得出波速为得出波速为：001rrvk 真空中波速真空中波速：80013.010 m /sc 0E0H0E0HEHk将将4式带入到式带入到1式中可以得到复振幅间的关系：式中可以得到复振幅间

33、的关系：0000rrEH 0000rrEH 由此可得：由此可得：这说明均匀电磁波的电矢量这说明均匀电磁波的电矢量E和磁矢量和磁矢量H同位相，同位相，其振幅成比例。其振幅成比例。EHy(Hy)HE(Ex)xSzO由于我们是按照右旋坐标系来标定由于我们是按照右旋坐标系来标定E，H，k三个三个矢量的取向，矢量的取向， 表示表示E和和H永远同号，这样永远同号，这样在任何时刻，任何地点，三个矢量都成右旋系在任何时刻，任何地点，三个矢量都成右旋系EH8.6 8.6 波印亭矢量波印亭矢量麦克斯韦认为，电磁场的能量也是定域于场中的，其能量麦克斯韦认为，电磁场的能量也是定域于场中的，其能量密度等于电场的能量密度

34、与磁场的能量密度之和，即：密度等于电场的能量密度与磁场的能量密度之和，即：1122wD EB HBEt 0DHjt由麦克斯韦方程组知由麦克斯韦方程组知分别利用分别利用H和和E点乘以上两式，并将所得两式相减，得：点乘以上两式，并将所得两式相减，得：0()()BDHEEHHE jEtt 1考虑到下列关系：考虑到下列关系：1()2BHB Htt1()2DED Ett再应用矢量分析中的恒等式：再应用矢量分析中的恒等式：()()()HEEHEH 式子式子1可以写成：可以写成：011()()22EHB HD EE jt 2容易看出上式右端第一项刚好是电磁场能量密度对时容易看出上式右端第一项刚好是电磁场能量

35、密度对时间的变化率的负值，即间的变化率的负值，即 。我们再把有非静电。我们再把有非静电力力K的情况下欧姆定律的微分形式的情况下欧姆定律的微分形式wt0()jEK应用于右端第二项，可得：应用于右端第二项，可得：200000()jjE jKjK j式子式子2可变形为：可变形为：200()jwEHK jt 现在我们在空间任取一体积现在我们在空间任取一体积V，表面为，表面为，将上式两边，将上式两边对体积对体积V积分：积分：200( )( )( )( )()VVVVjwEH dVdVdVK j dVt 由矢量高斯定理可知：由矢量高斯定理可知：()()()VEH dVEHd 上式变为：上式变为：200(

36、)()()()VVVjwEHddVdVK j dVt 式子式子3右端第二项中右端第二项中 是热功率密度，因此这一是热功率密度，因此这一项的意义是体积项的意义是体积V内由于传导电流而损耗的热功率。内由于传导电流而损耗的热功率。320j为了弄清楚式子为了弄清楚式子3中右端第三项的物理意义，我门不妨先中右端第三项的物理意义，我门不妨先考虑一小的电流管的情况，在考虑一小的电流管的情况，在V内取一小电流管，其截面内取一小电流管，其截面积为积为，长为，长为l，则：，则：00()ooK j dVj KljK lI 小流管 是单位时间内电流管中的电源所做的功。因此式子是单位时间内电流管中的电源所做的功。因此式

37、子3右端第三项的意义应该是体积右端第三项的意义应该是体积V内电源所做功的功率。内电源所做功的功率。0I 这样一来我们便有条件讨论式子这样一来我们便有条件讨论式子3的物理意义了。它的物理意义了。它的右端第一项表示的是单位时间体积的右端第一项表示的是单位时间体积V内电磁场能量的减内电磁场能量的减少，第二项是体积少，第二项是体积V单位时间内焦耳热的损耗，第三项则单位时间内焦耳热的损耗，第三项则是体积是体积V内电源所做功的功率。因此，根据能量守恒定律，内电源所做功的功率。因此，根据能量守恒定律，式子式子3左端表示的是单位时间内通过体积左端表示的是单位时间内通过体积V的表面的表面向外向外流出的电磁能量。

38、如果体积流出的电磁能量。如果体积V内有运流电流存在，式子内有运流电流存在，式子3右端还应加上电磁场对运动电荷做功的功率。右端还应加上电磁场对运动电荷做功的功率。现在引入新的矢量现在引入新的矢量S，其定义如下：，其定义如下：SE H 它的大小表示单位时间内流过与之垂直的单位面积它的大小表示单位时间内流过与之垂直的单位面积的电磁能量，它的方向代表电磁能传递的方向。的电磁能量，它的方向代表电磁能传递的方向。S称作波印亭矢量称作波印亭矢量(Poynting vector)，它就是电磁能，它就是电磁能流密度矢量。流密度矢量。4由前面对平面电磁波的讨论可知，由前面对平面电磁波的讨论可知， 是沿着是沿着电磁

39、波传播方向电磁波传播方向k，即能量总是向前传播的。电磁波，即能量总是向前传播的。电磁波中中E和和H都随时间迅速变化，式子都随时间迅速变化，式子4给出的是电磁波的给出的是电磁波的瞬时能流密度瞬时能流密度(energy-flux density)。在实际中重要的。在实际中重要的是它在一个周期内的平均值，即是它在一个周期内的平均值，即平均能流密度平均能流密度。EH对于简谐波来说，如同计算交流电的平均功率那样容易对于简谐波来说，如同计算交流电的平均功率那样容易得出：得出：0012SE H式中式中 是是E和和H的振幅，由于的振幅，由于 和和 之间之间存在比例关系：存在比例关系：00,EH0E0H0000rrEH 故：故：2200SEH或这说明电磁波的能流密度正比于电场或者磁场振幅的平方。这说明电磁波的能流密度正比于电场或者磁场振幅的平方。下面我们回头看一下偶极振子的情况。在辐射区里，下面我们回头看一下偶极振子的情况。在辐射区里，S的表达式为：的表达式为：24220000( ,