中考数学专题复习——线段和差最小值问题

1、中考数学中的最短问题 -线段和、差的最值问题线段和、差的最值问题学习目标 掌握线段和、差最值的求解方法。知识准备1、轴对称的性质；2、两点之间线段最短；3、垂线段最短；4、勾股定理；5、角、等腰三角形、特殊四边形、圆的轴对 称性。 A AB B如图，要在街道旁修建一个奶站如图，要在街道旁修建一个奶站P P，向居民区，向居民区A A、B B提供牛提供牛奶，奶站奶，奶站P P应建在什么地方，才能使从应建在什么地方，才能使从A A，B B到它的距离之到它的距离之和最短？为什么？和最短？为什么？街道街道 P PP PA AB BA A P P如图，要在街道旁修建一个奶站如图，要在街道旁修建一个奶站P

2、P，向居民区，向居民区A A、B B提供牛提供牛奶，奶站奶，奶站P P应建在什么地方，才能使从应建在什么地方，才能使从A A，B B到它的距离之到它的距离之和最短？为什么？和最短？为什么？街街道道 P P求线段和最小值的一般步骤：求线段和最小值的一般步骤：连结对称点连结对称点A A与与B之间的线段，交直线之间的线段，交直线l于点于点P，点点P即为所求的点，线段即为所求的点，线段A AB的长就是的长就是AP+BP的最的最小值。小值。选点选点P所在直线所在直线l为对称轴；画出点为对称轴；画出点A的对称点的对称点A； B BA AP PL LA A基本图形基本图形:两点一线两点一线B BB BP P

3、L LA A基本解法基本解法:利用对称性利用对称性,将将“折折”转转“直直”出题背景变式有出题背景变式有：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。坐标轴、抛物线等。解题思路解题思路：找点关于线的对称点，实现找点关于线的对称点，实现“折折”转转“直直”。类型类型1 1：两个定点，一个动点：两个定点，一个动点 如图，菱形如图，菱形ABCDABCD 的两条对角线分别长的两条对角线分别长6 6 和和8 8，点点P P是对角线是对角线AC AC 上的一个动点，点上的一个动点，点M M、N N 分别是分别是边边ABAB、BCBC 的中点，则的中

4、点，则PMPM+ +PNPN 的最小值是的最小值是_A AD DC CB BM MN NP PM MP P5 51 1、如图，正方形、如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为2 2，E E为为ABAB的中点，的中点，P P是是ACAC上一动上一动点连结点连结BDBD，由正方形对称性可知，由正方形对称性可知，B B与与D D关于直线关于直线ACAC称连称连结结EDED交交ACAC于于P P，则，则PB+PEPB+PE的最小值等于线段的最小值等于线段_ 的长度，的长度，最小值等于最小值等于_；2、小聪根据实际情况，以街道旁为、小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图轴，建立了如图1所示的所

5、示的平面直角坐标系，测得平面直角坐标系，测得A点的坐标为（点的坐标为（0，3），），B点的坐标为点的坐标为（6，5），求从），求从A、B两点到奶站两点到奶站P距离之和的最小值。距离之和的最小值。练习练习APCBAEPDCDE5 3 3、如图所示，在边长为、如图所示，在边长为2 2的正三角形的正三角形ABCABC中，中，E E、F F、G G分别为分别为ABAB、ACAC、BCBC的中点，点的中点，点P P线段线段EFEF上一个动点，上一个动点，连接连接BPBP、GPGP，则则（1 1）PB+PGPB+PG的最小值是的最小值是 （2 2）BPGBPG周长的最小值是周长的最小值是 。 F FE E

6、P PG GC CB BA AP P324 4、已知：如图，、已知：如图，ABAB是是O O的直径，的直径，AB=4AB=4，点，点C C是半圆的三等份点，点是半圆的三等份点，点D D是弧是弧BCBC的中点，的中点，ABAB上上有一动点有一动点P P，连接，连接PCPC，PDPD，则，则PC+PDPC+PD的最小值的最小值是多少？并画出点是多少？并画出点P P的位置的位置. . ABCOPDDP类型类型2：两个动点，一个定点：两个动点，一个定点（陕西省）如图（陕西省）如图3，在锐角，在锐角ABC中，中，AB= ，BAC=45，BAC的平分线的平分线交交 BC于点于点D ，M 、N 分别是分别是

7、AD 和和 AB上的上的动点，则动点，则BM+MN 的最小值是的最小值是_ 241、如图，菱形、如图，菱形ABCD中，中，AB=2，A=120，点点P，Q，K分别为线段分别为线段BC，CD，BD上的任意上的任意一点，则一点，则PK+QKPK+QK的最小的最小值为（值为（ ）A、1 B、 C、 2 D、+1A AQ QB BP PK KC CD DP PQ QK KBE练习：练习：类型类型3 3：多条线段和最小：多条线段和最小如图，在直角坐标系中，点如图，在直角坐标系中，点A A的坐标是（的坐标是（2,42,4），点），点B B的坐标是（的坐标是（6,26,2），在），在y y轴和轴和x x轴上

8、找两点轴上找两点P P、Q Q，使得，使得A A，B B，P P，Q Q四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出并求出P P、Q Q两点的坐标。两点的坐标。B BA AP PQ Q.PQ.练习：练习：著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.类型类型

9、4：先平移，再对称：先平移，再对称如图11，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标. （2）如图13，作点D关于x轴的对称点 ，在CB边上截取CG=2，连接 G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为 GCEF，GC=EF，所以 四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF. 又 DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.

10、因为 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以 BC=3，DO= O=2,BG=1. 所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为 （0，-2），设直线G 的解析式为y=kx+b，则 ，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x= ，所以点E的坐标为（ ，0）,所以点F的坐标为（ +2，0）即F的坐标为（ ，0）练习练习看这样一题：要在一条河上架一座桥（桥须与河岸垂直，两河岸平行），请提供一种设计方案，使从A地到B地的路径最短，请说明理由。 A B如图，已知二次函数如图，已知二次函数y=axy=ax2 2-4x+c-4x+c的图象与坐标轴交的图

11、象与坐标轴交于点于点A A（-1-1， 0 0）点）点B B（0 0，-5-5）点）点C C (I) (I)已知该函数图象的对称轴上存在一点已知该函数图象的对称轴上存在一点P P，使三角，使三角形形PABPAB的周长最小，求出点的周长最小，求出点P P的坐标。的坐标。（2 2）已知该函数图象的对称轴上存在一点）已知该函数图象的对称轴上存在一点F F，使使FC-FBFC-FB值最大请求出点值最大请求出点F F的坐标的坐标xOAByPC类型类型5：线段差的最大值：线段差的最大值拓展 如图，在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当

12、MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=_。(5,5)(2,1)YXOQP123456-1-1123456(5,5)(2,1)YXMOQPQ1123456-1-1123456变式应用变式应用求函数y= + 最小值。 2610 xx2634xx小结升华小结升华不管在什么背景下，有关线段和、差最值问题，不管在什么背景下，有关线段和、差最值问题，大都借助于大都借助于“轴对称轴对称”，实现，实现“折折”转转“直直”本节课学习的主题本节课学习的主题 问题，问题，解题思路：解题思路：线段和、差的最值线段和、差的最值 数学思想：数学思想：转化思想转化思想当堂检测当堂检测1、如图O O的半径为2，点 A,B,C

13、在O O 上， ， ， P是OB 上一动点，求PA+PC 的最小值； OAOB 60AOC2、如图4所示，等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 . 3、如图4，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值4、如图9，正比例函数y= x的图象与反比例函数y= （k0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小. 5、如图1，在直角坐标系中，点A，B，C坐标分别为（1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线 ，D为对称轴 上一动点求当DB-DC最大时，点D的坐标6、（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，点P