2.1未定式的极限ppt课件

1、3.2 未定式的极限未定式的极限洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 三、小结三、小结型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 定义定义.00)()(lim)()()()(型未定式型未定式或或常把这种极限称为常把这种极限称为在通在通可能存在、也可能不存可能存在、也可能不存极限极限大，那末大，那末都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与时，两个函数时，两个函数或或如果当如果当 xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(

2、.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在且且都存在都存在及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .,该法则仍然成立该法则仍然成立时时当当 x使使用用洛洛必必达达法法则则，即即定定理理的的条条件件，可可以以继继续续满满足

3、足型型，且且仍仍属属如如果果)(),(00)()(xFxfxFxf .)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx .,也有相应的洛必达法则也有相应的洛必达法则时的未定式时的未定式当当 xax例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23 )00()00(例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limx

4、xx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原原式式. 1 )00()( axbxxcoscoslim0 例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( xxxxxxx3lim2tan33tan 原原式式31 ? 例例6 6解解.0)( lnlim xxx求求11l

5、im xxx求导求导原式原式 xx1lim 120lim xx求求导导0lim x0 ?解解 xx1lim . 0 11lim xxx求求导导原原式式例例7. 求求解解: (1) n 为正整数的情形为正整数的情形.原式原式0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!lim. )0, 0(limnexxnx型(2) n 不为正整数的情形不为正整数的情形.nx从而从而xnexxkexxkex1用夹逼准则用夹逼准则kx1kx存在正整数存在正整数 k , 使当使当 x 1 时时,由由(1)0limlim1xkxxkxexex0limxnxex注意：洛必达法则是求未定式的一种有效

6、方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例8 8解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 另解另解30tanlim xxxxxx 原式原式0lim 0 x? 0 练练 习习 题题作业：作业：p1008. （1）、（）、（3）、（）、（5）、（）、（7）、）、（9）。）。练习题答案练习题答案型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 )0( 关键关键: :将其它类型

7、未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 . .),00()( 型型 0. 1步骤步骤:,10 .0100 或或例例9 9解解0 0limln (0) .xxx 求00 0 ln limxxxx 对取倒数原式10 01 limxxx 0.0 0 limxx 例例1010解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步骤步骤:例例1111解解).tan(seclim2xxx 求求)cossincos1(lim 2xxxx 取取倒倒数数原原式

8、式xxxcossin1lim2 通通分分xxxsincoslim 200 求求导导. 0 连连续续 )( 步骤步骤:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 ( )( )ln( )ln( )g xyf xyg xf x( )ln( )g xf xye例例1212解解0 0lim.xxx 求)0(0ln0 0limxxxe 原式0 0limlnxxxe 0 021lim1xxxe 0e . 1 0 0lnlim1xxxe 例例1313解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例141

9、4解解1ln0 0lim (cot ).xxx 求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取取对对数数得得0 01limln(cot )lnxxx 20 011cotsinlim1xxxx 0 0limcossinxxxx , 1 .1 e原式原式例例1515.coslimxxxx 求求注意：洛必达法则的使用条件注意：洛必达法则的使用条件解解1sin1lim xx 求求导导原原式式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在.coslim 不不存存在在，也也不不是是xxxx ？洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原原式式. 1 三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 作业：作业：p1008. （10）、（）、（11）、（）、（13）、（）、（17)二、二、 用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求下列极限：1 1、2