第一章 导论3

1、1.5 物质的微观模型物质的微观模型 物质的微观模型的三个基本点：物质的微观模型的三个基本点： ，分子间有一定间距；，分子间有一定间距； ；这种；这种运动的激烈程度与物质的温度有关。运动的激烈程度与物质的温度有关。 。 分子动理论的基本内容分子动理论的基本内容 1.5.1 物质由大数分子组成物质由大数分子组成 1. 物质由大数分子组成是指宏观物体是不连续的，由大量分子、物质由大数分子组成是指宏观物体是不连续的，由大量分子、 原子、离子所组成。原子、离子所组成。大数分子表示了分子数已达宏观系统的数量级。大数分子表示了分子数已达宏观系统的数量级。 2. 1mol任何物质包含有相同数目的分子，这个数

2、目称为阿伏伽任何物质包含有相同数目的分子，这个数目称为阿伏伽 德罗常数德罗常数NA mol/1002. 623 AN实验上常用的测量实验上常用的测量NA的方法：的方法： x 射线衍射射线衍射 电解法：电解法： eg ：电解：电解NaCl 溶液，阴极反应：溶液，阴极反应： 2He2H2mol数：数： 2 1 eNQA2AN1.5.2 分子热运动例证分子热运动例证扩散、布朗运动、涨落现象扩散、布朗运动、涨落现象 （一）分子（或原子）处于永不停息的热运动中（一）分子（或原子）处于永不停息的热运动中 1. 扩散：扩散： 是物质中的分子作无规则热运动的是物质中的分子作无规则热运动的。 举例：举例： 香水

3、瓶开口后整个房间有香味，但时间不同。香水瓶开口后整个房间有香味，但时间不同。 氧气与二氧化碳的扩散：氧气与二氧化碳的扩散： CO2 O2 结论：结论： 清水中滴入墨水滴清水中滴入墨水滴 固体中的扩散现象通常不大显著，只有高温下才有明显效果固体中的扩散现象通常不大显著，只有高温下才有明显效果 O2+CO2 O2+CO2 2. 布朗运动布朗运动 ： 1827年由英国植物学家布朗发现。年由英国植物学家布朗发现。 是分子作无规则热运动是分子作无规则热运动。 布朗运动是悬浮在液体中的固体颗粒在液布朗运动是悬浮在液体中的固体颗粒在液 体分子的无规则撞击作用下发生的不规则体分子的无规则撞击作用下发生的不规则

4、 运动。运动。 布朗运动布朗运动反映出液体分子运动的反映出液体分子运动的无规则性。无规则性。 温度越高，布朗运动越剧烈；温度越高，布朗运动越剧烈； 微粒越小，布朗运动越明显。微粒越小，布朗运动越明显。（二）（二） 涨落现象涨落现象 是分子作无规则运动是分子作无规则运动。 是指微观物理量随机偏离其统计平均值的现象。是指微观物理量随机偏离其统计平均值的现象。 1. 相对涨落的定义：相对涨落的定义： 若任一随机变量若任一随机变量M的统计平均值为的统计平均值为 ， MMMM M则则M在在 附近的偏差为：附近的偏差为： MMM 均方偏差：均方偏差： 0)()(22 MMM（方均偏差）（方均偏差） 均方根

5、偏差：均方根偏差： 22)()(MMM （方均根偏差）（方均根偏差） 使用相对均方根偏差表示使用相对均方根偏差表示，即：，即： 可证：在粒子可自由出入的某空间范围内的粒子数的相对涨落可证：在粒子可自由出入的某空间范围内的粒子数的相对涨落反比于系统中粒子数反比于系统中粒子数N 的平方根，即：的平方根，即：可见：粒子数越少，涨落现象越明显。可见：粒子数越少，涨落现象越明显。 0 2. 利用涨落现象解释布朗运动的形成：利用涨落现象解释布朗运动的形成： 对于一宏观物体，周围分子的撞击所对于一宏观物体，周围分子的撞击所传递给它的动量，平均来说是相互抵消的。传递给它的动量，平均来说是相互抵消的。但由于涨落

6、现象的存在，在各个瞬时其受但由于涨落现象的存在，在各个瞬时其受力或多或少有些不平衡。力或多或少有些不平衡。 受力物体越小，物体线度范围内的作受力物体越小，物体线度范围内的作用分子数就越少，力的涨落效果就越显著。用分子数就越少，力的涨落效果就越显著。这就是引起布朗运动的原因。这就是引起布朗运动的原因。（三）布朗粒子线度估计：（三）布朗粒子线度估计： 相对涨落决定于相对涨落决定于, 若仪器可检测到的相对偏差为若仪器可检测到的相对偏差为1/1000 ，则布朗粒子所占空间的粒子数则布朗粒子所占空间的粒子数 N 10 6。N1故布朗粒子的半径约为：故布朗粒子的半径约为： 水的分子数密度水的分子数密度 n

7、 = NA / Vm ，摩尔体积摩尔体积Vm=1810-6m3 因为因为 N = nV， V 为布朗粒子所占体积，为布朗粒子所占体积，m102)43(831 AmNNVr 布朗粒子的线度恰处于宏观微粒与微观粒子之间的过渡范围，布朗粒子的线度恰处于宏观微粒与微观粒子之间的过渡范围，它兼有微观运动的某些特征（如涨落现象）。它兼有微观运动的某些特征（如涨落现象）。 一般认为布朗粒子的线度（在液体中）为一般认为布朗粒子的线度（在液体中）为 10-6m 10-8m（四）类似布朗运动的涨落的其他实例（四）类似布朗运动的涨落的其他实例334rV （三）布朗粒子线度估计：（三）布朗粒子线度估计： 相对涨落决定

8、于相对涨落决定于, 若仪器可检测到的相对偏差为若仪器可检测到的相对偏差为1/1000 ，则布朗粒子所占空间的粒子数则布朗粒子所占空间的粒子数 N 10 6。N11.5.3 分子间的吸引力与排斥力分子间的吸引力与排斥力 1. 分子力存在有很多证据。分子力存在有很多证据。 2. 分子间既存在有引力又有排斥力。分子间既存在有引力又有排斥力。 引力和斥力都有一定的显著作用范围引力和斥力都有一定的显著作用范围 引力（斥力）作用半径引力（斥力）作用半径 设：分子直径设：分子直径d，分子引力作用半径，分子引力作用半径r引引，斥力作用半径，斥力作用半径r斥斥，则：，则： drdr,2斥斥引引（不同种分子）（不

9、同种分子）斥斥222121ddrrr 3. 分子力起源于电磁相互作用（但非库仑力），是一种保守力，分子力起源于电磁相互作用（但非库仑力），是一种保守力， 因而存在分子力作用势能。因而存在分子力作用势能。 4. 分子间相互吸引、排斥的作用力使分子聚在一起，并在空间形分子间相互吸引、排斥的作用力使分子聚在一起，并在空间形成某种有序排列；成某种有序排列；但分子热运动却试图破坏这一排列，使分子尽量散开。但分子热运动却试图破坏这一排列，使分子尽量散开。 这一矛盾中，这一矛盾中，T、P、V等环境因素起重要作用。等环境因素起重要作用。 1.6 理想气体微观描述的初级理论理想气体微观描述的初级理论 1.6.1

10、 理想气体的微观模型理想气体的微观模型 理想气体微观模型是由大量的实验、数据抽象归纳出的。理想气体微观模型是由大量的实验、数据抽象归纳出的。 1. 几个数据数量级的分析、估计：几个数据数量级的分析、估计： 洛施密特常量洛施密特常量( (Loschmidts number) n0 即标状况下的气体分子数密度，以即标状况下的气体分子数密度，以n0表示。表示。 标况下，标况下，1mol气体的体积为气体的体积为22.4L，则有：，则有： 33230m104 .221002. 6 n325m/10686773. 2 325m/107 . 2 标准状况下相邻分子间的平均距离标准状况下相邻分子间的平均距离

11、： L标况下每个分子平均分配到的自由活动的体积为标况下每个分子平均分配到的自由活动的体积为 1/ n0，则：，则： 31)1(0nL 31)107 . 21(25 m103310 液液氮分子直径氮分子直径 r 估计：估计： 设液氮分子质量设液氮分子质量m，体积，体积V内的氮分子总数为内的氮分子总数为N，总质量，总质量M，则：，则： VM 密度：密度：VNm mn AmolNmMm 质量：质量：ANMnm 设液氮分子为球形，则每个氮分子的平均自由活动体积为：设液氮分子为球形，则每个氮分子的平均自由活动体积为： 3341rn 31)43(ANMrm kg1028,kg/m108 . 0K77333

12、 mMT 时，时，液氮液氮m104 . 210 rmNM 大多数分子间的引力作用半径约为分子直径的大多数分子间的引力作用半径约为分子直径的2倍左右：倍左右： dr2引引常温常压下理气分子先后两次碰撞间走过的路程常温常压下理气分子先后两次碰撞间走过的路程S约为分子大约为分子大小的小的200倍：倍： dS200综上可见：综上可见： 分子本身线度极小。分子本身线度极小。 相邻气体分子间的平均距离约为分子本身线度的相邻气体分子间的平均距离约为分子本身线度的10倍，而这个倍，而这个距离比分子的有效作用半径大得多；距离比分子的有效作用半径大得多；气体分子先后两次碰撞的平均路程比本身线度大气体分子先后两次碰

13、撞的平均路程比本身线度大2个数量级。个数量级。 气体分子间的相互作用力很弱。气体分子间的相互作用力很弱。 标准状况下的气体分子数密度标准状况下的气体分子数密度 3250m/107 . 2 n标准状况下相邻分子间的平均距离标准状况下相邻分子间的平均距离 m103310 L77K时液时液氮分子直径氮分子直径 m104 . 210 r 处于平衡态的理想气体，分子间及分子与器壁间的碰撞是完全处于平衡态的理想气体，分子间及分子与器壁间的碰撞是完全 弹性碰撞，因而气体分子动能不因碰撞而损失。弹性碰撞，因而气体分子动能不因碰撞而损失。 因此因此。 除碰撞外除碰撞外, ,气体分子间以及气体分子同器壁间的相互作

14、用可忽略。气体分子间以及气体分子同器壁间的相互作用可忽略。 分子本身线度比分子间距小得多而可忽略不计。分子本身线度比分子间距小得多而可忽略不计。2. 理想气体微观模型：理想气体微观模型： 本身本身比分子间距小得多而比分子间距小得多而。 ，因而气体分子动能不因碰撞而损失。，因而气体分子动能不因碰撞而损失。 。 同时气体分子的运动遵从牛顿运动定律，同时气体分子的运动遵从牛顿运动定律，。3. 说明：说明： 处于平衡态的气体具有各向同性，处于平衡态的气体具有各向同性， 各方向物理性质相同各方向物理性质相同 称之为称之为“处于平衡态的气处于平衡态的气体具有分子混沌性体具有分子混沌性”。 此特性可在理气微

15、观模型的基础上采用统此特性可在理气微观模型的基础上采用统计物理严格证明。计物理严格证明。 虽然理气是一种理想模型，但其理论却能很好地广泛应用。虽然理气是一种理想模型，但其理论却能很好地广泛应用。 1.6.2 单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数 vn61 从统计规律看，平衡态中从统计规律看，平衡态中是恒定不变的，是恒定不变的， 称之为称之为或或，以，以 表示。表示。 1. 简化假设：简化假设： xyzo 按照分子混沌性假设，按照分子混沌性假设，中中指向指向 长方体容器任一器壁运动的长方体容器任一器壁运动的分子数均为分子数均为 n/6 ，其中，其中n

16、为气体分子数密度。为气体分子数密度。 平衡态时容器中每一气体分子均以平均速率平衡态时容器中每一气体分子均以平均速率 运动。运动。 v2. 气体分子碰壁数（气体分子碰撞频率）气体分子碰壁数（气体分子碰撞频率） 的粗略的粗略推导：推导： t 时间间隔内时间间隔内, , 所有向所有向- -y方向运动的分子均移动了距离方向运动的分子均移动了距离 ,tvA 取小面积取小面积A， 设：设：t 时间内碰撞在时间内碰撞在A 面积器壁上的平均分子数为面积器壁上的平均分子数为 N xyzo设：设：t 时间内碰撞在时间内碰撞在A 面积器壁上的平均分子数为面积器壁上的平均分子数为 N=以以A为底为底 为高的长方体中所

17、有向为高的长方体中所有向-y方向运动的分子数方向运动的分子数 tvtv6nVN tvAV 6ntvA tAN )1(6vn 3. 说明：说明： (1) (1)式是粗略推算结果，较严密方法可推得：式是粗略推算结果，较严密方法可推得： )2(4vn 但两式并未产生数量级的偏差但两式并未产生数量级的偏差 必须是平衡态气体才可以使用必须是平衡态气体才可以使用两式两式。 两式可用于任何形状的容器，而不仅仅是长方体两式可用于任何形状的容器，而不仅仅是长方体。 A 例例1 ： 设某气体在标准状况下的平均速率为设某气体在标准状况下的平均速率为 500 m/s, 试试 分别计算分别计算1s内碰在内碰在1cm2面

18、积及面积及10-19m2面积器壁上面积器壁上 的平均分子数。的平均分子数。标准状况下气体分子的数密度为标准状况下气体分子的数密度为 n0 = 2.7 1025 /m3 ，则：，则： 解解: : tAvnN6101 1101500107 . 261425 s/105 . 423 tAvnN6202 110500107 . 2611925 s/105 . 48 1.6.3 理想气体压强公式理想气体压强公式 压强的单位换算压强的单位换算 1738年年, 伯努利伯努利(DBernoulli) 设想设想,在历史上首次建立了分子理论的基本概念。在历史上首次建立了分子理论的基本概念。（一）（一） 理想气体压

19、强公式：理想气体压强公式： 1. 气体压强本质的定性解释：气体压强本质的定性解释： 分子运动论观点：分子运动论观点： 一切宏观物体的宏观性质，都是组成它的分子作微观运动一切宏观物体的宏观性质，都是组成它的分子作微观运动的结果。的结果。 气体施予器壁的压强，是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果，气体施予器壁的压强，是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果，是单位时间内大数分子频繁碰撞器壁所给予单位面积器壁的平是单位时间内大数分子频繁碰撞器壁所给予单位面积器壁的平均总冲量均总冲量 。 AtIP 即：即：密集雨点对雨伞的冲击力密集雨点对雨伞的冲击力 单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、单个分子碰撞器壁的作用

20、力是不连续的、偶然的、不均匀的。大量分子从总的效果上来偶然的、不均匀的。大量分子从总的效果上来看，产生一个持续的平均作用力。看，产生一个持续的平均作用力。单个分子单个分子 多个分子多个分子 平均效果平均效果 ，是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。，是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。 。 AtIP 2. 推导气体压强公式的依据：推导气体压强公式的依据： 假定：假定：单个单个气体分子的运动服从牛顿力学规律，而气体分子的运动服从牛顿力学规律，而大量大量分分子的无规则运动满足统计规律。则：子的无规则运动满足统计规律。则： 气体和器壁处于热平衡时，认为分子和器壁的碰撞从宏观上气体和器壁处于热平衡时，认

21、为分子和器壁的碰撞从宏观上 是完全弹性碰撞，是完全弹性碰撞， 因而碰撞前后分子与器壁间的相对运动速度因而碰撞前后分子与器壁间的相对运动速度等值、反向。等值、反向。 气体处于平衡态，且无外场或外场影响可忽略时，气体分子气体处于平衡态，且无外场或外场影响可忽略时，气体分子 均匀分布于容器内，其速度没有择优方向。均匀分布于容器内，其速度没有择优方向。3. 压强公式的推导：压强公式的推导： t 时间间隔内碰撞在时间间隔内碰撞在A 面积器壁上的平均分子数面积器壁上的平均分子数N 为为tvAnN6 每次碰撞每个分子产生的动量改变为：每次碰撞每个分子产生的动量改变为： vmPi2 即：每次碰撞每个分子施予器

22、壁的冲量为：即：每次碰撞每个分子施予器壁的冲量为： vmIi2 t 时间间隔内碰撞在时间间隔内碰撞在A 面积器壁上的平均分子数面积器壁上的平均分子数N 为为tvAnN6 每次碰撞每个分子产生的动量改变为：每次碰撞每个分子产生的动量改变为： vmPi2 即：每次碰撞每个分子施予器壁的冲量为：即：每次碰撞每个分子施予器壁的冲量为： vmIi2 t 时间间隔内时间间隔内A 面积器壁所受的平均冲量为：面积器壁所受的平均冲量为：)(iINI vmtAvn26 tIF AFP AtIP vmvn261 231vnm 231vnm 设：设： 为每个气体分子的平均平动动能：为每个气体分子的平均平动动能： t

23、221vmt 4. 分析说明：分析说明： 上面是粗略推导，但所得结果与严密推导的结果完全相同。上面是粗略推导，但所得结果与严密推导的结果完全相同。 使用了使用了 近似，实际上近似，实际上 2vv 2085. 1vv 上面的两个压强公式是统计规律而不是力学公式。上面的两个压强公式是统计规律而不是力学公式。 实际上气体压强不仅存在于器壁，也存在于气体内部。实际上气体压强不仅存在于器壁，也存在于气体内部。 对于理气，这两种压强的表达式完全相同。对于理气，这两种压强的表达式完全相同。 气体分子碰壁数及气体压强公式只适用于气体分子碰壁数及气体压强公式只适用于。 （二）理想气体物态方程的另一种形式：（二）

24、理想气体物态方程的另一种形式： nkTP VTRP RTNNVA1 TNRVNA 强调：强调：注意：注意： k 是描述一个分子或一个粒子行为的普适恒量，是描述一个分子或一个粒子行为的普适恒量，是具有特征性的常量，是具有特征性的常量， 适用于一切与热相联系的物理系统适用于一切与热相联系的物理系统 只要在任一公式或方程中出现某一普适常量，即可看出该方程具只要在任一公式或方程中出现某一普适常量，即可看出该方程具有与之对应的某方面特征。有与之对应的某方面特征。k e Gchk 热物理学；热物理学； e 电学；电学； G 万有引力；万有引力；c 相对论；相对论；h 量子问题量子问题。 巴巴（bar）、毫

25、米汞柱（）、毫米汞柱（mmHg）或称托（）或称托（Torr）、）、 毫米水柱（毫米水柱（mmH2O）、标准大气压（）、标准大气压（atm）、）、 工程大气压（工程大气压（at）、千克力每平方厘米（）、千克力每平方厘米（kgfcm-2）、）、 千克力每平方毫米（千克力每平方毫米（kgfmm-2）等）等四、压强的单位四、压强的单位 压强，又称压力，这一概念不仅被用于热学，也被用于压强，又称压力，这一概念不仅被用于热学，也被用于连续介质力学中（连续介质力学中（连续介质力学是流体力学与弹性力学的总称）。）。国际单位制（国际单位制（SI制）下，压强单位是帕（制）下，压强单位是帕（Pa），）， 1Pa =

26、 1Nm-2 常用其它单位：常用其它单位：（一）温度的微观意义：（一）温度的微观意义： 1.6.4 温度的微观意义温度的微观意义 tnvnmP 32312 nkTP kTt23 温度越高，分子热运动平均平动动能越大，温度越高，分子热运动平均平动动能越大， 分子热运动越剧烈。分子热运动越剧烈。1. 温度的微观意义温度的微观意义 2. 粒子的平均热运动动能与粒子质量无关，而仅与温度有关。粒子的平均热运动动能与粒子质量无关，而仅与温度有关。 温度是分子不规则运动平均平动动能的量度。温度是分子不规则运动平均平动动能的量度。 1. 温度反映了大量微观粒子无规则热运动的集体性质，对个别温度反映了大量微观粒

27、子无规则热运动的集体性质，对个别粒子或极少数粒子而言温度是没有意义的。粒子或极少数粒子而言温度是没有意义的。近代物理：近代物理：2. 不能从不能从 推出推出kTt23 00 tT 时，时，00 tT 时，时， 零点能量零点能量 （二）（二） 气体分子的均方根速率气体分子的均方根速率vrms ： kTvmt23212 mkTvvrms32 A1NRmmk 又：又：mMR 温度越高，分子质量越小，分子热运动越剧烈。温度越高，分子质量越小，分子热运动越剧烈。可见：可见：1.6.5 气体分子碰壁数和气体分子碰壁数和P=nKT 公式的简单应用公式的简单应用 例例1 试求试求T = 273K 时氢分子的方均根速率时氢分子的方均根速率vrms及及 空气分子的均方根速率空气分子的均方根速率v rms 解解: : 氢气氢气: :m/s101.84m/s1022