大一高等数学第十二章第五节常系数线性方程

1、一、常系数齐次线性方程通解求法一、常系数齐次线性方程通解求法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy 有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,242

2、2qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 特征根为特征根为 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为 有一对共轭复根有一对共轭复根,1 jr ,2 jr ,)(

3、1xjey ,)(2xjey )0( 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特征根为定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例1 1.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,05

4、22 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2n 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项, 且

5、每一项各一个且每一项各一个任意常数任意常数.nnyCyCyCy 2211特征根为特征根为, 154321jrrjrrr 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例3 3)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构, yYy 常见类型常见类型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 难点

6、难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.)()(xPexfmx 二、 型设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可设可设;)(xmexQy ;)(xmexxQy 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可可设设综上讨论综上讨论, )(

7、xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.)(2xmexQxy 特别地特别地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy

8、设设代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例4 4型型二、二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22jeePeePexjxjnxjxjlx xjnlxjnlejPPejPP)()()22()22( ,)()()()(xjxjexPexP ,)()(xjexPqyypy 设设,)(1xjmkeQxy 利用欧拉公式利用欧拉公式,)()(xjexPqyypy 设设,)(1xjmkeQxy xjmxjmxkeQeQexy ,sin)

9、(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是单根是单根不是根不是根jjk注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4jxeyy ,是是单单根根j ,*jxAxey 故故代入上式代入上式, 42 Aj,2jA ,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原

10、方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy （取虚部）（取虚部）例例5 5.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,2 jxxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根j ,)(2*jxeBAxy 设设代入辅助方程代入辅助方程 13034ABAj,9431jBA ，,)9431(2*jxejxy 例例6 6)2sin2)(cos9431(xjxjx 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy 原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy

11、 ,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx （取实部）（取实部）注意注意xAexAexx sin,cos.)(的实部和虚部的实部和虚部分别是分别是xjAe .tan的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 设设, 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解为原方程通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例7 7解法解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变

12、欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程量代换可化为常系数微分方程.三、欧拉方程三、欧拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)特点特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同变量的方次数相同作变量变换作变量变换,ln xtext 或或,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,122222 dtdydtydxdxyd将自变量换为将自变量换为, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd用用D表示对自变量表示对自

13、变量t求导的运算求导的运算,dtd上述结果可以写为上述结果可以写为,Dyyx ,)1()(2222yDDyDDdtdydtydyx ,)2)(1()23(232322333yDDDyDDDdtdydtyddtydyx .)1()1()(ykDDDyxkk 将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量为自变量t的常系数的常系数线性微分方程线性微分方程.求出这个方程的解后，求出这个方程的解后，t把把 换为换为 ，xln即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地，例例求欧拉方程求欧拉方程22334xyxyxyx 的通解的通解解解作变量变换作变量变换,ln xtext 或或

14、原方程化为原方程化为,34)1()2)(1(2teDyyDDyDDD 即即,332223teDyyDyD 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)方程方程(1)所对应的齐次方程为所对应的齐次方程为, 0322233 dtdydtyddtyd其特征方程其特征方程, 03223 rrr特征方程的根为特征方程的根为. 3, 1, 0321 rrr所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为.33213321xCxCCeCeCCYtt 设特解为设特解为,22bxbeyt 代入原方程，得代入原方程，得.21 b所给欧拉方程的通解为所给欧拉方程的通解为.2123321xxCxCCy ,22x

15、y 即即四、小结四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 可可以以是是复复数数） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(

16、cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解, 取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解得原非齐方程特解.欧拉方程解法思路欧拉方程解法思路变系数的线变系数的线性微分方程性微分方程常系数的线常系数的线性微分方程性微分方程变量代换变量代换注意：欧拉方程的形式注意：欧拉方程的形式xtextln 或或思考题思考题 1求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思考题思考题 1 解答解答, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lny

17、yyx ,lnlnyy 令令yzln 则则, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 思考题思考题 2写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 思考题思考题 2 解答解答设设 的特解为的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、

18、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程满足所给初始条件的特解下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. .三、三、 求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 设圆柱形浮筒设圆柱形浮筒, ,直径为直径为m5 . 0, ,铅直放在水中铅直放在水中, ,当稍当稍向下压后突 然放开向下压后突 然放开

19、, ,浮筒 在水中上 下振动的浮筒 在水中上 下振动的s2周期为周期为, ,求浮筒的质量求浮筒的质量 . .练练 习习 题题 1练习题练习题 1 答案答案一、一、1 1、xeCCy421 ； 2 2、tetCCx2521)( ； 3 3、)2sin2cos(213xCxCeyx ； 4 4、xCxCeCeCyxx3sin3cos432221 . .二、二、1 1、)2(2xeyx ； 2 2、xeyx3sin2 . .三、三、0 yy. (. (提示提示: :为两个为两个xe, 1线性无关的解线性无关的解) )四、四、195 Mkg.kg.一、一、 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解: :1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin . .二、二、 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: :1 1、0,1,5400 xxyyyy；2 2、xxexeyyy 2, , 1,111 xxyy；3 3、)2cos(214xxyy , , 0,000 xxyy. .练练 习习 题题 2三、三、 含源含源在在CLR,串联电路中串联电路中, ,电动