一元二次方程

1、课题 一元二次方程授课教师 青海省西宁市第十二中学 王春秀教材 人教版九年义务教育三年制初级中学代数第三册第4页一元二次方程教学目标知识使学生了解整式方程、一元二次方程的概念。知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化为一般形式能力通过教学，让学生逐步学会观察、学会分析、学会思维。培养学生发现问题，提出问题，解决问题的能力思想培养学生用联系的观点看待事物，初步了解数学来源于实践反过来又作用于实践 的辨证唯物主义观点教学重点一元二次方程的概念教学难点正确认识一元二次方程的二次项及其系数，一次项及其系数和常数项教学用具微机教学环节 教 师 活 动学生活动设计说明提出问题引起动机教师：我们把一块

2、长方形薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来就可以做成一个无盖的长方体盒子。（微机演示）问题1：用一块长80cm，宽60 cm的薄钢片在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积是1500cm²的无盖长方体盒子。请思考怎样求出截去的小正方形的边长。（带动学生思考，分析） 设小正方形的边长是x cm,那么盒子底面的长和宽分别是(80-2x)cm及(60-2x )cm根据题意，得观察感知思考讨论动手列式再回答问题通过微机演示,增强直观性,培养学生的空间观念和想象力用实际问题引出新课(一元二次方程),可以帮助学生认识到一元二次方程是来源于实际生活的需要的提出问题引起动

3、机(80-2x) (60-2x )=1500整理后，得x²-70x+825=0只需要求出方程中未知数的值就可以解决这个问题问题2：剪一块面积为150平方厘米的长方形彩色卡纸，使它的长比宽多5厘米，应该怎么剪？分析:要想按要求剪出长方形卡纸,急需要知道什么?（卡纸的长和宽） 设卡纸的宽是x cm,那么它的长是(x+5)cm.根据题意,得x(x+5)=150 去括号,得x²+5x=150还可以整理为: x²+5x-150=0只需要求出方程中未知数的值, 就可以解决这个问题问题3：体育馆要修建一个占地面积是1071平方米的游泳池，要求长50米，宽20米，游泳池四周要留有

4、宽为x米的人行道，问怎样求出人行道的宽度x？ 根据题意,可得 (50+2x)(20+2x)=1071还可以整理成为: 4x²+140x-71=0只需要求出方程中未知数的值,就可以解决这个问题观察感知思考讨论 动手列式回答问题提出问题后,引导学生找到求解方法,以此培养学生提出问题和解决问题的能力.这里的求解方法是列方程,但所列的方程是我们没有学过的,由此引出新课,使学生深感走近、了解、学习这种方程是势在必行。激发学生学习兴趣，为下一步学习做铺垫类比联想讲述新课教师：在用方程解决上述实际问题的时候，都遇到一个含有一个未知数的方程，我们在初一的时候就学过一元一次方程，谁能举几个例子？(1)

5、 3x=0 (2)3x-2=0 (3)-2x+3=0讨论：提问：这些一元一次方程和我们前面三个问题中的方程有什么共同之处和不同之处？相同之处:方程两边都是关于未知数的整式.不同之处:未知数的最高次数不同提问：今天所学的三个方程具有什么共同点？总结定义：整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫整式方程。一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。问题3：我们知道一元一次方程的一般 形式是ax+b=0且a0，一元二次方程很多吗?你有办法一下写出所有的一元二次方程吗?你能否试着总结一下一元二次方程的一般形式？归纳：我们把ax²+bx+c=

6、0 (a0)称为一元二次方程的一般形式,同时强调它的 二次项及其系数、一次项及其系数和常数项。问题：一元二次方程的一般形式中为什么要有a0的规定？若a=0，则ax2+bx+c=0 不是一元二次方程了。思考回答问题 分组讨论选代表回答问题回忆旧知识思考问题并回答问题概念教学从大量的实例出发,用实例直观的帮助完成定义,而非就定义而定义类比一元一次方程的定义和一般形式,归纳出一元二次方程的定义和一般形式，展现知识的形成过程,让学生在获取知识的过程中，领会数学思想和思维方法,向学生渗透类比的数学思想设置例题巩固新课例1：下列各式中，哪些是一元二次方程，哪些不是？(1)x²+y+5=0 (2)

7、x²+2x-7=0(3)x²+2=1/x (4)x²+6x(5)x(2x-3)=6 (6)x+2=1/x(7)x²-(x²+5x)-4=0提问：如果一个方程是一元二次方程，它一定要满足几个条件？是哪几个？例2：把方程 3x(x-1)=2(x+2)+8 化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。解:去括号:得3x²-3x=2x+4+8移项,合并同类项,得方程的一般形式3x²-5x-12=0二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是-12教师说明:此题已明确要把方程化成一般形式，即使没有明确，也要把方程化成一般形式

8、再指出二次项系数、一次项系数及常数项。例3：根据题意设未知数列方程，判断所列方程是否是一元二次方程。（1） 一个正方形的面积得3倍是75，求正方形的边长。（2）一个数比另一个数大3，且两数之积是0，求这个数。解：（1）设正方形的边长是x，则有3x²=75即3x²-75=0（2） 设一个数是x，那么另一个数是(x-3),则有x(x-3)=0即x²-3x=0提问：这两个方程你会解吗？独立地积极思考问题,配合教师完成例题,学生思考、讨论、回答问题配合教师完成例题通过例题中各种题型的出现,可以加强学生对一元二次方程的定义和一般形式的理解和掌握通过此题得出的方程正好是一次项

9、系数为0和常数项为0的特殊的一元二次方程，可以巩固一元二次方程的定义和一般形式及特殊情况，同时为后面学习一元二次方程的解法奠定基础。课堂练习及时反馈1：课本第5页1题2：课本第6页2题3：判断下列关于的方程中，哪些是一元二次方程？(1) x2=0 (2)1-x2=0 (3) (4) (5) ax2+bx+c=0 4 ：把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数，常数项：（1） 3x2=5x-2 (2) (2x-1)(3x+2)=3（3）2y2=y-7 (4)(5)6x(x-1)=0 (6) (x+5)(x-5)=0(7) (m2+1)x2+n-mx=0动脑思考动手

10、练习动口回答通过大量的练习，让学生熟悉一元二次方程的一般形式以及能熟练指出一元二次方程在一般形式下的项及其系数. 对容易出错的题加强训练和说明，以完成教学目标突破教学难点。归纳小结有助提高教师：1）本节课我们学习了哪些内容，谁能总结一下？2）通过什么方法学习的？3）在指出一元二次方程项及二次项系数和一次项系数时，要注意什么问题？思考，讨论，并回答问题让学生自己小结培养他们的归纳总结能力布置作业灵活掌握（1） 必做题：同步训练A组（2） 选做题：同步训练B组（3） 思考题：试总结一元三次方程的定义 学生学生根据自己的能力选择作业题分层布置作业,以遵循因材施教的教育教学原则教材说明: 1教材的地位

11、与作用 一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位。在一元二次方程前面，学生学了实数和代数式、一元一次方程（包括可以化为一元一次方程的分式方程 ）和一次方程组，上述内容都是学习一元二次方程的基础，通过一元二次方程的学习，就可以对上述内容加以巩固。一元二次方程也是以后学习（指数方程、对数方程、三角方程以及不等式、函数、二次曲线等内容）的基础，它具有承上启下的作用。同时学习一元二次方程对其他学科也有重要意义。2教学目标根据教学大纲及学生实际情况，制定以下几方面目的：（1）知识目标：使学生了解整式方程、一元二次方程的概念。知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化为一般形式。（

12、2）能力目标：通过类比，让学生学会观察，学会分析、学会思维，培养并提高学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。（3）思想目标：培养学生用联系的观点看待事物，初步了解数学来源于实践反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。3：教学重点：一元二次方程的概念。4：教学难点：正确认识一元二次方程的二次项及其系数、一次项及其系数和常数项。教案说明:这是一节概念课。概念教学有它自身的规律。数学概念的产生和形成过程，一般地说，是人们在对实际的（或具体的）事例观察的基础上，通过比较、分析、归纳，再进一步概括、抽象出本质的过程。实质上就是一个思考过程。数学概念的教学，就是在教师的指导下，由学生自己积极思维，经历上述

13、思考过程，形成并建立数学概念的一种活动。众所周知，思维从问题始，思维总是指向某个任务的。为了激发学生积极思维，在教学的各个环节中，在知识的引发点和关键点上，不断向学生提出适当的问题，给出“指向”，在教师的启发引导下，让学生去思考，去探索。这样，学生的思维活动就能始终处于积极状态，这样即加强了师生间的互动,又给学生足够的思考和活动的空间.整个教学活动就能够按照教学目的指定的目标前进。教学之初,教师通过几个与实际生活贴近的例子,设置疑问,激起学生学习兴趣和欲望,自然引入新课,同时认帮助学生识到一元二次方程是来源于实际需要的;在讲解新课时,通过类比曾经学过的一元一次方程的相关内容,找出二者的相同和不同之处,从而总结出本节课的重要内容,同时向学生渗透类比的数学思想;在例题练习题和作业题的的安排上,教师有意识安排有梯度的例题和习题,以遵循因材施