舍入误差分析及数值稳定性学习教案

1、会计学1舍入误差分析舍入误差分析(fnx)及数值稳定性及数值稳定性第一页，共20页。May 3, 2二进制阶数上限127，那么表示数的绝对值的上限为： 对单精度实数系统，当被表示数的量级超过38，则计算机无法表示该数，出现(chxin)所谓Overflow.overflowoverflow122s122s23.382lg)12(121010277第2页/共20页第二页，共20页。May 3, 3二进制阶数下限) 12(7或72，表示数的绝对值的下限为： 53.382lg22)12(11010222777 （不区分） 或 83.382lg)12()12(211010222777 （区分） 对单精

2、度实数(shsh)系统，当被表示数的量级小于38，则计算机无法表示该数，出现所谓Underflow, 记该数为机器零.（见下页图）第3页/共20页第三页，共20页。May 3, 4overflowoverflow122s122sUnderflow（不区分） 22s（区分） 2) 12(s（不区分） 22s（区分） 2) 12(s第4页/共20页第四页，共20页。May 3, 5尾尾数数部部分分 223321 . 0i232ii122 12,22207i232ii1pZpaaRpS且 单精度机器(j q)数：(不区分阶码正负零的情形）一般(ybn)地，置换 23t , 7s，有12,2220it

3、2ii1spSpZpaaR且第5页/共20页第五页，共20页。May 3, 6 相相邻邻机机器器数数：设SRa , 与之相邻的能够准确表示的机器数是232pab和232pac. 将实数x在机器中的浮点(float)表示记为 )(xfl. 将由此表示产生的误差 xxfl)( 称之为舍舍入入误误差差. 机器数的非连续性导致在区间),(ac和),(ba上的实数无法准确表示. 计算机系统规定: 不能精确表示的实数用与之最近的机器数表示。 )( )2,22,2 231231xflaaaabaacxpp记为：表示用当第6页/共20页第六页，共20页。May 3, 7 绝对误差*e： 231*2)(pxxf

4、le， 其中 p: ppx221 且127p 单精度实数)(xfl能够有 67 位有效数字. axflaaxpp)( )2,2231231第7页/共20页第七页，共20页。May 3, 82lg)12(12102ss上溢界：2lg22102:ss下溢界ptxxfle222)(1*绝对误差：tptprxflxxfle2222)()(11*相对误差：ppxp22:1当不出现(chxin)溢出时有估计: 第8页/共20页第八页，共20页。May 3, 9定定理理 ppxx22:1设 且 12 sp, 则 txxfl2),1 ()(, xxxflxxfl)()1 ()( tptpxxxfl222)(1

5、1 推推论论 tyflxflyflxflfl2),1)()()()( 第9页/共20页第九页，共20页。May 3, 10)()(321111ba)1)()()() )()(3bflaflbflaflfl) )()()(cflbflaflflfl)1()()()(5cflbflaflfl)1)(1 ()1)(1 ()1 ( 54321cba)(531535153131acba)(532535253232b)(5454c第10页/共20页第十页，共20页。May 3, 115 , 4 , 3 , 2 , 1,2iti设有)()()()(cbacflbflaflflfl)2()33 (232cba

6、结论：浮点机器数的加法并不一定满足结合律, 先加绝对值较小的两数,然后再和另外一数相加, 将会有较小的舍入误差.更为深刻(shnk)的意义在于表明: 数学上等价的算法在数值上并不总是等效的. 第11页/共20页第十一页，共20页。May 3, 12dxxxInn105例：计算(j sun)如下积分近似值的两种方案比较),(21511nInInn方法1：1823. 056ln51100dxxI第12页/共20页第十二页，共20页。第13页/共20页第十三页，共20页。May 3, 14方法(fngf)2：该方法是稳定的。 初值的近似：) 1(5156) 1(611010ndxxIdxxnnnn1

7、51nnInI*1*5n1nnII*0*22*1*555eeeennnn5511nnInI551*1nnInI*51*1nnee第14页/共20页第十四页，共20页。方方法法果果016706615512110.*I第15页/共20页第十五页，共20页。May 3, 16v相近数相减的误差传播 v例 x=52.127 x*=52.129 四位有效数字v y=52.123 y*=52.121 四位有效数字v A=x-y=0.004 A*=x*-y*=0.008 零位(ln wi)有效数字v结论：避免相近数相减v一些避免相近数相减示例v当|x|1时)(11111xxxxxxxx1lnln) 1ln(

8、第16页/共20页第十六页，共20页。May 3, 17xxxx111)1ln()1ln(22xxxx当|x|1时第17页/共20页第十七页，共20页。May 3, 18) 10(.98765432110000001kkk例100000021.9876543211：方法)(.9876543212100000021：方法100000099900010001.9876543213iiii：方法第18页/共20页第十八页，共20页。May 3, 19例2 秦九韶算法(sun f) 01223344axaxaxaxa01234)( ( (axaxaxaxav简化计算(j sun)步骤以减少运算次数。84284228448816