成都理工大学数学物理方程题库

1、数学物理方程模拟试题一、填空题（3分父10=30分）1 .说明物理现象初始状态的条件叫（），说明边界上的约束情况的条件叫（），二者统称为（）.2 .三维热传导齐次方程的一般形式是：（）.3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为（）.4 .边界条件（四+w）=f是第（）类边界条件，其中S为边界.cnS.2.25 .设函数u（x,t）的傅立叶变换式为U（露t）,则方程4=a24的傅立ct二x叶变换为（）.6 .由贝塞尔函数的递推公式有gj0（x）=（）dx.7 .根据勒让德多项式的表达式有-P2（x）+-Po（x）=（）.33128.计算积分F2（x）dx=（）-49.勒让德多项式P1（x）的微

2、分表达式为（）10.二维拉普拉斯方程的基本解是（1.试用分离变量法求以下定解问题.2.2I二u-2tu-222,0x3,t0；t2；x2VUvA=0，Ux=0x3-Wu-U=3xt=0,0xt=0ct（30分）:0,31 一22 u二u二-r,0x4,t0:t:x22.u|0,u|二。x=0x=4!u|=2xiy3.-2二ut2-22U2x=0,16,0x2,t0x=0ut=0Ft=8,x=2三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）22二U:t2=a-2cosx,二x二，t0xt=0=sin2x,四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）:2FuxyIUx=0IUy=01,x

3、0,yy1,1,五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：、,、I/、1I/、J2(x)=J0(x)J0(x)x六、在半径为1的球内求调和函数U,使它在球面上满足Uy=cos2e,即所提问题归结为以下定解问题（10分）：1-:/2：UT(r)2rrr+r2sin7:u(sin)=0,0r1,0三丁m二C0u=3cos2十1,0we工九（本题的u只与r,e有关，与中无关）数学物理方程模拟试题参考答案一、填空题:1 .初始条件，边值条件，定解条件-2-2-2-U_2/二u二u二u2 .7aa(22-2)t二x:y二z3 .(：当口Bs:一:二)：2T4.5.6.d2U22,2-二一a1U.d

4、t-Ji(x).7.8.251d29.(x-1).2dx10.u=ln(xx。)2(yy。)2X(0)=X=0,得到-232为特征值，特征函数Xn(x)=Bnsin再解T(t),得到(t)=CnCOS2n：tDnsin2n-：tqQu(x,t)八(Cncos2n二tDnsin2n二tn123Cn=-3xsin30、.n二x)sin,冉3史xdx=(-1严,Dn=0,所以原定解问题的解为3n二二、试用分离变量法求以下定解问题1 .解令u(x,t)=X(x)T(t),代入原方程中得到两个常微分方程:丁(t)+a2儿T(t)=0,X(x)十九X(x)=0,由边界条件得到对九的情况讨论，只有当儿0时才

5、有非零解，令)sinu(x,t)=(-(-1)n1cosn1n二2 .解令u(x,t)=X(x)T(t),代入原方程中得到两个常微分方程:T(t)十九T(t)=0,X(x)+九X(x)=0,由边界条件得到九的情况讨论，只有当儿0时才有非零解,，242n2r?t为特征值，特征函数n二Xn(x)-Bnsin4n2二2tX(0)=X(4)=0,对令九=*,得到,再解T(t),得到Tn(t)=Cne16,于是u(x,t)=(Cne16sin皿，再由初始条件得到24Cn=402xsinn二xdx48u(x,t)=n116n1一(-1)en二16(-1)n二16sinn-：x4以原定解问题的解为3 .解由

6、于边界条件和自由项均与无关，令u(x,t)=v(x,t)+w(x),代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。因此U2y44-2+w(x)+16=4w(x)=16=w(x)=-2x2+c1x+c2,再由边界条-tFx件有w(0)=0,w(2)=8,于是G=8q=0,w(x)=-2x2十8x.再求定解问题22220H2；x2,V0x=05:x二2,t0二0一,、一.、,、一0,用分离变量法求以上定解问题，、V=-w(x),ft=0,0x二16nv(x,t)(-1)nn4n二323(-1)-1)cosn二tsinn二u(x,t)=8x-2x2八(-1)nn1n.解令u(x,t)=v(x,t)+w(

7、x)323(-1)n-1)cosn二tsinn二,代入原方程中，将方程齐次化,因此;：2V-2-二a21Vexw(x)cosx=.-w(x)cosx=0=1w(x)=-cosxaf2vft22V2,t0:x解问题=sin2x-1，、：v2cosxw(x),-aft上问t=0由达朗贝尔公式0,，、1、v(x,t)sin2(xat)-2cos(x-at)01,、.、-cos(aat)sin2(x-at)-a=sinxcosat一u(x,t)=sinxcosat-12a1-2acosxcosatcosxcosat口cosx.a四.解对y取拉普拉斯变换时对y取拉普拉斯变换得到pLu(x,y)=U(x,p)dk,Udxp,对方程和边界条件同,工，解这个微分方程P得至UU(x,p)=口x+y十工，再取拉普拉斯逆变换有u(x,y)=yx+y+1ppp所以原问题的解为u(x,y)=yx+y+1.五.证明由公式9(xn(x)dx=-xJn七(x)有xjn(x)-nJn(x)=xJn书(x),令n=1有xJi(x)-J1(x)=-xJ2(x),J0(x)=-J1(x),J0(x)=-J1(x),所以J2(x)=J1(x)十二Ji(x)x所以J2(x)=J0(x)-J0(x).x六.解由分离变量法，令u(r,e)=R(r)(日)，得到Q0u(r,e)=CnrnPn