弹性力学答案教学内容

1、【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号,正面正的应力负面上应力分量与面力分量符号相反。他面正的面力（图2-14）其应力状态接S.SS一【2-1】试分析说

2、明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中近于平面应力的情况。【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有zxzyz0,只存在平面应力分量x,y,xy,且它们不沿z方向变化，仅为x,y的函数。可以认为此问题是平面应力问题。【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15）,当板边上只受x,y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。【解答】板上处处受法向约束时z0,且不受切向面力作用，则xzyz0（相应zxzy0）板边上只受X,y向的面力或约束，所以仅存在x,y,x

3、y,且不沿厚度变化，仅为X,y的函数，故其应变状态接近于平面应变的情况。【2-3】在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条件件，试问将导出什么形式的方程?【解答】将对形心的力矩平衡条件MC0,改为分别对四个角点A、B、D、E的平衡条件，为计算方便，在z方向的尺寸取为单位1。Ma0ydx1dx（xxdx）dy1dy（Xy-dx）dy1dx2x2xMC0改为对角点的力矩平衡条Cdx八fxdxdy10dy)dxyyx-yxdy)dx1ydyfxdxdy1dy万(a)Mb0xydydx)dy1x1dxdy万yx丝dy)dx1dydxdy)dx1xdy1dy万ydx1dx万fxdxdydy-2fyd

4、xdy1dx万(b)Me/yx(ydy)dx1xydy1y2.,dx,x.、,xdx1(xdx)dy2x0dydxxdy1-yxdx1dydyfxdxdy1dyfydxdy1(c)dy)dx1dx2xdy1dyyxdx1dyydx1dx2(d)后合并同类项，分别得到xyyxo(x-xdx)dy1dy(xy-xydx)dy1dxfxdxdy15fydxdy1dx0x2x22略去（a）、（b）、（c）、（d）中的三阶小量（亦即令d2xdy,dxd2y都趋于0）,并将各式都除以dxdy【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。【2-9】试列出图2-17,图

5、2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。h1-xh2h2b图2-17【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件,图2-18若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15)。【解答】图2-17:上（y=0）左(x=0)右（x=b）l0-11m-100fxs0gyhgyh17ysg%00代入公式（2-15）得在主要边界上x=0,x=b上精确满足应力边界条件:g(yhi),xyx00；在小边界yg(y几),xyxb0；0上，能精确满足下列应力边界条件:gh,xy在小边界yh2上，能精确满足下列位移边界条件：u八0,v

6、八yh2yh2=1这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚时，可求得固定端约束反力分别为：Fs0,Fnghb,M0由于yh2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有:xyh2h2h2dxxdxdxghib(2-15)图2-18上下主要边界y=-h/2,y=h/2上，应精确满足公式fx(s)fyyh20-10qyh01-q102(y)y-h/2q,(yx)y-h/20,(y)yh/20,(yx)yh/2q1在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有h/2Jxy)x0dXFsh/2h/2h/9(x)xodxFnh

7、/2h/2h/2(x)xoydxM在x=l的小边界上，可应用位移边界条件uxl0,vxl0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力,按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力:Fx0,FnFnqilFnqilFnFy0,FsFsql0FsqlFs121q1lhMA0,MMFSl-ql-q1lh0MM222由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故h/2h/2(x)xldyFnqilFnFsIql2h/2h/2(x)xiydyMh/2h/2(xy)xidyFs粤M%1耳qlFs【2-19】试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力,即体力分量可以

8、表示为fqx则应力分2x=-rV,y程。量亦可2y=一rV,xV,fyV，其中V是势函数，y函数表示成为A.b/2b/2xy,试导出相应的相容方xyqb万2qb72b,1）将fx，fy带入平衡微分方程(2-2)yx图2-19将（a）式变换为为了满足式（b)fx0xyyxfy0xy(a)V)V)xyyxxy(b)即x2-y（2）对体力、V,应力分量-V,xfx,fy,xyxy求偏导数,将（c）式代入公式(2-21)22xy整理得：2Vx2Vfyx2x-2-x2y2xy2V2Vy22,x2Vx-2y2v2y2V(c)得平面应力情况下应力函数表示的相容方程2V2yy(1fy(2-21)即平面应力问题

9、中的相容方程为2Vx2V2y(12V2x2V2y(1(d)(1)2V,的平面应变情况下的相容方程:将（c）式代入公式（2-22）或将（d）式中的替换为2V2V(e)2v。证毕。3-8所示的矩形板和坐3ay总能满足应力函系表【3-4】试考察应力函数ay3在图中能解决什么问题（体力不计）?【解答】相容条件：不论系数a取何值，应力函数示的相容方程，式（2-25）.求应力分量当体力不计时，将应力函数代入公式（2-24）,得x6ay,y,xyyx0考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力左右边界上；当a0时，考察x分布情况，注意到xy0,故y向无面力左端：（x）x06ay0yhfyxyx

10、00右端：Wxxi6ay（0yh）fy（Xy）x,0应力分布如图所示，当l?h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心距e：因为在A点的应力为零。设板宽为的偏心距e：b,集中ex.p荷载p同理可知，(x)A当a0Pbh时pe2bh2/6,可0eh/6以解决偏心压缩问【3-6】试考察应力函数一Txy（3h24y2）,能满2h3足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）44

11、4一1222一4-0,显然满足xxyy（2）将代入式（2-24）,得应力分量表达式12Fxy0x.3,y0,xyyxh（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：3F2h(14y2h在主要边界上（上下边界）上，y0,应精确满足应力边界条件式（22-15),应力00yyh/20,yxyh/20因此，在主要边界yh上，无任何面力,2fxy0,fyy在x=l的次要边界上，面力分别为:0:fx14y21-F12Fly-3,fyh4y2h2因此，各边界上的面力分布如图所示:在x=0,x=l的次要边界上,x=0上、h/2_x向主矢：Fvh/2fxdy面力可写成主矢、主矩形式:x=l上h/2_0,Fn,fx

12、dyN2h/2x7、h/2-y向主矢：fg=h/2fydyF,h/2一FS2h/2他Fh/2一主矩：M尸由/2fxydy0，M2h/2h/2fxydyFl因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图:NWQr（b）F作用的问题。（a）因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力【3-10设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，数AxyBy2Cy3l?h(图3-12),试用应力函3.Dxy求解应力分重。【解答】采用半逆解法求解(1)将应力函数代入相容方程(2-25),显然满足(2)由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)2B6By06DxyO图3-9x

13、yyxA23Dy2(a)(3)考察边界条件主要边界yh/2上,应精确满足应力边界条件满足在次要边界h/2xyyh/2x=0上，应用圣维南原理,h/20,3_得A-Dh4(b)h/2xx0dyFnh/2h/2h/2h/2xx0ydyh/2写出三个积分的应力边界条件2B2B6Cydy6CyydyFnh/2h/2xyx0dy联立方程(b)(c)h/2Fsh/23Dy2dyFsAhFn2h2M-h3-Dh34Fs(c)3Fss,D2h2Fsh3最后一个次要边界然满足的，故不必在校核。上,在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必将系数A、B、C、D代入公式(a),得应力分量Fnh012M12Fs

14、Fyxy3Fs2h24工h2【3-11】设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次式的应力函数求解。口卜【解答】采用半逆解法求解依(1)检验应力函数是否?t足相容方程(2-25)3223设应力函数=AxBxyCxyDy,不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程(2-25)阴3-13(2)由式(2-24)求应力分量由体力分量fx0,fyg,将应力函数代入公式(2-24)得应力分量：x一fxx2Cx6Dy(a)y2y-rfyy6Ax2Bygy(b)y2xy2Bx2Cy(c)xy(3)考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。对于主要边界y0,其应力边界条

15、件为：将式(d)代入式(对于主要边界y(d)(e)lsin,(f)(g)(y)y00(yx)y0b),(c),可得A0,B=0xtan(斜面上)，应力边界条件:sinsin(x)yxtan(xy)yxtancoscos(yx)yxtan(y)yxtan00将式(a)、(b)、(c)、(e)代入式(Cgcot2f),D可解得g.2cot3将式(e)、(g)代入公式(a)、(b)、(c),得应力分量表达式cos.由公式(2-15),得应力边界条件2在斜面上没有面力作用，即三m0,该斜面外法线方向余弦为,gxcot2gycotgyxygycot4-3在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并

16、证明u可以满足此基本方程。【解】（1）设，代入几何方程中，教材中式（u4-2）得形变分量u(a)将式（a）代入物理方程，教材中式（4-3）E12得用位移表示的应力分量(b)将（b）式代入平衡微分方程，教材中式（14-1）,在轴对称问题中，平衡方程为(c)式（c）中的第二式自然满足，第一式为dudud2ud2ud2ududu1du1dudu2uu01dudu上式即为求的基本方程。（2）将代入式（d）,很显然满足方程。4-8试考察应力函数A3cos36a4-8图所示弹性体的何种受力问题?题4后用88图【解】本题按逆解法求解。(1)相容条件把应力函数代入相容方程显然是满足的。(2)由应力函数求应力分

17、量表达式6acos36a3cos31旦32cos36a2acos33q2a_U_26acos33sin3cos3q6a3cos32cos3cos3q6a3cos33q3sin36aq2sin32a求出边界上的面力qsin3a30面上,0,a面上,qcos3q;aqsin3；面力分布如解4-8图所示，因此上述应力函数可解决如图所示的受力问题。4-18设半面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为试求应力分量。【解】应用半逆解法求解。(1)按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应为应与有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形势组合。M如题4-18图所示,(2)(3)2应比应力的长度量纲高二次骞，可假设将。代入相容方程，得d26d2d412d212-2212-2221-2.d2d2d4厂1ddd2厂12d2d22厂d2420d2这是四阶常系数齐次微分方程,其特征方程为442求解特征方程它的根是12i,2i,340。因此，所给微分方程的通解为此处0,2,C1cos0,C1cos2C2sin所以C2sin2将系数修改为，有本题中结构对称于的数，从而得A=D=OAcos2Bsin2Cx轴，而M是反对称荷载,Bsin2C.