2019年电大高数基础形考1-4答案

1、2019 年电大高数基础形考1-4 答案高等数学基础作业一第 1章 函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（C）中的两个函数相等A.f ( x)(x) 2 ， g( x)C. f ( x) ln x3 ， g (x)设函数f ( x) 的定义域为 (A. 坐标原点C. y 轴xB.f ( x)x 2 ， g (x) x3 ln xD.f ( x)x 21x 1 ， g( x)1x, ) ，则函数 f ( x) f ( x) 的图形关于（ C）对称B. x 轴D.yx下列函数中为奇函数是（ B）A.yln( 1 x2 )B.yx cos xC.ya xa xD.yln(1x)

2、2C）下列函数中为基本初等函数是（A.yx1B.yxC.yx2D.y1 ,x01 ,x0下列极限存计算不正确的是（D ）A.limx 21B.lim ln(1 x)0x 2x2x 0C.limsin x0D.10lim x sinxxxx当 x0 时，变量（ C）是无穷小量A.sin xB.1xxC.x sin 1D.ln( x2)x若函数 f ( x) 在点 x0 满足（ A ），则 f ( x) 在点 x0 连续。A.limf ( x)f ( x0 )B.f ( x) 在点 x0的某个邻域内有定义x x0C.limf ( x)f ( x0 )D.limf ( x)lim f ( x)x x

3、0x x0x x0（二）填空题x 29ln(1 x) 的定义域是x | x 3函数 f ( x)3xx ，则 f (x) x2-x已知函数f ( x 1)x 2 lim (11 ) xx 2xlim(11)xlim(112 x 11)2e2x2xx2x1若函数 f ( x)(1x) x,x0 ，在 x0处连续，则 kexk ,x0函数 yx1 ,x0的间断点是x0sin x ,x0若 limf (x)A，则当 xx0 时， f ( x)A 称为xx0 时的无穷小量xx0（二）计算题设函数f (x)ex,x0x ,x0求： f (2) , f (0) ,f (1) 解： f 22 ， f 00，

4、 f 1 e1e2 x1的定义域求函数 y lgx2x1x0lg 2x1x1 或x0解： y有意义，要求解得xx 02x0则定义域为x | x0或 x12在半径为 R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数解：DAROhEBC设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为直角三角形AOE 中，利用勾股定理得h，即OE=h，下底CD2RAEOA2OE2R2h2则上底 2AE2 R2h2故 Sh2R2R2 h2h RR2 h22求 limsin 3x x 0 sin 2 xsin3 xsin3 x解： lim sin3 x3x3

5、 133lim3xlim3xx 0 sin 2xx0sin2x2xx 0sin2x21222 x2xx2求 lim1x1 sin( x1)解： limx21lim(x1)(x1)limx1112x1 sin( x1)x1sin( x 1)x1 sin( x1)1x1求 limtan 3x x 0x解： limtan3 xlimsin3 x1limsin3 x13113 3x 0xx0xcos3 xx03xcos3x1求 lim1 x21 x 0sin x解： lim1 x21lim( 1 x21)( 1 x21)limsin x(1x21)sin xx 0x 0x0 ( 1limx002sin

6、 x111x01x1)(x求 lim ( x1 )x xx311)x1 )x11(1(1x 1解： lim(xlim(x)xlimxlimxxx)33x1x3x1x(1)x3 3(1x )xxx23求 lim6x8 x 4x 25x4解： lim x26 x8x4x2lim x2422limx 4 x25x 4x 4 x 4 x 1x 4 x1413设函数(x2)2,x1f ( x)x ,1x1x1,x1讨论 f (x) 的连续性，并写出其连续区间解：分别对分段点x1,x1 处讨论连续性（ 1）x2x21)sin xe 1e 4e3limfxlimx1x1x1limfxlimx1110x1x1

7、所以 limfxlimf x，即 fx在 x1 处不连续x1x1（ 2）limfxlimx221212x1x1limfxlim x 1x1x1f11所以 limfxlimfxf1 即 fx 在 x1 处连续x1x 1由（ 1）（ 2）得 fx在除点 x1 外均连续故 fx 的连续区间为,11,高等数学基础作业二第 3 章导数与微分（一）单项选择题设 f (0) 0 且极限 limf ( x) 存在，则 lim f ( x)（C）x 0xx 0xf (0)f (0)A.B.C.f (x)D.0 cvx设 f (x) 在 x0 可导，则 limf ( x02h)f (x0 )h 02hA.2 f

8、( x0 )B. f (x0 )C. 2 f ( x0 )D.f ( x0 )设 f (x)ex ，则 limf (1x)f (1)（Ax0xA.eB.2eC.1 eD.1 e24设 f ( x)x(x 1)( x2)(x99) ，则 f (0)A.99B.99（ D ）（ D ）C.99!D.99!下列结论中正确的是（C ）A.若 f ( x) 在点 x0 有极限，则在点x0 可导B.若 f ( x) 在点 x0 连续，则在点x0可导C.若 f ( x) 在点 x0 可导，则在点 x0有极限D.若 f ( x) 在点 x0 有极限，则在点x0 连续（二）填空题设函数 f ( x)x2 sin

9、 1 ,x00x，则 f ( 0)0 ,x0设 f (ex )e2 x5ex ，则 d f (ln x)2 lnx5 dxxx曲线 f ( x)x1在 (1, 2)处的切线斜率是k12曲线 f ( x)y2sin x 在 ( , 1) 处的切线方程是x42设 yx 2x ，则 y2x2 x (1ln x)设 y1x ln x ，则 yx（三）计算题求下列函数的导数y ：31 y (x x 3)exy(x 23)ex3 x 2 exx2 ln xcsc22 ycot xyxx2x ln x yx 2y2x ln xxln xln 2x2 x2x ycos xx(sin xln 2)3( c o

10、xsx3yx42 (1)242 x )ln xx2sin x(12 x)(ln xx2 ) cos x yyxsin2 xsin x yx 4sin x ln xy4x3sin xcosxln xx 23xxx2 )3x ln 3 ysin x(cos x2x)(sin x3xy32xx yex tan x ln xyex t a nxe 21y ：c o s xx求下列函数的导数 ye 1 x2ye 1 x2x1 x2 y ln cos x33sin x223y3 3x3xtan x yx x x771y x 8y8x8 y3xx121y1( x x2 ) 3 (11 x 2 )32 yco

11、s2 exyex sin( 2ex ) ycosex2yx 2x22xesin e ysin nx cos nxyn sin n1 x cos x cosnxn sin n x sin( nx) y5sin x2y2x ln 5cosx2sin x25yesin2 xysin2 xsin 2xe yxx2ex2yxx2(xx22xln x) 2xeyx e xe e xyx e x( e xe x ln x ) e e xe xx在下列方程中，是由方程确定的函数，求 y cos xe2 yy cos x y sin x2e2 y yyy sin xcos x2e2 y y cos y ln x

12、y sin y.y ln x cos y. 1xycos ysin y ln x)x(1 2xsin yx2y2x cos y.y2 yxx2 y2 sin y2y (2 x cos yy：x 2)2yx2sin yy2y2y2xy2y sin y2xy 2 cos yx 2yxln yyy1yyyy1 ln xeyy 21e y y2 yyx1yx(2 yey ) y 21ex sin y2yyex cos y. ysin y.exyexsin y2 yex cos y eyexy3ey yex3y 2 yy ex 3y2 e y y5x2 yy5x ln 5y 2 y ln 25x ln

13、5y12 y ln 2求下列函数的微分d y ： y cot x cscxdy (1cos x )dxcos2 xsin 2 x yln xsin x1 sin x ln x cosxdyx2dxsinx y arcsin 1x1xdy1(1 x)(1x)1 x212 dx1x(1x)2dxx(1 x)1 () 21x y3 1x1x两边对数得：1ln(1x)ln(1 )ln yx3y111y(x1)3 1xy1 31x (111)31x 1 xx ysin 2 exdyxx3xsin(2exx2 sin e ee dx)e dx ytan ex3dy2x 33x2dx3x2ex32sec e

14、sec xdx求下列函数的二阶导数： y x ln xy1 ln xy1x y x sin xyyx cos xx sin xsin x2cosx y arctanxy1x 21y2x(1 x 2 ) 2 y3x2y2x3x2ln 3y4x2 3x2ln 2 3 2 ln 3 3x2（四）证明题设 f (x) 是可导的奇函数，试证f ( x) 是偶函数证：因为f(x) 是奇函数所以两边导数得：f (x)( 1)所以 f (x) 是偶函数。f (x)f ( x)f (x)f (x)f ( x)高等数学基础作业三第 4 章导数的应用（一）单项选择题若函数 f ( x) 满足条件（ D），则存在(

15、a , b) ，使得 f( )f (b)f (a)b在 (a , b) 内连续B. 在 (a , b) 内可导aA.C. 在 (a , b) 内连续且可导D. 在 a , b 内连续，在 ( a, b) 内可导函数 f ( x)x 24x 1 的单调增加区间是（D）A.(, 2)B. (1, 1)C.( 2,)D. (2,)函数 yx24x5在区间 ( 6,6)内满足（ A）A.先单调下降再单调上升B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升函数 f ( x) 满足 f( x) 0 的点，一定是f ( x) 的（ C）A.间断点B. 极值点C. 驻点D. 拐点设 f (x) 在 (a

16、 , b) 内有连续的二阶导数，x0(a , b) ，若 f ( x) 满足（C ），则 f (x)在 x0 取到极小值A. f ( x0 )0, f (x0 ) 0B. f ( x0 )0 , f (x0 )0C. f (x0 )0 , f (x0 ) 0D. f ( x0 )0 , f (x0 ) 0设 f (x) 在 (a , b) 内有连续的二阶导数，且f( x)0 ,f( x)0 ，则 f ( x) 在此区间内是（ A）A.单调减少且是凸的B. 单调减少且是凹的C. 单调增加且是凸的D. 单调增加且是凹的（二）填空题 设 f ( x)在 (a , b) 内 可 导 ， x0(a ,

17、b) ， 且 当 xx0 时 f ( x) 0 ， 当 xx0 时f ( x)0 ，则 x0 是 f (x) 的 极小值点若函数 f ( x) 在点 x0 可导，且 x0是 f ( x) 的极值点，则f( x0 )0函数 yln(1x 2 ) 的单调减少区间是 (,0) 函数 f ( x)ex2的单调增加区间是(0,)若函数 f ( x) 在 a , b 内恒有 f ( x) 0 ，则 f (x) 在 a , b 上的最大值是f (a) 函数 f ( x)25x 3x 3 的拐点是x=0（三）计算题求函数y( x1) (x5)2 的单调区间和极值令 y( x1)2( x5) 22( x5)(

18、x2)驻点 x2, x5列表：X(,2)2(2,5)5(5,)y+极大-极小+极大值： f ( 2)27y上升27下降0上升极小值： f (5)0求函数 yx22x3 在区间 0, 3 内的极值点，并求最大值和最小值令： y2x20x1(驻点 ）f (0)3f (3)6f (1)2最大值f (3)6最小值f (1)2试确定函数yax 3bx 2cxd 中的 a , b , c , d ，使函数图形过点 (2, 44) 和点(1, 10) ，且 x2 是驻点， x1是拐点448b 4b2x da1解：10abcdb3012a4bcc1606a2bd24求曲线 y 22x 上的点，使其到点A(2,

19、 0) 的距离最短解： 设 p(x, y)是 y 22x上的点 ，d 为 p 到 A 点的距离，则：d( x 2)2y 2( x 2)22 x令 d2( x2)2x 10x 12) 22) 22(x2x( x2xy22x上点 (1,2)到点 A(2,0)的距离最短 。圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？设园柱体半径为R，高为 h，则体积VR2 h(L2h2 ) h令 ：V h(2h)L2h2 L23h2 0L3hh3 L3R2 L当 h3 , R2 L时其体积最大 。333一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？设园柱体半径为

20、R，高为 h，则体积VR2 hS表面积2 Rh 2 R 22V2 R 2R令 ：S2VR24 RVR3R3 V022h34V答：当 R3 Vh34V2时表面积最大。欲做一个底为正方形，容积为62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底连长为x，高为 h。则：62.5x 2 hh62.5x 2250侧面积为： Sx24xhx2250x令 S2 x0x3125x5x2答：当底连长为5 米，高为2.5 米时用料最省。（四）证明题当 x0 时，证明不等式xln(1x) 证：由中值定理得：ln(1x)ln(1x)ln 111 (0)x(1x)11ln( 1 x)1xln(1x)(当 x0

21、时 ）x当 x0 时，证明不等式 exx 1 设 f (x)ex( x1)f ( x)ex10(当 x0时 ）当 x0时 f (x)单调上升且 f (0) 0f (x)0,即 ex(x 1)证毕高等数学基础作业四第 5 章 不定积分第 6 章 定积分及其应用（一）单项选择题若 f (x) 的一个原函数是1，则 f (x)（ D）1x12A. ln xB.x 2C.D.3xx下列等式成立的是（D）A f ( x)dxf ( x)B.df (x) f ( x) C. df (x)dxf (x) D.df (x)dx f (x)dx若 f ( x)cos x ，则 f( x)dx（ B）A.sin

22、xcB.cos xcC.sin xcD.cos x c dx2 f ( x3 )dx（ B）dx11A.f ( x3 )B.x 2 f ( x3 )C.f (x)D.f ( x3 )33若f (x)dxF (x) c ，则1f (x )dx（B）xA.F ( x) cB.2F ( x ) cC.F (2 x ) cD.1 F ( x) cxa 和 xb 所由区间 a , b 上的两条光滑曲线yf ( x) 和 yg( x) 以及两条直线 x围成的平面区域的面积是（C）bg( x)dxbf ( x)dxA. f (x)B. g (x)aabg( x) dxbg( x)dxC.f ( x)D. f ( x)aa（二）填空题函数