微分方程的基本概念ppt课件

1、第四章第四章 微分方程微分方程., )(yxfy求求已知已知 积分问题积分问题 .,yy求求及其若干阶导数的方程及其若干阶导数的方程已知含已知含 微分方程问题微分方程问题 推广推广 第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、问题的提出一、问题的提出二、微分方程的定义二、微分方程的定义解解xxy2dd 一、引例一、引例例例1 一曲线通过点一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点M(x,y) 处的切线的斜率为处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程求这曲线的方程 .设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式则有如下关系式: :21 xy

2、xxyd2,2Cx 将将 x = 1 , y = 2 x = 1 , y = 2 代入上式，解代入上式，解得得 : :C = 1 , 故所求曲线方程为故所求曲线方程为. 12 xy解解例例2 列车在平直的线路上以列车在平直的线路上以20米米/秒的速度行驶秒的速度行驶,当当 制动时列车获得加速度制动时列车获得加速度0.4米米/秒秒2,问开始制动后多问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？了多少路程？设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s=s(t) 米米 ,则有如下关系式则有如下关系式: :4 . 0dd22

3、ts,00 ts,200dd tts ttsvd0.4dd,4 . 01Ct tCtsd)0.4(1,2 . 0212CtCt 代入条件后知代入条件后知0,2021 CC,202 . 02tts ,204 . 0dd ttsv),(504 . 020秒秒 t).(5005020502 . 02米米 s开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需列车在这段时间内行驶了列车在这段时间内行驶了 1、微分方程定义、微分方程定义例例,xyy , 0dd)(2 xxtxt,32xeyyy 实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或

4、微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .二、微分方程的基本概念二、微分方程的基本概念注意注意: : 在一个微分方程中在一个微分方程中, ,自变量自变量, ,未知函数可以未知函数可以不出现不出现, ,但未知函数的导数但未知函数的导数( (或微分或微分) )一定要出现一定要出现. .凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. . （differential equation）2、微分方程的阶、微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶称为微分方程的阶. .例例: : 指出下列各微

5、分方程的阶指出下列各微分方程的阶;sin)1(43xyxyy ;12)2(53 yyyxy;1)3(5xyyy .)4(yy 分类分类1常微分方程：常微分方程：偏微分方程偏微分方程分类分类2 2一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶( n ( n 阶阶) )微分方程微分方程, 0),( yyxF. ),(yxfy 或或, 0),()( nyyyxF. ),()1()( nnyyyxfy或或未知函数是一元函数的微分方程未知函数是一元函数的微分方程. .代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解微分方程的解. . ,)(阶阶导导数数上上有有在在区区间间设

6、设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn 且且3、微分方程的解、微分方程的解 .0),()()(上上的的解解在在区区间间称称为为微微分分方方程程则则IyyyxFxyn ,00 ts200dd tts引例引例2 24 . 022dd xyxxy2dd 21 xy引例引例1 1 Cxy 22122 . 0CtCts tts202 . 02 12 xy4、微分方程的解的分类、微分方程的解的分类1) 若微分方程的解中含有独立的任意常数的个若微分方程的解中含有独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同数与微分方程的阶数相同,则称这解为微分方程则称这解为微分方程的通解的通解(general

7、 solution)., yy 例例.xCey 通通解解, 0 yy.cossin21xCxCy 通通解解的通解可表示为的通解可表示为阶阶0),()( nyyyxFn),(21nCCCxyy 2) 用一些条件确定通解中任意常数而得到的用一些条件确定通解中任意常数而得到的解称为微分方程的特解解称为微分方程的特解(particular solution).,00 ts200dd tts引例引例2 24 . 022dd xyxxy2dd 21 xy引例引例1 1 Cxy 22122 . 0CtCts tts202 . 02 12 xy通解通解特解特解特解的图象特解的图象: : 微分方程的积分曲线微分

8、方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .3) 用来确定微分方程通解中的任意常数的值的用来确定微分方程通解中的任意常数的值的称为定解条件称为定解条件.,00yyxx *0000,yyyyxxxx 一阶微分方程一阶微分方程:二阶微分方程二阶微分方程:定解条件通常也称为初值条件定解条件通常也称为初值条件(initial (initial condition).condition).,00 ts200dd tts引例引例2 24 . 022dd tsxxy2dd 21 xy引例引例1 1 ( (或初始条件或初始条件) )过定点的积分曲线过定点的积分曲线; 00),(y

9、yyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.5 5、初值问题、初值问题 (Cauchy (Cauchy 问题问题) )求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .练习题练习题1、函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解? 2、函函数数221CxeCy (21,CC为为任任意意常常数数)是是微微分分方方程程02 yyy的的什什么么解解? (A) 通解通解 ； (B) 解，但不是通解解，但不是通解 ；(C) 特解特解 ； (D)

10、 解，但不一定是通解解，但不一定是通解 .3、已已知知函函数数1 xbeaeyxx, ,其其中中ba , 为为任任意意常常数数, ,试试求求函函数数所所满满足足的的微微分分方方程程 . . xyy 14、已知曲线上点、已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 Q 且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分,求所满足的微分方程求所满足的微分方程. 02 xyy4、已知曲线上点、已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 Q 且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分,求所满足的微分方程求所满足的微分方程.x解解 如下图如下图, yYy

11、 1)(xX 令令 Y = 0 , 得得 Q 点的横坐标点的横坐标yyxX ,xyyx 即即. 02 xyy点点 P(x, y) 处的法线方程为处的法线方程为oXYQP微分方程微分方程; 微分方程的阶微分方程的阶; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始条件初始条件; 特解特解; 初值问题初值问题; 积分曲线积分曲线;三、小结三、小结 1 1、022 yxyyx是是_ _ _ _ _ _ _阶阶微微分分方方程程； 2 2、0dddd22 cQtQRtQL是是_ _ _ _ _ _ _阶阶微微分分方方程程； 3 3、 2sindd 是是_ _ _ _ _ _ _阶阶微微分分方方程程； 4 4、一一个个二二阶阶微微分分方方程程的的通通解解应应含含有有_ _ _ _ _个个任任意意常常数数 . . 练习练习3212例例 3 3 验证验证:函数函数ktCktCxsincos