微积分2-5隐函数及参数方程ppt课件

1、第五节第五节 隐函数及参数方程确定隐函数及参数方程确定函数的导数函数的导数一一 隐函数求导法隐函数求导法 对数求导法对数求导法参数方程确定函数的导数参数方程确定函数的导数小结小结1.定义:.称为隐函数所确定的函数由二元方程)(),(xyyyxF形式称为显函数.)(xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化问题问题: :隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导? ?如何求导如何求导? ?例如：例如：如何求导如何求导? ?, 0 yxeexy,333xyyx 一、隐函数的导数2.隐函数求导法方法一、方程两边微分，然后解出导数方法一、方程两边微分，然后解出导数. .例1

2、 设求求.dxdyxdyydxdyydxx333322 解解 方法一方法一 方程两边微分方程两边微分,333xyyx xy为中间变量，然后解出导数为中间变量，然后解出导数. .方法二、方程两边对方法二、方程两边对求导数，而将求导数，而将.)()(2222xyxydxdydxxydyxy 方法二方法二 方程两边求导方程两边求导.)(3332222xyxydxdyyxyyyx 注意：隐函数的导数仍是隐函数.例2 求由方程, 0 yxeexy所确定的隐函数所确定的隐函数.,0 xdxdydxdy的导数的导数y解 方程两边对x对导，对导，0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,xxexyedxdy

3、由原方程知由原方程知, 0, 0 yx. 1 000 xyxxxexyedxdy 例3 , 0sin21 yyx求求 .,22dxyddxdy求导，求导，解 方程两边对x 对导，,cos202 , 0cos211ydxdyyyyy 再对再对x.)cos2(sin4 )cos2(sin2)cos22(3222yydxdyyyydxddxyd 1 对数求导法2 适用范围:先在先在 两边取对数两边取对数, ,然后利用隐函数的然后利用隐函数的 求导方法求出求导方法求出y y的导数的导数. .)(xfy 求幂指函数求幂指函数和多个函数相乘的导数和多个函数相乘的导数. .)()(xvxu二、对数求导法幂指

4、函数求导：幂指函数求导：)0)()()( xuxuyxv先两端取对数先两端取对数uvylnln 然后两端对然后两端对)()()()(ln)()( )(xuxuxvxuxvxuyxv 对导，对导，dxuvdydxd)ln(ln 得，得，,ln1uuvuvyy 所以，所以，x例4.),0(sinyxxyx 求求设设解等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln xxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 上式两边对上式两边对x求导得求导得)1sinln(cos )ln(sin)(lnsinlnsinlnsinxxxxexxe

5、eyxxxxxx )sinln(cossinxxxxxx xxysin 的导数的导数 方法，求出方法，求出然后利用复合函数求导然后利用复合函数求导yxxeylnsin 转转化化为为指指数数函函数数例5.,)4)(3()2)(1(yxxxxy 求求设设解 等式两边取对数得等式两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy求求导导得得上上式式两两边边对对x4131)2(11121 xxxxyy4131)2(111)4)(3()2)(1(21 xxxxxxxxy)(tx 设设函函数数,)()(中中在参数方程在参数方程 tytx ),(1xt 具具有有单单调调连连续续的的反反

6、函函数数)(1xy, 0)()(),( ttytx 且且都都可可导导, ,再再设设函函数数, ,也称参数方程为参数式函数也称参数方程为参数式函数. .方法一、分别对方法一、分别对yx,求微分求微分, ,通过微商得到导数通过微商得到导数. .)()()( ,)(ttdtdydttdydttdx 三 参数方程确定函数的导数dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt 由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dtdxdtdydxdy 故故方法二、方法二、.cotsincos .,sincostabtatbdtdydxdytbytax 解例6求求设椭圆方程设椭圆方程注

7、意:参数式函数的导数仍是参数式函数.解, 12cos12sincos1sincossin2 tdtdytttaatadxdy例7.2)cos1()sin(处处的的切切线线方方程程在在求求摆摆线线 ttayttax).22( )12(,),12(2 axyaxayayaxt ：即即所求切线方程为所求切线方程为时时当当，, , 二二阶阶可可导导若若函函数数 )()( tytx )(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt )()()()()(322tttttdxyd 即即例8的的二二阶阶导导数数. .求求星星形形线线 taytax33sinc

8、os解dxdy)sin(cos3cossin322ttatta .tant )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 .sin3sec4tat 例9 设抛射体的运动方程为 2220102121sincosgttvgttvytvtvx 求抛射体在时刻求抛射体在时刻 的与动方向和速度大小的与动方向和速度大小. .t解 先求运动的方向 在 时刻的运动方向，即 轨道的切线方向， 可由切线的斜率来反映.tvxvyv0vxyo 设切线的倾角为设切线的倾角为 , ,那那么么 ,)()21(tan12122vgtvtvgttvdxdy 再求速度的大小再求速度的大小 水平分速度为水平分速度为 ,1vdtdxvx 铅直分速度为铅直分速度为 ,2gtvdtdyvy 故在故在 时刻抛射体的速度为时刻抛射体的速度为 t.)(222122gtvvvvvyx 五、小结 隐函数求导法则：直接对