流体力学课件第3章流体运动的基本原理

1、1第一节、流体运动的描述方法第一节、流体运动的描述方法 一、拉格朗日法（一、拉格朗日法（lj） 以流体质点作为着眼点，以流体个别质点随时间的以流体质点作为着眼点，以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点运动确定整个流动。运动为基础，通过综合足够多的质点运动确定整个流动。22、质点位置方程（即、质点位置方程（即轨迹方程）轨迹方程）),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx1、基本思想：质点系法、基本思想：质点系法说明：说明：3（1）流速方流速方程程 均为（均为（a，b，c，t）的函数。）的函数。 tzutyutxuzyx；222222tzatyatxazyx；（2）加速

2、度加速度方程方程 4二、欧拉法（二、欧拉法（IM）1、基本思想：流场法基本思想：流场法2、流场描述、流场描述 流场的运动要素及相关物理量都是时、空坐标流场的运动要素及相关物理量都是时、空坐标（x,y,z,t）的连续函数）的连续函数 ： ），（tzyx欧拉变量欧拉变量（1）欧拉）欧拉速度方程速度方程 ），（），（），（tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx5（2）欧拉加速度）欧拉加速度（难点难点） 确定加速度需要确定加速度需要跟定流体质点跟定流体质点，即此时，即此时x，y，z不再不再是任意的空间点，而是流体质点在运动过程中先后经过是任意的空间点，而是流体质点在运动过程中先后经过的点，成

3、为时间的点，成为时间t的函数，所以该流体质点的速度应写为：的函数，所以该流体质点的速度应写为：),(),(),(ttztytxuu其中位置坐标对时间的导数等于速度矢量：其中位置坐标对时间的导数等于速度矢量：),(),(zyxuuuudtzyxd），（tzyxuu6dtdzzudtdyyudtdxxutudtudazuuyuuxuutuazyxzuuyuuxuutuaxzxyxxxxzuuyuuxuutuayzyyyxyyzuuyuuxuutuazzzyyxzz即即或或），（tttuztuytuxuuzyxp*、基于质点的运动过程分析、基于质点的运动过程分析），（tzyxuup质点移动的距离为质

4、点移动的距离为:），（zyxP流体质点的速度为：流体质点的速度为：经经 t后，该流体质点运动到后，该流体质点运动到），（tuztuytuxPzyxtu 在在P点流体质点的速度为：点流体质点的速度为：Pxpzytu O7），（），（tzyxutttuztuytuxuzyx泰勒泰勒展开，忽略高阶微小量展开，忽略高阶微小量：ttuzuuyuuxuutzyxuttutuzutuyutuxutzyxuuuuzyxzyxpp）（），（），（8tuat0lim加速度定义：加速度定义：ppuuu位变加速度位变加速度：时变加速度时变加速度：恒定流：恒定流：tuzuuyuuxuuazyx9均匀流：均匀流：固定空间

5、点速度随时间变化引起的加速度；（非稳态）固定空间点速度随时间变化引起的加速度；（非稳态）速度随位置变化引起的加速度。（非均匀）速度随位置变化引起的加速度。（非均匀）时变加速度等于零；时变加速度等于零；位变加速度等于零。位变加速度等于零。（1）水位恒定）水位恒定（2）水位变化）水位变化10例：例：直线过直线过O（0，0）和）和B（8，6），若流体质点沿该直线），若流体质点沿该直线以速度以速度)/( 322smyxu解：解：xyxxyxauux33cos2222yyxyyxauuy33sin2222xtuyuuxuuaxxyxxx9ytuyuuxuuayyyyxy922229yxaaayxxOy

6、（x，y）B11运动，求质点在运动，求质点在B点的点的加速度。加速度。)/(90366492)(smaB一、流动分类一、流动分类1、层流与紊流、层流与紊流 有序性。有序性。 水头损失与流速的水头损失与流速的1次方成正比；次方成正比； 在流速较小且雷诺数在流速较小且雷诺数Re较小时发生较小时发生; 遵循遵循牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律，粘性抑制质点作横向运动。，粘性抑制质点作横向运动。vdRedydu12第二节、流体运动的若干概念第二节、流体运动的若干概念特点：特点：层流 流体质点不互相混杂，流体质点流体质点不互相混杂，流体质点有条不紊地作有条不紊地作直线直线运动。运动。（1）层流）层流(2)紊

7、流紊流质点相互混掺，流体质点沿不规则的路径运动。质点相互混掺，流体质点沿不规则的路径运动。特点特点:无序性、随机性、有旋性、混合性无序性、随机性、有旋性、混合性水头损失与流速的水头损失与流速的1.752次方成正比次方成正比在流速较大且雷诺数较大时发生在流速较大且雷诺数较大时发生13紊流,2紊流中质点运动要素具有随机性（蚁群运动），流紊流中质点运动要素具有随机性（蚁群运动），流速的大小、方向随机变化。速的大小、方向随机变化。2.恒定流与非恒定流恒定流与非恒定流（1）恒定流（定常流、稳态流）恒定流（定常流、稳态流） 流场中各空间点上的流体运动参流场中各空间点上的流体运动参数均不随时间而变化：数均不

8、随时间而变化：0tU0 0 0tututuzyx， 严格的恒定流只可能发生在层流。严格的恒定流只可能发生在层流。 紊流中，若紊流中，若时均流速时均流速不随时间变化，可认为是恒定不随时间变化，可认为是恒定流：流： 或或TdtuTu01液液位位140tu（2）非恒定流）非恒定流 （非定常流、非稳态流）（非定常流、非稳态流） 流体流动空间点上各运动参数与随时间有关的流动：流体流动空间点上各运动参数与随时间有关的流动：至少一个不等于至少一个不等于0。液液位位15），（，zyxtUUtU0tututuzyx，A、流动随时间按一定规律变化；、流动随时间按一定规律变化；B、流场中任意空间点的、流场中任意空间

9、点的运动要素不随时间变化；运动要素不随时间变化；C、各过流断面的速度分布相同；、各过流断面的速度分布相同；D、各过流断面的压强相同。、各过流断面的压强相同。 恒定流是：？恒定流是：？3.均匀流与非均匀流均匀流与非均匀流（1）均匀流：）均匀流：流体质点在运动过程中流体质点在运动过程中速度速度不变的流动。不变的流动。 1） 质点流速平行，过水断面是平面；质点流速平行，过水断面是平面；2）同一流线上各）同一流线上各质点速度相等；质点速度相等；3）沿程各过水断面形状和大小保持一样。）沿程各过水断面形状和大小保持一样。（2）非均匀流：）非均匀流：流线不是平行直线的流动。流线不是平行直线的流动。 0su1

10、6特点：特点：0su特点：特点： 流速大小或方向或二者同时沿程改变，即沿流程方流速大小或方向或二者同时沿程改变，即沿流程方向速度分布不均，如收缩管、扩散管或弯管中的流动。向速度分布不均，如收缩管、扩散管或弯管中的流动。174、一元流、二元流、三元流、一元流、二元流、三元流 按液流运动要素所含按液流运动要素所含空间坐标变量空间坐标变量的个数分为：的个数分为： 流动流体的运动要素是一个空间坐标的函数。流动流体的运动要素是一个空间坐标的函数。流动要素是二个空间坐标的函数。流动要素是二个空间坐标的函数。 运动要素是三个空间坐标函数。水运动要素是三个空间坐标函数。水在断面形状与大小沿程变化的河道中流在断

11、面形状与大小沿程变化的河道中流动，水对船的绕流，大坝泄水等：动，水对船的绕流，大坝泄水等：t)(s,uut)y,(x,uut)z,y,(x,uu181、迹线：、迹线： 例：例： 消去参数消去参数t并给定（并给定（a，b，c）即得相应质点的迹线方）即得相应质点的迹线方程。程。 （1）拉格朗日法迹线方程）拉格朗日法迹线方程），（tcbaxx），（tcbayy），（tcbazz某一质点在某一某一质点在某一时段时段内的运动内的运动轨迹轨迹曲线。曲线。（2）欧拉法迹线方程）欧拉法迹线方程 若质点若质点P在时间在时间dt内从内从A点运点运动到动到B点，则质点移动速度为：点，则质点移动速度为：dtrdu得迹

12、线方程得迹线方程:dtdzdydxzyxuuuYOABZ202、流线流线 表示表示某一瞬时某一瞬时流体各点流动流体各点流动趋势的曲线，其上任一点的趋势的曲线，其上任一点的切线切线方向方向与该点流速方向重合。即同与该点流速方向重合。即同一时刻不同质点的速度方向线。一时刻不同质点的速度方向线。性质：性质： 1）流线不能相交；）流线不能相交；3）流场中每一点都有流线通过，所有流线形成流谱；）流场中每一点都有流线通过，所有流线形成流谱； 2）流线不能是折线，而是一条光滑曲线）流线不能是折线，而是一条光滑曲线;4）非稳态流场流线随时变；稳态流场流线不随时间变；）非稳态流场流线随时变；稳态流场流线不随时间

13、变； 21rv演示演示1演示演示3演示演示2 设设r为为流线上某一位置流线上某一位置的矢径，的矢径，u是该点的速度矢是该点的速度矢量。因速度与流线相切，量。因速度与流线相切，所以流线微元段对应的矢所以流线微元段对应的矢径增量径增量dr必然与该点的速必然与该点的速度度u平行平行,则：则：2.1流线方程流线方程 u0rdu0rdukujuiuuzyx0kdydxuujdxdzuuidzdyuudzdydxuuukjirduyxxzzyzyx22kdzjdyidxrdZOuY根据行列式的性质，有：根据行列式的性质，有：23例例 ：已知流速场方程如下，：已知流速场方程如下，C为常数，求流线方程。为常数

14、，求流线方程。 02222zyxuyxCyuyxCxu，zyxudzudyudx流线微分方程流线微分方程24解：由流线微分方程解：由流线微分方程zyxudzudyudx2222yxCydyyxCxdxydyxdxyCxlnlnln1xCy1200Czdzuz，又该流线为该流线为OxyOxy平面上的一簇通过原点的平面上的一簇通过原点的直线，这种流动称为平面直线，这种流动称为平面点源点源流动（流动（C C0 0时）或平面时）或平面点汇点汇流动（流动（C C0 0时）时） 。将：将：t=0， x=-1,y=-1时，时，C=-1解：（解：（1）由流线方程）由流线方程tyutxuyx，yxudyudxt

15、ydytxdxCtytxlnlnln）（）（25例例3-4： 平面流动速度分布方程如下平面流动速度分布方程如下1xy试求：试求： 1）t=0时，过点时，过点M（-1，-1）的流线；）的流线；2）求在）求在t=0时位于时位于x=-1，y=-1点处流体质点的迹线。点处流体质点的迹线。得瞬时流线：得瞬时流线：Ctytx）（(t=0时，x=-1，y=-1,得C1=0, C2=0，即所求迹线方程为：11tecxt12tecyt（2）由迹线方程）由迹线方程:dtudyudxyx由非齐次线性常微分方程求解通式得：由非齐次线性常微分方程求解通式得：dttydytyutxuyxdttxdx02 yx1 tx1

16、ty迹线与流线的比较迹线与流线的比较概概念念 定定 义义 备备 注注流流 线线 表示流体流动趋势的一条曲线，在表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，描述了流场中不同质点与其相切，描述了流场中不同质点在同一时刻的运动情况。在同一时刻的运动情况。 t为参变量。为参变量。 迹迹 线线指某一质点在某段时间内的运动轨指某一质点在某段时间内的运动轨迹，它描述流场中同一质点在不同迹，它描述流场中同一质点在不同时刻的运动情况。时刻的运动情况。 t为自变量。为自变量。 zyxudzudyudxdtudzudyudxzyx27三、流管、流束、总流三、流

17、管、流束、总流28 在流场中取一条不与流线重合的封闭曲线，那么通过在流场中取一条不与流线重合的封闭曲线，那么通过该曲线的所有流线构成的管状曲面称为该曲线的所有流线构成的管状曲面称为流管流管；管中的流体；管中的流体称为称为流束流束；无限多微元流束组成的总的流束称；无限多微元流束组成的总的流束称总流总流。流管表面有流体进出吗？流管表面有流体进出吗？WHYWHY？四、过流断面、湿周和水力半径四、过流断面、湿周和水力半径29 与流线处处相垂直与流线处处相垂直的断面（曲面或平面）。的断面（曲面或平面）。过流断面内的流体与固体壁接触线的长度过流断面内的流体与固体壁接触线的长度 （m）。）。 过流断面的面积

18、过流断面的面积与湿周之比与湿周之比:AR 21dA2A1A1v1n2n1vdA1、过流断面：、过流断面：2、湿周、湿周：3、水力半径、水力半径：30五、流量与平均流速五、流量与平均流速2、平均流速、平均流速 假定过流断面假定过流断面A上的流体质点都以上的流体质点都以v速速度流动，即度流动，即AqudAAvvAudAqvAAv11、流量、流量:单位时间内流过过流断面的流体量。单位时间内流过过流断面的流体量。AvudAqAmudAq*、体积流量、体积流量*、质量流量、质量流量:在在过流断面过流断面A上取微元面积上取微元面积dA, u为微元上的点速为微元上的点速,则则31六、渐变流过流断面的性质（六

19、、渐变流过流断面的性质（im）、渐变流过流断面近似平渐变流过流断面近似平面，其上各点的流速方向近乎平行；面，其上各点的流速方向近乎平行；、渐变流渐变流过流断面近似平过流断面近似平面，其上各点的动（水）压强近似面，其上各点的动（水）压强近似按静压强规律分布，即同一过流断按静压强规律分布，即同一过流断面上：面上：Cgpz证明证明:（zx）：）：P621、系统及其特点、系统及其特点 系统是指确定不变的物质集合；系统以外的物系统是指确定不变的物质集合；系统以外的物质称为外界；系统与外界的分界面称为边界。质称为外界；系统与外界的分界面称为边界。特点：特点：32t1t3t2研究系统用拉格朗日法描述研究系统

20、用拉格朗日法描述2 2、控制体及其特点、控制体及其特点 在流场中划定的一个固定的在流场中划定的一个固定的空间区域空间区域，该区域完全被，该区域完全被流动流体所充满。控制体的边界面是一个封闭曲面流动流体所充满。控制体的边界面是一个封闭曲面( (控制控制面面) )。采用欧拉法研究采用欧拉法研究33特点：特点：控制体的边界面固定不变；控制体的边界面固定不变；控制面上可以有质量和能量交换；控制面上可以有质量和能量交换；控制面上受到控制体以外流体或固体控制面上受到控制体以外流体或固体施加在的力；施加在的力；占据控制体的流体质点随着时间是在占据控制体的流体质点随着时间是在不断更换。不断更换。第三节第三节

21、有旋流运动和无旋流动有旋流运动和无旋流动一、流体质点的运动特点一、流体质点的运动特点 2、流体流体微团微团平移：平移：保持原状和方位保持原状和方位转动转动：形状不变、方位变：形状不变、方位变变形：变形：线变形、角变形线变形、角变形 1、 刚体刚体：平移、转动或兼而有之。：平移、转动或兼而有之。二、涡量及旋转角速度二、涡量及旋转角速度kzjyix流速场的旋度矢量。流速场的旋度矢量。zyxuuuzyxkjiurotu 1、涡量、涡量kujuiuuzyx哈密顿哈密顿算子算子涡量涡量旋度旋度36) , ,(zyxzyxxyzxyzkjikyuxujxuzuizuyu）（）（）（kuuyxjuuxziu

22、uzyuuuzyxkjiyxxzzyzyx展开：展开： 原来互相垂直的两邻边原来互相垂直的两邻边的角转速平均值角转速平均值定义为流体微团绕某转轴的角速度。2、角速度及数学描述、角速度及数学描述设在设在Oxy平面内，微团平面内，微团ABCD经过经过 t时间后到达时间后到达ABCD:dxdtxuADx的伸长*、AD的伸长的伸长xuxxx2d1ddyyuuyydyyuuxxdxxuuyydxxuuxxxuADBCdxdtxuy ADBCCDBdydtyuxdydxdydxyuyx0zdtxudxdxdtxutgdyy11dtyudydydtyutgdxx22*、直角、直角DAB的减小的减小2d1dd

23、yyuuyydyyuuxxdxxuuyydxxuuxxxuADBCdxdtxuy ADBCCDBdydtyuxdydxdydxyuyx0z）（xuzuzxxoz21同理可得：同理可得：根据根据角速度角速度的定义的定义(顺顺-、逆、逆+）: )(21)(21yuxuxyyxxoyZ轴轴X轴轴Y轴轴z , ;21yudtdxudtdxyyx）（zuyuyzyoz21yx2d1ddxdtxuy ADBCCD Bdydtyuxdydxyx0zzxyzyzxyxyzxyuxuxuzuzuyu212121212121）（）（）（下标代表？下标代表？（坐标轴）（坐标轴）0. 0至少有一个不为、zyx 流体质

24、点（微团）在运动中不仅发生平动（或形变），流体质点（微团）在运动中不仅发生平动（或形变），而且绕着而且绕着自身的瞬时轴线自身的瞬时轴线作旋转运动。作旋转运动。 （如：旋风、旋流器中的强制涡）。（如：旋风、旋流器中的强制涡）。41 涡量是矢量，和流线一样可定义涡线，该线上任意一涡量是矢量，和流线一样可定义涡线，该线上任意一点的切线与涡量的方向一致。点的切线与涡量的方向一致。0rdzyxdzdydx0 rduzyxudzudyudx流线方程流线方程或或00zyx2、无旋运动：、无旋运动： 流体在运动中，流体质点或微团只有平动或变形，但流体在运动中，流体质点或微团只有平动或变形，但不发生旋转运动。即

25、流体质点或微团不绕其自身任意轴转不发生旋转运动。即流体质点或微团不绕其自身任意轴转动。动。 说明：说明：3、无旋运动的特性、无旋运动的特性速度有势速度有势 无旋运动：无旋运动：0u 若某矢量的旋度为若某矢量的旋度为0，该矢量必然是某个，该矢量必然是某个标量函数标量函数 （势函数）（势函数）的的梯度梯度（即全导数），即（即全导数），即:gradu流体在环形流道中的流动一定为有旋运动。（流体在环形流道中的流动一定为有旋运动。（ ）判断：判断： graduzuyuxuzyx，即即kxjxix例：例： 流速场如下流速场如下 ，流动是无旋流还是有旋流？若为无旋，流动是无旋流还是有旋流？若为无旋，求势函数

26、。求势函数。解（解（1）确定角速度：）确定角速度：0zyxuaxuayu，；）（）（0002121zuyuyzxu或或该流动为无旋流，所以为有势流该流动为无旋流，所以为有势流. ；）（）（02121aayuxuxyz；）（）（0002121xuzuzxy0kyuxujxuzuizuyuxyzxyz）（）（）（对速度函数积分即得势函数：对速度函数积分即得势函数：axydxyaxdyydxaaxdyaydxdyudxuyx）（）（由势函数的定义：由势函数的定义：0022zyxuuyzku，zuyaxuxayuzyx0，kyzkyjyzkzkyzykjyzzkikyuxujxuzuizuyuuxyz

27、xyz2222222222002200）（）（）（）（）（）（解：解：zyxdzdydx由涡线微分方程：由涡线微分方程：得得2222yzkydzyzkzdyydzzdyCyz220022zyxuuyzku，47第四节、流体运动基本方程第四节、流体运动基本方程一、连续性微分方程一、连续性微分方程 在流场中取边长为在流场中取边长为dx,dy,dz的微元的微元6面体为控制体。面体为控制体。设中心点的流速分别为：设中心点的流速分别为：zyxuuu,以以X 向为例向为例，研究控制体内流体的，研究控制体内流体的质量质量变化。变化。左表面流速：左表面流速：dxxuuuxx21左右表面流速：右表面流速：dxx

28、uuuxx21右xzydx48dt时间内在时间内在X 方向方向流出、流进流出、流进微元体的流体微元体的流体质量差质量差：dydzdtdxxuudydzdtdxxuuxxxx)(21)(21dxdydzdtyuMyy)(dxdydzdtyuMzz)(同理：同理：课后自导课后自导左右M-MMxdxdydzdtxux)(xzy49 dt dt时间内各方向流出、流进控制体的流体质量差之和时间内各方向流出、流进控制体的流体质量差之和应等于控制体内因密度变化而应等于控制体内因密度变化而减少减少的质量，即：的质量，即：dxdydzdttMMMzyxdxdydzdttdxdydzdtzuyuxuzyx)()(

29、)(不受流体性质和流动类型的限制。不受流体性质和流动类型的限制。（3-18）0)()()(tzuyuxuzyx流体连续性微分方程流体连续性微分方程50（1）恒定流连续性方程）恒定流连续性方程0)()()(zuyuxuzyx（2）不可压缩流体连续性方程）不可压缩流体连续性方程0zuyuxuzyx（3-20）（3-22）例：给定速度场和密度场分布为：例：给定速度场和密度场分布为：tykyyzjzitxu4332，）（解：根据连续解：根据连续性方程性方程0301404304232）（）（）（yzttyyyztztxy满足连续方程满足连续方程,流场存在。流场存在。51）（zuyuxuzuyuxutzy

30、xzyx流场是否存在？流场是否存在？0)()()(tzuyuxuzyx例：已知三维例：已知三维不可压缩不可压缩流场，流场，X和和Y方向的速度分别为方向的速度分别为. 32zyxuzxyzxyuyzxu），求（，根据根据不可压缩不可压缩流体的连续性方程：流体的连续性方程：0zuyuxuzyx由已知）（，zxyuxxuyx 2zxzuz积分得积分得Czxzuz22152解：解：53二、理想流体运动微分方程二、理想流体运动微分方程1、受力分析、受力分析（以（以X向为例）向为例）（1）表面力）表面力取以任意点（取以任意点（x,y,z)为中为中心的六面体，中心压强心的六面体，中心压强为为，各侧面压强，各

31、侧面压强通过中心点压强做泰勒通过中心点压强做泰勒级数展开取一阶微量级数展开取一阶微量:ppppzyxxzyMN2dxxpp2dxxpp54X方向表面力方向表面力左：左：dydzdxxppApM)2(右：右：dydzdxxppApN)2(（2）质量力）质量力dxdydzfdVfxx牛顿定律：牛顿定律：xxmaF xzyMN2dxxpp2dxxppoX方向质量力方向质量力即即速度的质点导数速度的质点导数55xzyMN2dxxpp2dxxppo)2()2(zuuyuuxuutudxdydzdxdydzfdydzdxxppdydzdxxppxzxyxxxx速度的质点导数速度的质点导数化简整理得：化简整

32、理得：zuuyuuxuutuxpfxzxyxxxx1（3-24）56同理可得同理可得Y、Z方向的结果。即：方向的结果。即：zuuyuuxuutuypfyzyyyxyy1zuuyuuxuutuzpfzzzyzxzz1zuuyuuxuutuxpfxzxyxxxx1uutupf)(1（3-24）（3-25）（一）、受力分析（一）、受力分析1、质量力、质量力dxdydzfzdxdydzfydxdydzfxzyx:向向向三、三、粘性流体粘性流体运动方程运动方程2、表面力表面力zyzxzzyzyxyyxzxyxxpzpypx、方向垂直的微元面上与、方向垂直的微元面上与、方向垂直的微元面上与:57xxpdx

33、xppxxxx58yxyxxyxuyu)(zyzyyzyuzu)(xzxzzxzuxu)(xxpdxxppxxxx3、广义牛顿内摩擦定律与切应力互等定理、广义牛顿内摩擦定律与切应力互等定理*下标的意义及正负号约定（下标的意义及正负号约定（P71页）页）： 第第1个角标：应力作用面的法线方向；个角标：应力作用面的法线方向； 第第2个角标：应力的作用方向个角标：应力的作用方向切应力互等定理切应力互等定理59xxpdxxppxxxx60）（）（）（zuyuxuzuppzuyuxuyuppzuyuxuxuppzyxzzzzyxyyyzyxxxx3223223224、实际流体动压强（正应力）、实际流体动

34、压强（正应力）)(31zzyyxxpppp正应力和线变形速率之间的关系：正应力和线变形速率之间的关系：61dxdydzfx:质量力X向受力汇总向受力汇总右右上上后后左左前前下下61dxdydxdzdydzpdxdydzzdxdzdyydydzdxxppzxyxxxzxzxyxyxxxxx 负向：）（）（）正向：（)()()(）（xuzuzdydxdzzdydxdxdzdyydxdzdydzxppdydzpdxdydzfdtdudxdydzzxyxzxzxyxyxyxxxxxxxxx625、不可压缩实际流体运动微分方程、不可压缩实际流体运动微分方程(N-S方程方程)xuppxxx2yxyxxyx

35、uyu)(xzxzzxzuxu)(xxxxxuxpfdtdu2163zzzuzpfdtdu21yyyuypfdtdu212222222zyx2222222zuyuxuuxxxxxxxuxpfdtdu21拉普拉普拉斯拉斯算子算子64N-S方程方程de矢量形式为：矢量形式为：upfuutuDtuD21非定常项非定常项对流项对流项单位质量力单位质量力单位质量流单位质量流体的压力差体的压力差扩散项或扩散项或粘性力项粘性力项（1）理想流体：粘度为）理想流体：粘度为0zpfdtduypfdtduxpfdtduzzyyxxzpfaypfaxpfazzyyxx111N-S方程的几个特例方程的几个特例65zpf

36、ypfxpfzyx000zpfypfxpfzyx111（2）静止流体：速度项为）静止流体：速度项为0确立了确立了(应力应力)和和(速度速度)之间的关系方程。之间的关系方程。. ;2 ;2yuppxuppyyyxxx. ;）（xuyuyxyxxy不可压缩流体为例不可压缩流体为例66xuppxxx2xxp附加粘性正应力附加粘性正应力xupxxx22）正应力可看成由两部分组成：）正应力可看成由两部分组成：xxxxppp+附加粘性正应力附加粘性正应力压力压力即即67Pppxuxxxxx|00Pppxuxxxxx|00Pppxuxxxxx|00加速加速减速减速等速等速附加正应力的产生是由于速度沿流动方向

37、变化的结果附加正应力的产生是由于速度沿流动方向变化的结果:xxxxupxxx2xxxxppp表现为拉表现为拉表现为压表现为压3）由于附加粘性正应力的存在）由于附加粘性正应力的存在, 压力在数值上一般不等于压力在数值上一般不等于正应力值：正应力值：3)(zzyyxxpppP68 即：粘性流体中的压强等于给定点上任意三个相互垂即：粘性流体中的压强等于给定点上任意三个相互垂直微元面上法向应力的算术平均值。直微元面上法向应力的算术平均值。第五节、欧拉运动微分方程的积分第五节、欧拉运动微分方程的积分1、积分条件、积分条件69dzfdyfdxfdWzyxC0 , 0tutututpzyxdtudzdtud

38、ydtudxzyx,积分条件说明积分条件说明dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)(70;1;1;1dtduzpfdtduypfdtduxpfzzyyxx;1;1;1dzdtdudzzpdzfdydtdudyypdyfdxdtdudxxpdxfzzyyxx左右相加左右相加71dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)(不可压缩流不可压缩流体定常流动体定常流动:定常流动：流线、定常流动：流线、迹线迹线重合重合xxxxxxduuduuduudtudzdtudydtudxzyx;dp1

39、dW)2(2ud！分析！分析！72)2(12uddpdWCupW220)2(2upWd或或73gfffzyx, 0, 0)()(gzddzgdWCgugpz22不可压缩理想流体沿不可压缩理想流体沿流线的伯努利方程流线的伯努利方程CupW22那么那么xyz0g（3-34）项目项目名称名称物理意义物理意义位置水头位置水头单位重量流体的位置势能单位重量流体的位置势能 压强水头压强水头单位重量流体的压强势能单位重量流体的压强势能 速度水头速度水头单位重量流体的动能单位重量流体的动能 测压管水头测压管水头 单位重量流体的总势能单位重量流体的总势能 总水头总水头单位重量流体的机械能单位重量流体的机械能74

40、讨论：讨论：Cgugpz22zgpgu22gugpz22gpzCgugpzgugpz222222211176二、粘性不可压缩流体二、粘性不可压缩流体恒定流恒定流伯努利方程伯努利方程upfDtuD21积分条件积分条件：有势质量力作用、不可压缩、恒定流：有势质量力作用、不可压缩、恒定流0)2(0)2(0)2(222222zyxuupWzuupWyuupWxdtudzdtudydtudxzyx恒定流：恒定流：0770)()2(2222dzudyudxuupWdzyxRzyxdwdzudyudxu)(222切应力在流线微元长度切应力在流线微元长度dl上所作的功：上所作的功：0)2(2RwupWd沿流线

41、积分沿流线积分CwupWR22质量力为重力，垂直向上为质量力为重力，垂直向上为z轴正向，则有：轴正向，则有：CwupgzR2278212222222111RRwupgzCwupgz沿流线取沿流线取1、2两点，则有两点，则有)(1221222222111RRwwggugpzgugpz2222222111lhgugpzgugpz* 理想流体沿流线流动时，各水头之间可能变化或理想流体沿流线流动时，各水头之间可能变化或互相转化，但互相转化，但(水头水头 总和总和)是是(不变不变)的：的：* 实际流体沿流线流动时，各水头之间可能变化或实际流体沿流线流动时，各水头之间可能变化或互相转化，且互相转化，且(水

42、头水头 总和总和)(必然沿程降低必然沿程降低)。21HH HHH212222222111lhgugpzgugpz80一、流速势函数一、流速势函数与与拉氏方程拉氏方程;,的函数都只是yxuuyxxyyxuu0)(21yuxuxyxoy的必要条件。存在某个原函数其是),(yxdyudxuyx即即yxyxdududyyxxdd81yxuyux ;存在条件：存在条件：恒定、无旋。恒定、无旋。即即根据不可压缩流体连续性方程根据不可压缩流体连续性方程:0uuyxyx可得：可得：02222yx拉普拉斯方程拉普拉斯方程适用条件适用条件：恒定、不可压缩流体有势流动。恒定、不可压缩流体有势流动。82 无旋是势函数

43、存在的（无旋是势函数存在的（充分必要充分必要）条件，（）条件，（无旋流无旋流）也称（也称（有势流有势流）。）。无旋必有势，有势必无旋。无旋必有势，有势必无旋。势函数的应用与意义势函数的应用与意义02222yx),(yx伯努力方程压强Pyxuyux ;Cgugpz22*应用应用83 把求解欧拉运动微分方程的把求解欧拉运动微分方程的非线性问题非线性问题化解为求解特化解为求解特定边界条件下的拉普拉斯方程的定边界条件下的拉普拉斯方程的线性问题线性问题。*意义意义二、流函数二、流函数1、流函数与拉普拉斯方程、流函数与拉普拉斯方程对恒定、平面流动对恒定、平面流动,由连续性方程有：由连续性方程有：0uuyxyxyxyxuu84的充要条件）的全微分（是某个函数是dyxdyudxuxy,-dyudxudxyxuyuyx ;流函数流函数存在条件：存在条件：恒定、不可压缩流体平面流动。