第13讲中位线

1、第13讲中位线K学习目标1探索并证明三角形中位线定理.2能利用中位线进行计算和证明.考情分析中位线是有平行四边形性质推导得出的一个结论，应用它来证明线段的倍分关系和线段平行，比用全等和平行四边形来得更方便.在中考试卷考查有两种题型，一是直接考查中位线的质量为位置关系，一般出现在填空或选择中，相对比较容易；二是以中位线为手段证明其它结论，一般出现在解答题中.基础知识轻松学、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.精讲：一个三角形有三条边，三条边上共有三个中点，每两个中点的连线段共有三条,即有三条中位线，这三条中位线将原三角形分成四个全等的三角形.如图13-1,连接三角形三边中点的ADE

2、F称为中点三角形，其周长是AABC周长的一半,面积是MBC面积的四分之一.ABDC图13-1、三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.1符号语言：（如图13-2）TDE是AABC的中位线，二DE/BC,且DE=BC2精讲：三角形中位线定理的证明：已知：如图13-2，在AABC中，D,E分别是AB,BC边的中点.1试说明：DE/BC,DE=丄BC2理由：如图13-3，延长ED到点F，使得DF=DE,连接BF.易证：ABDFADE,/BF=AE,/F=ZAED,DF=DE.BF/CE,/DE是ABC的中位线，/AE=CE,/BF=CE1四边形FBCE为平行四边形，

3、EF/BC,EF=BC,DE/BC,DE=1BC三、推论如图13-2，若点D为AB的中点，E为AC上一点，DE/BC,则点E为AC的中点.精讲：这个结论证明思路如图13-3，过点B作BF/AC,交ED延长线于点|F.可证明ABDFADE，即BF=AE.再证明四边形BFEC为平行四边形，得BF=CE,即可得到点E为AC的中点.重难疑点轻松破一、中位线反映了线段间的平行和数量关系三角形的中位线定理，反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系;是数量关系位置关系可证明两直线平行；数量关系可证明线段的倍分关系.例1:如图13-4,ABC中，D,E分别是BC,AC的中点，BF平分/ABC，交D

4、E于点F，若BC=6,则DF的长是（）D.4c.52图13-4分析：由于D,E分别是BC,AC的中点，所以DE是ABC的中位线，根据中位线定理可知DE/AB,所以/BFD=ZABF;又由于BF又由于BF平分/ABC，所以/ABF=ZCBF,就可证得ABDF为等腰三角形，要求DF的长，只需求DF的长，只需求BD的长即可.1BC=3.解：D,E分别是BC,AC的中点，BD=-2DE/AB,./BFD=ZABF./BF平分/ABC，/ABF=ZCBF,/BFD=ZCBF,DF=BD=3.所以本题选B.点评：当题中有中点时，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题.本

5、题是采用中位线来证明两直线平行.变式练习1:如图13-5,D是AABC内一点，BD丄CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）D.11D.11C.10A13-5例2:如图13-6，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE=DC,连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点0,连接0F.求证:AB=20F.13-6分析：点0是平行四边形两条对角线的交点，所以点0是线段AC的中点,=20F，我们只需证明点F是BC的中点，即证明0F是ABC的中位线，证明要证明ABF是BC的中点有两种方法，方法一是证明四

6、边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分来证明；方法二是证明ABFECF，利用全等三角形对应边相等来证明.解：四边形ABCD为平行四边形，AB/CD,AB=CD，点0是AC的中点CE=DC,四边形ABEC是平行四边形.点F是BC的中点，0F是ABC的中位线，AB=20F.点评：由于中位线等于三角形第三边长的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的半或两倍时，且题中出现中点的时候，常常考虑使用中位线定理.变式练习2:已知：在如图13-7的口ABCD中，M,N分别是AB,CD的中点，AN与图13-7图13-7DM相交于P,BN与CM相交于Q.求证：PQ与MN互相平分.、补全三角形，

7、使得中点连线段成为中位线当一个图形中出现具有公共端点的两条线段的中点时，可考虑连接另外两个端点，构造三角形，使得中点连线段成为中位线.例3:如图13-8，已知M,N,P,Q分别为线段AB,BD,CD,AC的中点，四边形MNPQ是平行四边形吗？为什么？13-81分析：由于P,N分别是CD，BD的中点，考虑使用中位线定理，得到PN-BC，21运用同样的方法可证明QMBC,然后通过一组对边平行且相等，即可证明四边形MNPQ2是平行四边形.答：四边形MNPQ是平行四边形理由：连结BC.vM,N,P,Q分别为线段AB,BD,CD,AC的中点,PN,QM分别为BCD和厶ABC的中位线PN二-BC,QM二1

8、BC.22PN二QM.四边形MNPQ是平行四边形.点评：点P,点N分别是CD,BD的中点，很显然PN是厶BCD的中位线，所以考虑连接BCD补全，然后运用中位线定理解决问题.变式练习3:如图13-9，在ABC中，E,F分别是AB,BC的中点，M,N是AC的三等分点，EM,FN的延长线相交于点D.求证：四边形ABCD是平行四边形.图13-9三、构造具有公共端点的线段，借用三角形中位线解决问题例4:如图13-10，四边形ABCD中,例4:如图13-10，四边形ABCD中,则线段MN的取值范围是（AB=2,CD=3,M,N分别是AD,BC的中点,13-1013-10分析：M,N虽然是AD,BC的中点，

9、但分析：M,N虽然是AD,BC的中点，但MN却不是三角形的中位线，可考虑连接BD,).A.1vMNv5B.1vMNAC,=12,AC=10,求DE的长.C. 挑战题组7.在ABC中,BCAC,动点D绕AABC的顶点A逆时针旋转,且AD=BC,连结DC.过AB,DC的中点E,F作直线，直线EF与直线AD,BC分别相交于点M,N.(1)如图13-18，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的AMF=ZBNEAMF=ZBNE中点H，连结HE,HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论/(不需证明).(2)当点D旋转到图13-19或图13-20中的位置时，/AMF与/BNE有

10、何数量关系?请分别写出猜想，并任选一种情况证明.图13-18图13-19图13-20K中考试题初体验1.(2013黑龙江绥化，14,1.(2013黑龙江绥化，14,3分)如图13-21，在平行四边形ABCD中，对角线AC,AD,AB的中点，EF交AC于点H，则如的值为(HCBD相交于点O,点E,F分别是边C第14题图2.(2013山东滨州，17,是边CD的中点，且AB=6,BC=10,贝UOE=五、我的错题本图13-214分)在ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点,参考答案变式练习1. D解析：BD丄CD,BD=4,CD=3，根据勾股定理可知BC=5,又E,F,G,H15分别是AB,AC,

11、CD,BD的中点，所以EH=FG=AD=3,EF=HG=BC=，所以22四边形EFGH的周长是11.2. v四边形ABCD是平行四边形，AB/CD且AB=CD11M,N分别是AB,CD的中点，DN=NC=-CD,BM=AM=AB.22DN/BM且DN=BM,DN/AM且DN=AM,NC/BM且NC=BM,四边形DMBN,ADNM,MNCB是平行四边形.11 PM/BN,DM=BN,PM=DMNQ=一NB22 PM/NQ且PM=NQ,四边形PMQN是平行四边形，PQ与MN互相平分3连接BM,BN,BD,BD交AC于点O/EM是AABN的中位线，EM/BN同理：FN/BM,四边形BMDN是平行四边

12、形，OB=OD,OM=ON.AM=CN,OA=OC,四边形ABCD是平行四边形.4找到BC的中点H，连接MH,NH.1/M,H为BE,BC的中点，MH/EC,且MH=EC21/N,H为CD,BC的中点，NH/BD，且NH=BD2/BD=CE,MH=NH.HMN=ZHNM;/MH/EC,：/HMN=ZPQA，同理/HNM=ZQFA.AFQ为等腰三角形，AF=AQ.课堂作业1.平行四边形解析：HG,EF分别是ACD,1.平行四边形解析：HG,EF分别是ACD,ABC的中位线，可证AC,BD.DE是厶ABF的中位线.3.TEF是厶ABC的中位线,/MN是厶BCF的中位线,MN/-BC.21EF/AC

13、_2ACE=/FCEIEC=ECAEC=/FECDE=-BF=-(BC-CF)=-(BC-AC)=-(20-14)=3.2222EF/MN，四边形MNFE是平行四边形.BC和AD的一半，EF等4. B解析：EG,FG分别为BCD,ACD的中位线，分别等于于两底差的一半.5. 延长CD交AB于点F./AD平分/BAC,CD丄AD,111AF=AC=10,CD=DF,DE=BF=(AB-AF)=(AB-AC)=1.2226.延长AD,BC交于F./DAC=/BAC,AC=AC，/ACB=/ACF=90ABCAFC, BC=FC,/F=/ABC=50/E为BD的中点，EC/AF,/BCE=/F=50 /ACE=40图13-22:/AMF=/BNENDF汕C;FHHaNDVXAEBAEB图13-22图13-23图13-23:/AMF=ZBNE证明：如图13-22,图13-23，取AC的中点H，连结HE,HF1F是DC的中点，H是AC的中点，HF/AD,HF=-ADAMF=ZHFE.21同理，HE/CB,HE=-CB，