立体几何专题训练附复习资料

1、立体几何图1-4图1-6DG5空间中的垂直关系18. 、2014 广东卷如图1-4 ,四边形ABCD为正方形，PDL平面ABCD/ DPC= 30°,AF丄PC于点F, FE/ CD交PD于点E.(1) 证明：CF丄平面ADF(2) 求二面角D- AF - E的余弦值.19. 、2014 湖南卷如图1-6所示，四棱柱ABCDABCD的所有棱长都相等，A8 BD =0, AQQ BD= O,四边形 ACCA和四边形 BDEB均为矩形.(1) 证明：OO丄底面ABCD(2) 若/ CBA= 60°,求二面角 C-OBD的余弦值.又因为四棱柱 ABCD ABCD的所有棱长都相等，

2、所以四边形 ABCD是菱形,19.解：(1)如图(a)，因为四边形 ACC1为矩形，所以 CC丄AC同理DD丄BD 因为CC/ DD,所以CC丄BD而A8 BD= O,因此CC丄底面ABCD由题设知，OO/ GC故OO丄底面ABCD(2)方法一：如图，过O作OH丄OB于H,连接HC.由(1)知，OO丄底面因此AC丄BD,从而 AC丄平面BDDB，所以AC丄OB,于是 OB丄平面 OHC 进而OB丄CH故/ CHO是二面角C-OB D的平面角.不妨设 AB= 2.因为/ CBA= 60°，所以 0B= . 3, 0(= 1, 0B= 7. 00，OB在 Rt 00B 中，易知 0H=0

3、B.而 0C = 1，于是 CH= ： i:oC + 0H =21 + 7 =即二面角C-OB-D的余弦值为 葺兴2 .'5719 .直角坐标系 O-xyz，不妨设AB 2.因为/ CBA= 60°, 的坐标为0(0 , 0, 0),B(萌，0, 2) , 0(0 , 1 , 2).易知，ni= (0 , 1, 0)是平面BDDB的一个法向量.方法二：因为四棱柱 ABCDABCD的所有棱长都相等，所以四边形 ABC毘菱形，因此y轴，z轴，建立空间所以0B=3, 00= 1,于是相关各点r)2 SB = 03x+ 2z = 0,即n2 - 0C = 0,y + 2z= 0.n2

4、= (2 , 2 3, , 3).0是锐角，于是=亜=2畅|n 1| - |n2| = 79= 19 .2 i 57故二面角C- OEJ- D的余弦值为二半厂.19.、2014 江西卷如图1-6，四棱锥 P - ABCDK ABCD矩形，平面 PAD_平面ABCD设圧=(x, y, z)是平面OBC的一个法向量，则取 z = 3，则 x = 2, y = 2 .3,所以设二面角C- OB- D的大小为B,易知n - n2 cos 0 = |cos ，| =(1)求证：ABL PD(2)若/ BPC= 90°, PB= 2, PC= 2，问AB为何值时，四棱锥 P- ABC啲体积最大?

5、 并求此时平面 BPC与平面DPC夹角的余弦值.19.解： 证明：因为 ABCD为矩形，所以 AB丄AD又平面PADL平面 ABCD平面PADT平面ABCAD所以AB!平面 PAD故AB1 PD(2)过P作AD的垂线,垂足为 Q过O作BC的垂线，垂足为 G连接PG故PQL平面 ABCD BC丄平面PQG BCL PG在 Rt BPC中 , PG=, GC= 6 , BG=.333所以当m=£ ,即 AB=P - ABCD勺体积最大.R设AB= m贝y QP=7 PG- qG=/3 m ,故四棱锥 P - ABC的体积为V= 3X6 m-芒-m = 8-贰因为诃8-6m =78m-6m

6、=此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为Q0 , 0 , 0), B 专，-f , 0 , C 中,晋,0 , D 0,竽,0 , P 0, 0 , f ,故 PC = 专,竽,-扌,BC= (0 , 6 , 0) , CD=冷,0 , 0 .设平面BPC的一个法向量为 m = (x , y , 1),6 2 6 6 rx+w则由m丄PC m丄BC得 336y= 0 ,y -= 03，解得x = 1,y = 0,则 m= (1 , 0 , 1).同理可求出平面DPC的一个法向量为1n2= 0 , - , 1 .设平面BPC与平面DPC的夹角为e,贝y cos e = 105 .1

7、9. 2014 辽宁卷如图1-5 所示, ABCA BCD所在平面互相垂直，且 AB= BC= BD= 2, / ABC=Z DB= 120 ° , E , F 分别为 AC DC的中点.(1)求证：EF丄BC 求二面角E- BF- C的正弦值.19.解:(1)证明：方法n证出 EOQA FOC 所以/ EOC=Z FOC= ，即卩 FOL BC 又 EO BC, E6 FO= 0,所以 BC丄平面EF0又EF?平面EF0所以EFL BCA图1方法二，由题意，以 B为坐标原点，在平面 DBC内过B作垂直BC的直线，并将其作为 x轴，BC所在直线为y轴，在平面 ABC内过B作垂直BC的

8、直线，并将其作为 z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系，易得 B(0 , 0, 0) , A(0，- 1,3) , Q,3, 1, 0) , C(0 , 2,0),因而 E(0 , 2，f)，F(#，2，0)，所以 Wf=(¥, 0 , -) , BC= (0 , 2 , 0),因此 BC =0,从而目丄BC,所以EFL BC(2)方法一，在图1中，过点0作OGL BF,垂足为G连接EG因为平面ABCL平面BDC 所以ECL面BDC又OGL BF,所以由三垂线定理知 EGL BF,_J32因此/ EGO二面角E- BF C的平面角.1 1在厶 EOC中 , EO= 2EC= 2BC-

9、 cos 30由厶 BGg BFC知,OG=|°- FC-43 ,因此 tan / EG=器 2,从而得 sin / EG= 2,即二面角E-BF-C的正弦值为方法二，在图2中，平面BFC的一个法向量为 6 = (0 , 0 , 1).设平面BEF的法向量6= (x, y, z),又 §F=(f，2, 0) , BE= (0 , 2, ¥)，n2 BF= 0,所以 -得其中一个n2= (1 , - 3, 1).n2 BE= 0,设二面角 EBFC的大小为B ,且由题知 e为锐角，则cos 0 = |cos <ni,压| =ni n21Ini| n2|=5,因

10、此sin 0 =£ = 2-，即所求二面角正弦值为 三”.19. G5、Gi2014 新课标全国卷I 如图 1-5，三棱柱 ABC-ABC中，侧面 BBCC为菱形，ABL BC(1) 证明：AC= AB;(2) 若 ACL AB，/ CBB= 60°, AB= BC 求二面角 A-AB -C 的余弦值.19.解：(1)证明：连接BC,交BC于点Q连接AO因为侧面BBC1C为菱形，所以BC 丄BC ,且Q为BC及BC的中点.又ABL BC,所以BC丄平面 ABO由于AC?平面ABQ故BC丄A0又 BQ= CQ 故 AC= AB.(2)因为ACL AB ,且Q为BC的中点，所以

11、 AO= CO又因为AB= BC所以 BQ澤 BQC故 QAL QB从而 QA QB QB两两垂直.以Q为坐标原点，QB的方向为x轴正方向，| QB为单位长，建立如图所示的空间直角 坐标系O xyz.y3 ,30,-亍，ABi = AB= 1,因为/ CBB= 60°,所以 CBB为等边三角形，又 AB= BC则A0 , 0 , 3 , B(1 , 0 ,30), B 0 , £ 0 , C0，申,0 . AB= 0 ,彳,B1C= bc= -1,-申,o .设n= (x, y, z)是平面AABi的法向量，则n AB= 0,x-¥z = 0.T 即 n AiB

12、= 0,所以可取n= (1 ,3,3).设m是平面ABC的法向量，m- AB= 0,mBO = 0,同理可取m= (1 , - 33).贝U cos n, mn mI n| m = 7.1所以结合图形知二面角 A-Ai B - O的余弦值为7-18. , 2014 四川卷三棱锥A- BOD及其侧视图、俯视图如图 1-4所示.设 M N 分别为线段 AD, AB的中点，P为线段BC上的点，且 MNLNP(1) 证明：P是线段BC的中点；(2) 求二面角 A- NP- M的余弦值.18解：(1)如图所示，取 BD的中点O,连接AO CO由侧视图及俯视图知， ABD BCD为正三角形，所以 AOL

13、BD OCL BD因为 AO OC?平面 AOC 且 AOH OC= O, 所以BDL平面AOC又因为AC?平面AOC所以BDL AC取BO的中点H,连接NH PH又M N, H分别为线段 AD AB BO的中点，所以 MNZ BD NH/ AQ 因为ACL BD 所以NHL BD因为MNL NP所以NPL BD因为NH NP?平面NHP且NHH NP= N,所以BDL平面NHP 又因为HP?平面NHP所以BDL HP又 OCL BD HF?平面 BCD OC?平面 BCD 所以 HP/ OC因为H为BO的中点，所以P为BC的中点. 方法一：如图所示,作 NQL AC于Q,连接MQ由知，NP/

14、 AC所以NQL NP因为MNL NP,所以/ MNQ二面角 A - NP - M的一个平面角.由知， ABD BCD为边长为2的正三角形，所以 AO= OC= 3. 由俯视图可知，ACL平面BCD因为OC平面BCD所以ACL OC因此在等腰直角厶 AOC中 , AC=J6. 作BFL AC于R因为在 ABC中 , AB= BC所以R为AC的中点，因为在平面 ABC内 , NQLAC BFLAC 所以NQ/ BR又因为N为AB的中点，所以 Q为AR的中点,BR帧所以nq=2=同理，可得MCV04故AMN等腰三角形， 所以在等腰 MNd ,MN BDcos / MNQ£ _ 4 _ .

15、 10 NOT NOT 5-故二面角A - NP- M的余弦值是丄05方法二：由俯视图及 可知，AOL平面BCD因为OC OB?平面BCD所以AOL OC AOL OB又OCL OB所以直线OA OB OC两两垂直.如图所示,以 O为坐标原点，以 OB OC OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立 空间直角坐标系 O -xyz.则 A(0, 0 , 3) , B(1 , 0 , 0) , qo, 3 , 0) , Q 1 , 0 , 0).因为M N分别为线段 AD AB的中点，又由(1)知，P为线段BC的中点，所以M 1 0 逅,N1 0並,P1犬0，于是AB= (1 , 0,2 222

16、22 ?BC=(1, ,3, 0) , MN= (1 ,0, 0), NP= 0,设平面ABC的一个法向量ni= (xi, yi, zi),ni 丄 AB 由ni丄BCni 得niAB=0,即BC= 0,(xi, yi, zi)( i, 0, - 3)= 0,(xi, yi, zi)(- i,3, 0)= 0,Xi占Zi = 0, 从而Xi +i = 0.取 z= i,则 xi= 3, yi = i,所以 ni=(3, i, i). 设平面MNP勺一个法向量n2= (X2, y2, Z2)，由，n2丄 MNn2 MN= 0'得'm丄 NPn2 NF= 0,(X2,y2,Z2)(

17、i, 0, 0)= 0,即(X2, y2, Z2)0,=0,X2= 0,从而-j"2"y20.n2| n2|ADL AB取 Z2= i,则 y2= i, X2= 0，所以 n2= (0 , i, i).ni 设二面角 A - NF - M的大小为 e ,贝y cos e =-1 ni| (V3, i, i )( 0, i, i)V5 x/2 5 .故二面角A-NPM的余弦值是517.、2014 天津卷如图1-4所示，在四棱锥P- ABCD中, PA!底面 ABCD, AB/ DC AD= DC= AP= 2, AB= 1,点 E为棱 PC的中点.证明：BE! DC(2)求直

18、线BE与平面PBD所成角的正弦值； 若F为棱PC上一点，满足 BF丄AC求二面角F - AB- P的余弦值.17解：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系 (如图所示),可得B(1 ,0,E(1 , 1, 1).故 BE- DC= 0,所以BEL DC向量 BD= ( 1, 2, 0) , PB= (1 , 0, - 2) 设n= (x, y, z)为平面 PBD的法向量，则 n- B*0,即-X+ 2y = 0, n - PB= 0 ,x 2z= 0.n - BE2 一鱼一一 3 ,不妨令y = 1，可得n= (2 , 1, 1)为平面PBD勺一个法向量于是有cos n , BE&g

19、t; =一 i丨nI be寸承所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为匚33(3) 向量 BC= (1 , 2 , 0) , CP= ( 2, 2 , 2) , AC一 (2 , 2 , 0) , AB= (1 , 0 , 0) 由 点F在棱PC上 ,设 CF= X CP, Ow X w 1.故 BF= BO CF= BO X CP= (1 2X , 2 2 X , 2 X).由 BFLAC 得 BF- AC= 0,因此2 , 2 .设 m- (x , y , z)为平面 FAB2(1 2 X ) + 2(2 2X ) 一 0,解得 X = 3,即 BF= 1 ,42的法向量，则ni AB=

20、0,ni BF= 0,FAB的一个法向量.取平面ABP勺法向量n2= (0，1，0)，则cos ， >n1 n2 33 '10|n 1| |n2| = -=10"易知二面角F - AB- P是锐角，所以其余弦值为3 '1010方法二：(1)证明：如图所示，取PD中点M连接EM AM由于E, M分别为PC PD的1中点，故 EM/ DC,且EM= qDC又由已知，可得 EM/ AB且EM= AB故四边形 ABEM为平行四边形，所以BE/ AM因为PAL底面 ABCD故PAL CD而CDL DA 从而 CDL平面PAD因为AM?平面PAD 所以 CDL AM又 BE

21、/ AM 所以 BEL CD即 113 不妨令z = 1,可得ni= （0，- 3, 1）为平面2x+2+2z= 0.(2)连接BM由(1)有CDL平面PAD得CDL PD而EM/ CD故PDL EM又因为 AD= AP, M为PD的中点，所以 PDL AM可得PDL BE所以PDL平面BEM故平面 BEML平面PBD 所以直线BE在平面PBD内的射影为直线 BM而BE! EM可得/ EBM为锐角，故/ EBM为直线 BE与平面PBD所成的角.依题意，有PD= 2 2 ,而M为PD中点，可得 AM=2, 进而BE= . 2.故在直角三角形BEM中 ,tan / EBM=EM= AB= 1 bT

22、Be=_ 2 ,因此 sin / EBI=所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为(3)如图所示,在厶 PAC中 ,过点 F作FH/ PA交AC于点H因为PAL底面 ABCD所以 FHL底面 ABCD从而FHL AC又BF丄AC得ACL平面FHB因此ACL BH在底面ABCD内 , 可得CH= 3HA从而CF= 3FP在平面PDC内 ,作FG/ DC交PD于点G,于是DG= 3GP由于 DC/ AB故GF/ AB所以A, B, F, G四点共面.由 AB丄PA ABL AD得ABL平面PAD故 ABL AG所以/ PAG二面角F - AB- P的平面角.1x/10在厶 PAG , PA= 2

23、, PG= 4PD=,/ APG= 45° .由余弦定理可得 AG=-y , cos / PAG3 .'1010所以二面角F - AB- P的余弦值为3 -'101020.、2014 浙江卷如图1-5，在四棱锥 A-BCD即，平面 ABCL平面BCDE/ CDE =Z BED= 90°, AB= CD= 2, DE= BE= 1, AC= 2.(1) 证明：DEI平面ACD(2) 求二面角B- AD- E的大小.20.解： 证明：在直角梯形 BCDE，由DE= BE= 1，CD= 2,得BD= BC= 2, 由 AC=2, AB= 2,得 AB= AC+ B

24、C,即卩 ACL BC又平面ABCL平面BCDE从而ACL平面BCDE所以ACL DE又DEL DC从而DEL平面ACD(2)方法一：过B作BFL AD与AD交于点F,过点F作FG/ DE与AE交于点G连接BG由(1)知 DEL AD贝U FGL AD所以/ BFG是二面角 B - AD - E的平面角.在直角梯形 BCD中,由cD= bC+ bD ,得 BDL BC又平面ABCL平面BCDE得BD丄平面ABC从而BDL AB由ACL平面BCDE得ACL CD在 Rt ACD中 ,由DC= 2 ,AC=. 2,得AD=. 6.在 Rt AED中 ,由ED= 1 ,AD=, 6,得AE=, 7.

25、2 yt 322在 Rt ABD中 ,由 BD= 2 , AB= 2 , AD= . 6,得 BF=- , AF= "AD 从而 GF= ；ED=3 3323.在厶ABE ABG，利用余弦定理分别可得 cos / BAE= 5l47, BG= |在厶BFG中cos / BFG=gF+ bF- bG 32BF- GF =亠nn所以，/ BFG，即二面角 B - AD- E的大小是 ：.66方法二：以D为原点，分别以射线 DE DC为x, y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D - xyz，如图所示.由题意知各点坐标如下：Q0, 0, 0)_, E(1 , 0, 0), C(0 , 2, 0

26、),A(0 , 2,2) , B(1 , 1, 0).设平面 ADE的法向量为 m= (X1, y,乙)， 平面ABD的法向量为n=(X2 , y2 , Z2).可算得 AD= (0, - 2, -2) , AE= (1 , - 2, -2) , DB= (1 , 1, 0).nr AD= 0 ,- 2y1 2z1= 0 ,由 t即厂m- AE= 0 ,X1 - 2y1 2Z1= 0 ,可取 m= (0 , 1, -2).3_im nl = 3 X 2由题意可知，所求二面角是锐角，于是 |cos m nn AD= 0 ,由 T 即n AB= 0 ,可取 n= (1 , - 1 ,-2y2 -2

27、Z2= 0 ,X2 + y2= 0 ,.2).| m- n|I =n 故二面角B - AD- E的大小是：.619., 2014 重庆卷如图1-3 所示,四棱锥P-ABCD ,底面是以O为中心的菱形，POLn1底面 ABCD AB= 2, / BAD= , M为 BC上一点，且 BM= - , MPL AP3 2(1) 求P0的长；(2) 求二面角 APMC的正弦值.图1-319.解：(1)如图所示，连接 AC BD因为四边形 ABCC为菱形，所以 AS BD= O且 ACL BD以O为坐标原点，OA AB AP勺方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz.因为/ BAD=

28、n,所以OAAB-cos-6 = 3 , OE= AB- sin 看=i,0) , 4.3, 0, 0) , B(0 , 1, 0), C( 3, 0,所以O0, 0,(3， 1, o)-由 BM= 1, BC= 2 知，BM=扌詐手,1, 0 ,0), Sb= (0, i, 0), BC=从而6m=血 BM=工4即 m-¥，4,0.34, a,社乎-4鳥,PMC勺法向量为n2 = (X2,设 P(0 , 0, a), a> 0,则XP= ( 一 .3,0, a)，/P=诗,=0，即一4 + a = 0,所以 a= 或 a= 2（舍去），即(2)由知，AP= 3, 0,三3AP

29、M勺法向量为ni= (xi, yi, zi)，平面由 ni - AP= 0, ni - MP= 0，得.3xi+-Zi = 0,_-故可取 ni= i," , 2 .存討討0,3由 n2 - MP= 0 , n2 - CP= 0,得333Tx24y2+TZ2=0 ,故可取 n2= (i , 2).3x2+ -z2= 0 ,从而法向量ni , n2的夹角的余弦值为ni - n2电；I ni| - | n?| =5 ,cosni, n2故所求二面角 A PMC的正弦值为亠J5G3平面的基本性质、空间两条直线4. 20I4 辽宁卷已知mn表示两条不同直线，a表示平面. A.若 m/a ,

30、n /a ,贝 U m/ n.因为MPL AP,所以IMPAPCp=3 , 0 , -2 .设平面y2, Z2).F列说法正确的是（）B. 若 mH a , n? a,贝U mi丄 nC. 若 ml a , mLn,贝U nil aD. 若 ma, mi n,贝U nLa4. B 解析B 解析由题可知，若 m/a, n/a,贝y m与 n平行、相交或异面， 所以A错误；若 ml a， n? a，贝U ml n，故B正确；若 ml a， ml n，贝U n/a或n? a , 故C错误.若 m/ a , mln,则n/ a或nla或n与a相交，故D错误.17.、2014 福建卷在平面四边形 ABC

31、D中, AB= BD= CD= 1,A吐 BDCDL BD 将厶 ABD 沿BD折起，使得平面 ABDL平面BCD如图1-5所示.求证：ABL CD(2)若M为AD中点，求直线 AD与平面MBC所成角的正弦值.图1-517.解： 证明：平面 ABDL平面BCD平面 ABDT平面 BCD= BD AB?平面ABD ABL BD AB!平面 BCD又CD平面BCD： AB丄CD(2)过点B在平面BCD内作BEL BD由(1)知 ABL平面 BCD BE?平面 BCD BD?平面 BCD 二 AB1 BE ABL BD以B为坐标原点，分别以EBE BD BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直

32、角坐标系(如图所示).1 1 依题意，得 B(0, 0 , 0) , C(1 , 1, 0) , D(0, 1, 0) , A(0 , 0 , 1) , MO ,，2 -则 §C= (1 , 1, 0), BM= 0 , 1, 1 , AD= (0 , 1, 1).设平面MBC的法向量n= (xo, yo, zo),n BC= 0, 则 bn BM= 0,X0 + y°= 0,即11?y°+ 尹=0,取Z0= 1,得平面 MBC的一个法向量 n= (1 , 1, 1). 设直线AD与平面MBC所成角为0 ,则 sin 0 = | cosn, AD | = &quo

33、t; AD = f丨 n | |AD即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为冷611. 2014 新课标全国卷n 直三棱柱 ABCA1B1C中，/ BCA= 90°, M N分别是AB,AC的中点，BC= CA= CC,贝U BM与 AN所成角的余弦值为()12302A. B. C. 1 D. 10510211. C 解析如图，E为BC的中点.由于 M N分别是AB, AC的中点，故 MN/ B1CMNE为平行四边形，所以 EN綊BM所以直线AN1 且MN= BG，故MN綊BE所以四边形NE所成的角即为直线 BM AN所成的角.设 BC= 1，贝U BM= BiA-22,所以 MB=-

34、2 = NE AN= AE=F，1-4所示.设M N655分别为线段 AD AB的中点，P为线段BC上的点，且 MNLNP(1) 证明：P是线段BC的中点；(2) 求二面角 A- NP- M的余弦值.18.解：(1)如图所示，取BD的中点 由侧视图及俯视图知， ABD BCD为正三角形,O,连接AO CO所以 AOL BD OCL BD因为AO OC?平面AOC且AOH OC o,所以BDL平面AOC又因为AC?平面AOC所以BDL AC取BO的中点H,连接NH PH又M N, H分别为线段 AD AB BO的中点，所以 MM BD NH/ AQ 因为AOL BD 所以NHL BD 因为MNL

35、 NP,所以NPL BD因为NH NF?平面NHP且NHH NP= N,所以BDL平面NHP 又因为HF?平面NHF所以BDL HF又 OCL BD HF?平面 BCD OC?平面 BCD 所以 HP/ OC因为H为BO的中点，所以P为BC的中点. 方法一：如图所示,作 NQL AC于 Q,连接MQ由知，NP/ AC所以NQL NP因为MNL NP,所以/ MNQ二面角 A - NP - M的一个平面角.由知， ABD BCD为边长为2的正三角形，所以 AO OC=3.由俯视图可知， AOL平面BCD因为OC平面BCD所以AOL OC因此在等腰直角厶 AOC中 , AC= Q6. 作BFL A

36、C于R因为在 ABC中 , AB= BC所以R为AC的中点，因为在平面 ABC内 , NQLAC BFLAC, 所以NQ/ BR又因为N为AB的中点，所以 Q为AR的中点,所以NQ=霁冷°同理，可得.故AMN貼等腰三角形, 所以在等腰 MNd ,MN BDV10故二面角A - NP- M的余弦值是 二.5方法二：由俯视图及（1）可知，AOL平面BCD 因为OC OB?平面BCD所以AOL OC AOL OB 又OCL OB所以直线OA OB OC两两垂直.如图所示，以0为坐标原点，以 OB OC 0A的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系 0 -xyz.则 A（0，0,

37、3），B（1，0，0），qo,3，0），D（ 1, 0, 0）.因为M N分别为线段 AD AB的中点，又由（1）知，P为线段BC的中点,所以 M 2, 0, -1 , N*, 0, ¥ , p2, -2, 0 ,于是 AB= (1 , 0 , 3) , BC=( 1 , 3 , 0) , MN= (1 , 0 , 0), NP= 0 , # , -2-.设平面ABC的一个法向量 m= (X1 , y1 , Z1),n1得n1AB=0 ,即BC= 0 ,O , y1 , Z1)(1 , 0, 3 )= 0 ,(X1 , y1 , Z1)( 1 ,3 , 0 )= 0 ,从而X13Z1

38、 = 0 ,X1 +3y1= 0.取乙=1,则 X1=,；3 , y1 = 1,所以 m=(, 1, 1). 设平面 MNP勺一个法向量 n2= (X2 , y2 , Z2),由，n2丄 MNn2 MN= 0 ,n2丄 NP 得 n2 NP= 0 ,(% , y2 ,Z2)(1 , 0 , 0)= 0 ,即X2= 0 ,从而 3y22 y3yz2= 0.取Z2= 1 ,则y2= 1, X2= 0 ,所以n2= (0 ,1 , 1).设二面角A - NP -M的大小为 B , 则 cos e3 , 1 , 1 )(0 , 1, 1).5 X2=5 .(X2 , y2 , Z2)n1 n2I n1

39、| | n2|故二面角A-NPM的余弦值是 J0.5G4空间中的平行关系20.、2014 安徽卷如图1-5，四棱柱 ABCD- ABGD中，AA丄底面ABCD四边形 ABCD梯形，AD/ BC且AD= 2BC过Ai, C, D三点的平面记为 a , BB与a的交点为Q(1)证明：Q为BB的中点;(2)求此四棱柱被平面a所分成上下两部分的体积之比;(3)若AA= 4, CD= 2，梯形ABC的面积为6,求平面a与底面ABCD所成二面角的大 小.20.解：(1)证明：因为 BQ/ AA, BC/ AD,B8 BQ= B, AB AA= A,所以平面 QB(/平面 AiAD从而平面AiCD与这两个平

40、面的交线相互平行, 即 QC/ AiD.故厶QBCfA AiAD的对应边相互平行，于是 QBQA AAD-BQ BQ BC 1一所以AA=ADT2，即Q为BB的中点.如图i所示，连接QA QD设AA= h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面a所分成上下两部分的体积分别为V 上和 V下，BC= a，则 AD= 2a.图1V三棱锥 Q-AAD= 1x112a h d= 3ahd,3V四棱锥Q -ABCD=a+ 2a21 1-d ?h = ”ahd,71ahd.所以V下=V三棱锥 Q - A AM V四棱锥q -abcs=3又 V四棱柱 ABCD -ABCDqahd,37ii上 ii所以 7上=V四

41、棱柱 ABQD -ABCD3= ；ahd石ahd=需ahd,故上=21212Vf 7方法一：如图1所示，在 ADC中，作 AE± DC垂足为E,连接AiE. 又 DELAA,且 AAn AE= A,所以DEL平面 AEA,所以DELAiE.所以/ AEA为平面a与底面ABCD成二面角的平面角.因为 BC/ AD AD= 2BC 所以 & ad 2Sbca 又因为梯形 ABC啲面积为6, DC= 2, 所以 &ad= 4, AE= 4.AA /n于是 tan / AEA= e= 1，/ AEA=三.E4n故平面a与底面ABCD所成二面角的大小为.4方法二：如图2所示，以

42、D为原点，D DD分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系.设/ CD= 9 ,因为S 四边形ABCD=BC= a,贝V AD= 2a. a+ 2a2- 2sin所以a= S7.从而可得C(2cos9 , 2sin所以 DC= (2cos图249，°)，1 Sin9，0，4，9 , 2sin 9 , 0), D=4sin 9，°，4 .设平面ADC的法向量n= (x, y, 1),t4占 DA n= S- x + 4= 0， 由BC- n= 2xcos9 + 2ysin9 = 0,x= sin 9 , y= cos 9 ,所以 n= ( sin e , cos e , 1)

43、. 又因为平面 ABC啲法向量m (0 , 0, 1),n m 2所以 cos n, m= _ ,|n|m|2n 故平面a与底面ABCD所成二面角的大小为417. 、2014 北京卷如图1-3，正方形AMD啲边长为2, B, C分别为AM MD的中点.在五棱锥P - ABCDEK F为棱PE的中点，平面 ABF与棱PD PC分别交于点G, H(1) 求证：AB/ FG(2) 若PAL底面ABCDE且PA= AE求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段 PH的长.M图1-317.解： 证明：在正方形 AMD中，因为B是AM的中点，所以 AB/ DE又因为AB?平面PDE所以AB/平面PDE因

44、为AB?平面ABF且平面 ABFH平面PDE= FG所以AB/ FG(2)因为PAL底面ABCDE所以 PAL AB PAL AE建立空间直角坐标系Axyz,如图所示,贝UA(0, 0 , 0) ,B(1, 0 , 0) ,C(2, 1 , 0) ,P(0,0 , 2) , F(0, 1, 1), BC= (1 , 1 , 0).设平面ABF的法向量为n= (x , y , z),则n AF= 0 ,x= 0 , y+ z = 0.令 z = 1,贝U y = 1.所以 n = (0 , 1 , 1). 设直线BC与平面ABF所成角为a ,则怎n BC1sin a = |cos n, BO |

45、 =勺I n| BCn 因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.6设点H的坐标为(u, v, w).因为点H在棱PC上，所以可设PH=入PCo入1).即(u, v, w- 2)=入(2 , 1 , - 2)，所以 u = 2 入，v=入，w= 2- 2 入.因为n是平面ABF的一个法向量，所以 n AH= 0,即(0，- 1, 1) (2 入，入，2 -2 入)=0,2 一 422解得入=3，所以点h的坐标为3, 3, 3 ./ 4 22 2 P所以卄,+ 3+ -3=2.19.、2014 湖北卷如图1-4，在棱长为2的正方体 ABCDABCD中，E, F, M N 分别是棱 ABADAB,A

46、D的中点，点P, Q分别在棱 DD, BB上移动，且DP= BQ= X (0入2).(1) 当X = 1时，证明：直线 BG/平面EFPQ(2) 是否存在X ,使面EFPQ面PQM所成的二面角为直二面角？若存在，求出X的值；若不存在，说明理由.图1-419 .解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图，连接 AD,由ABCDABCD是正方体，知 BG/ AD.当X = 1时，P是DD的中点，又 F是AD的中点，所以 FP/ AD,所以BC/ FP而FP?平面EFPQ且BC?平面EFPQ故直线 BC/平面EFPQ图图1 如图，连接 BD因为E, F分别是AB AD的中点，所以 EF/ BD且EF=

47、尹D 又 DF= BQ DP/ BQ1所以四边形PQB是平行四边形，故 PQ/ BD且PQ= BD从而EF/ PQ且EF= ?PQ在 Rt EBQ和 Rt FDP中，因为 BQ DP=入，BE= DF= 1,于是EQ= FP=1+入2,所以四边形EFPC也是等腰梯形.同理可证四边形PCMN也是等腰梯形.分别取EF, PQ MN的中点为H , O G连接OH OG则 GO_ PC HOL PQ 而 GO HO= O,故/ GOH是面EFPC与面PQM所成的二面角的平面角.若存在入，使面EFPC与面PQM所成的二面角为直二面角，则/ GO= 90° . 连接EM FN,则由EF/ MN且

48、EF= MN知四边形EFNNH平行四边形.连接GH因为H, G是EF, MN的中点，所以 GHh ME= 2.2 1在厶 GOH中 , GH= 4 , OH= 1+ 入 2-专 =X 2+ 2 ,OG= 1 + (2-入)2-舟=(2-入)2+1 ,由 OG+ OH= GH,得(2 -入)2+1+ 入 2 + *= 4，解得 X= 1± +,故存在X = 1±¥ ,使面EFPCf面PQM所成的二面角为直二面角. 方法二(向量方法)：以D为原点，射线 DA DC DD分别为x , y , z轴的正半轴建立如图所示的空间直角 坐标系由已知得B(2 ,2 ,0), C(

49、0,2 ,2) ,E(2, 1 , 0),F(1, 0 , 0),RO,0, X ).BC= ( 2 , 0 , 2), FP= ( 1, 0, X ) , FE= (1,1, 0).(1)证明：当 X = 1 时，FP= ( 1 , 0 , 1),因为 BC= ( 2 , 0 , 2),所以BC= 2环，即BG/ FP.而FF?平面EFPQ且BG?平面EFPQ故直线 BG/平面EFPQ(2)设平面EFPQ勺一个法向量为n = (x , y , z),则由FE- n= 0 ,fP- n= 0可得x + y = 0 ,x+ Xz = 0.于是可取n = ( X , X , 1).同理可得平面 M

50、NP的个法向量为 m= ( X 2 , 2 X , 1). 若存在X ,使面EFPQ与面PQM所成的二面角为直二面角，则 n = ( X 2 , 2 X , 1) ( X , X , 1) = 0 ,即 X ( X 2) X (2 X) + 1 = 0,解得 X = 1±.故存在X= 1土于,使面EFP(与面PQM所成的二面角为直二面角.18.、2014 新课标全国卷n 如图1-3,四棱锥 P-ABGD ,底面 ABCD矩形，PA1BD交AC于点Q连接E0 0为BD的中点.EQ/ PBn1 AC= 0 , 则n1z轴的正方向,长，建立空间直角坐标系0,设 B(m 0, 0)( m&g

51、t;o)，则 C(m3, o), AC= (m .3, 0).设 ni= (x, y,z)为平面ACE的法向量,m>+ 3y = 0 , 即31芬y+子=0 ,如图，以A为坐标原点，XB AD, AP的方向为x轴、y轴、-Xe=0,可取 n1= m, t ,3 -0 , 0)为平面DAE的法向量,1|cos n1 , n2> | = 2,即又 n2= (1 ,由题设易知| Ar为单位2 ,平面ABCD E为PD的中点.(1) 证明：PB/平面AEC(2) 设二面角18. 解：(1)证明：连接 因为ABCC为矩形，所以 又E为PD的中点，所以因为E0?平面AEC PB?平面AEC 所

52、以PB/平面AEC因为PAL平面ABCDABCD矩形， 所以AB AD AP两两垂直.3+4m=2,解得仆i因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD勺高为2-三棱锥E-ACD的体积V= 3 x *x x 2=¥所示，在四棱柱 ABCDABCD中，底面 ABCD!等腰梯17. , 2014 山东卷如图1-3形，/ DAB= 60°, AB= 2CD= 2, M是线段 AB的中点.图1-3求证：CM/平面AADD；（2）若CD垂直于平面 ABCD且CD=3,求平面CDM和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.17.解：（1）证明：因为四边形 ABC毘等腰梯形，且 AB= 2CD

53、 所以 AB/ DC又M是AB的中点，所以 CD/ MA且 CD- MA连接AD.因为在四棱柱 ABCD A1B1GD中，CD/ CD , CD- CD,所以 CD / MA CD-MA所以四边形 AMCD为平行四边形，因此，CM/ DA又C M?平面A ADD, DA?平面AADD所以CM/平面AADD方法一：连接AC MC由（1）知,CD/ AM且 CD- AM所以四边形AMC为平行四边形，所以 BC= AC- MC由题意/ ABC=Z DAB= 60° ,所以 MB（为正三角形，因此 AB= 2BC= 2 , CA= 3 ,因此CAL CB设C为坐标原点，建立如图所示的空间直角