随机过程-平稳随机过程11

1、第六章第六章 平稳随机过程平稳随机过程第六章第六章 平稳随机过程平稳随机过程6.1 6.1 平稳过程的概念与例子平稳过程的概念与例子 相关理论与平稳过程相关理论与平稳过程平稳过程平稳过程 一方面受随机因素的影响产生随机波动一方面受随机因素的影响产生随机波动, ,同同时又有一定的惯性时又有一定的惯性, ,使在不同时刻的波动特性基使在不同时刻的波动特性基本保持不变本保持不变. . 其统计特性是其统计特性是: : 当过程随时间的变化而产生随机波动时当过程随时间的变化而产生随机波动时, ,其前其前后状态是相互联系的后状态是相互联系的, ,且这种联系不随时间的推且这种联系不随时间的推延而改变延而改变.

2、. 3第六章第六章 平稳随机过程平稳随机过程如如 纺织过程中棉纱横截面积的变化纺织过程中棉纱横截面积的变化, , 导弹在飞行中受到气流影响产生的随机波动导弹在飞行中受到气流影响产生的随机波动, , 军舰在海浪中的颠簸及通信中的干扰噪声等军舰在海浪中的颠簸及通信中的干扰噪声等 它们都可以用平稳过程描述它们都可以用平稳过程描述. . 平稳过程的概念与例平稳过程的概念与例严平稳过程严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数所决的统计特征是由有限维分布函数所决定的定的, ,在应用中比较难以确定在应用中比较难以确定; ;宽平稳过程的判别只涉及一、二阶矩的确定宽平稳过程的判别只涉及一、二阶矩的确定, ,在实在

3、实际中比较容易获得际中比较容易获得. .因此因此, ,我们主要研究我们主要研究宽平稳过程宽平稳过程. .这种仅研究与过程一、二阶矩有关性这种仅研究与过程一、二阶矩有关性质的理论质的理论, ,称称相关理论相关理论. .对于正态过程对于正态过程, ,宽平稳性与严平稳性是等价的宽平稳性与严平稳性是等价的, , 所所以用相关理论研究它以用相关理论研究它, ,显得特别方便显得特别方便. . 在后文的讨论中在后文的讨论中, ,所涉及的主要是宽平稳过程所涉及的主要是宽平稳过程, ,我们简称之为我们简称之为平稳过程平稳过程. .56.1 平稳平稳随机过程的概念随机过程的概念 定义定义6.1 设设 X(t)，t

4、 T 是是随机过程，随机过程，对任意常数对任意常数 和正整数和正整数n， t1,t2, tn T, , t1+ + , t2+ + ,tn+ + T， 若若(X(t1), X(t2), , X(tn)与与 (X(t1+ + ), X(t2+ + ), X(tn+ + ) 有相同的联合分布，则称有相同的联合分布，则称 X(t)，t T 为为严平稳过程严平稳过程，也称，也称狭义平稳过程狭义平稳过程。66.1 平稳平稳随机过程的概念随机过程的概念 定义定义6. 2 设设 X(t)，t T 是是随机过程，随机过程，并满足：并满足：(1)(1)X(t)，t T 是二阶矩过程；是二阶矩过程；(2)(2)对

5、任意对任意t T ，mX(t)= =EX(t)= =常数；常数；(3)(3)对任意对任意s, t T ， RX(s, t)= =EX(s)X(t)= =RX(t- -s)， 则称则称 X(t)，t T 为为宽平稳过程宽平稳过程，也称，也称广义平稳过程广义平稳过程，简称，简称平稳过程平稳过程。 若若T为离散集，为离散集，称称平稳过程平稳过程 Xn，n T 为为平稳序列平稳序列。76.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念 宽平稳过程宽平稳过程 严平稳过程严平稳过程 严平稳过程严平稳过程 宽平稳过程宽平稳过程 严平稳过程严平稳过程 宽平稳过程宽平稳过程正态过程正态过程二阶矩存在二阶矩存在

6、6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念设设X(t)=Ycos( t)+Zsin( t), t0，且且Y, Z相互独立，相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ= 2，试讨论随机过程试讨论随机过程X(t), t0的平稳性的平稳性。 0)sin()cos( )sin()cos()()(EZtEYttZtYEtEXtmX )()(),(tXsXEtsRX)sin()cos()(sin()cos(tZtYsZsYE 6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念 )cos()sin()sin()cos()cos()sin()sin( )(sin)cos()cos()()sin()sin

7、( )()(sin)()cos()cos()sin()sin()(sin)cos( )cos()(sin)cos()cos(2222222sttstsDZtsEYEZtsDYtsZEtsYZEtsYEtsZtsYZtsYZtsYtsE所以所以 X(t)，t T 为宽平稳过程。为宽平稳过程。6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念 设设Xn,n=0, 1, 2,是实的互不相关是实的互不相关随机变量序列，且随机变量序列，且EXn=0，DXn = 2 ，试讨，试讨论随机序列的平稳性论随机序列的平稳性。(白噪声白噪声) 解解 因为因为EXn=0， 所以所以Xn,n=0, 1, 2,是平稳随

8、机序列。是平稳随机序列。2000XnnR (n,n)E X X,11平稳过程的概念与例子平稳过程的概念与例子 在物理和工程技术中在物理和工程技术中, ,称上述随机序列为称上述随机序列为白噪声白噪声. .它普遍存在于各类波动现象中它普遍存在于各类波动现象中, ,如电子发射波的波动如电子发射波的波动, , 通信设备中电流或电压的波动等通信设备中电流或电压的波动等. .这是一种较简单的随机干扰的数学模型这是一种较简单的随机干扰的数学模型. .平稳过程的概念与例子平稳过程的概念与例子例例6.26.2 设设(Z(Zn n,n=0,n=0,1,1,2,)2,)为复随机序列为复随机序列, ,且且EZEZn

9、n=0,=0, EZ EZn nZ Zm m=2 2nmnm, , n n2 2, , n n(n=0,(n=0,1,1,2,)2,)为为 实数序列实数序列. .对于每一个对于每一个t,t,可证明级数可证明级数 Z Zn n 在均方意在均方意义义( (见见6.36.3节节) )下收敛下收敛. . 令令nntine平稳过程的概念与例子平稳过程的概念与例子 X(t)= ZX(t)= Zn n . . 利用随机变量级数均方收敛性质利用随机变量级数均方收敛性质, ,可以推得可以推得 EX(t)=E ZEX(t)=E Zn n =0,=0, EX(t)X(t-)=E Z EX(t)X(t-)=E Zn

10、n Z Zm m = = = E|Z = E|Zn n| . | . 物理上物理上,cos(t),sin(t),cos(t),sin(t)或或 都是描述简谐振动都是描述简谐振动的的,U,Un ncos(cos(n nt),Vt),Vn nsin(sin(n nt)t)或或 都可以看作是具有都可以看作是具有 随机振幅的简谐振动随机振幅的简谐振动. . 上述例题说明上述例题说明, ,若不同频率的随若不同频率的随nmnnntinetinetine)(timenine2nientietine平稳过程的概念与例子平稳过程的概念与例子 机振幅互不相关机振幅互不相关, ,则这种简谐振动的有限项甚至无限项则这

11、种简谐振动的有限项甚至无限项 的叠加的叠加( (只要它是均方收敛的只要它是均方收敛的) )都是平稳过程都是平稳过程, ,而且它们而且它们 的相关函数亦有类似的分解的相关函数亦有类似的分解, ,即可以表示为与随机振动即可以表示为与随机振动 具有相同频率成分的简谐振动之和具有相同频率成分的简谐振动之和, ,其振幅为相应的随其振幅为相应的随 机振幅的方差机振幅的方差. .例例6.36.3 设随机过程设随机过程N(t),t0N(t),t0是具有参数是具有参数的泊松过程的泊松过程, , 随机过程随机过程X(t),t0X(t),t0定义为定义为: :若随机点在若随机点在0,t0,t内出现内出现 偶数次偶数

12、次(0(0也看作偶数也看作偶数) ), ,则则X(t)=1;X(t)=1;若出现奇数次若出现奇数次, ,则则X(t)X(t) =-1, =-1,如图所示如图所示. . (1)(1)讨论随机过程讨论随机过程X(t)X(t)的平稳性的平稳性; ; (2)(2)设随机变量设随机变量V V具有概率分布具有概率分布: : P(V=-1=PV=1)=1/2. P(V=-1=PV=1)=1/2.x(t)x(t)t to o1 1-1-1平稳过程的概念与例子平稳过程的概念与例子 且且V V与与X(t)X(t)独立独立, ,令令Y(t)=VX(t),Y(t)=VX(t),试讨论随机过程试讨论随机过程Y(t)Y(

13、t)的的 平稳性平稳性. .解解: : ( (1) 1) 由于随机点由于随机点N(t)N(t)是具有参数是具有参数的泊松过程的泊松过程, ,故在故在 0,t0,t内随机点出现内随机点出现k k次的概率次的概率 P Pk k(t)=e(t)=e-t-t ,k=0,1,2, ,k=0,1,2, 故故 PX(t)=1=PPX(t)=1=P0 0(t)+P(t)+P2 2(t)+P(t)+P4 4(t)+(t)+ =e =e-t-t1+ + +1+ + + =e =e-t-tch(t),ch(t), PX(t)=-1=P PX(t)=-1=P1 1(t)+P(t)+P3 3(t)+P(t)+P5 5(

14、t)+(t)+ =e =e-t-tt+ + +t+ + +!)(ktk! 2)(2t! 4)(4t! 3)(3t! 5)(5t平稳过程的概念与例子平稳过程的概念与例子 =e=e-t-tsh(t),sh(t), 于是于是 m mX X(t)=EX(t)=1e(t)=EX(t)=1e-t-tch(t)-1ech(t)-1e-t-tsh(t)sh(t) =e =e-t-tch(t)-sh(t)ch(t)-sh(t) =e =e-t-tee-t-t =e=e-2t-2t. . 为了求为了求X(t)X(t)的相关函数的相关函数, ,先求先求X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2) )的联合分布的联

15、合分布: : PX(t PX(t1 1)=x)=x1 1,X(t,X(t2 2)=x)=x2 2 = PX(t = PX(t2 2)=x)=x2 2|X(t|X(t1 1)=x)=x1 1PX(tPX(t1 1)=x)=x1 1, 其中其中x xi i=-1=-1或或1(i=1,2).1(i=1,2). 由上式知由上式知, ,需求需求PX(tPX(t1 1)=x)=x1 1 和和PX(tPX(t2 2)=x)=x2 2|X(t|X(t1 1)=x)=x1 1. 设设t t2 2t t1 1, ,令令=t=t2 2-t-t1 1, ,因为事件因为事件PX(tPX(t1 1)=1,X(t)=1,X

16、(t2 2)=1)=1等等 价于事件价于事件X(tX(t1 1)=1,)=1,且在且在(t(t1 1,t,t2 2 内随机点出现偶数次内随机点出现偶数次.平稳过程的概念与例子平稳过程的概念与例子 由假设知由假设知, ,在在X(tX(t1 1)=1)=1的条件下的条件下, ,在区间在区间(t(t1 1,t,t2 2 内随机点内随机点 出现偶数次出现偶数次, ,与在区间与在区间(0,(0,内随机点出现偶数次的概内随机点出现偶数次的概 率相等率相等, ,故故 PX(tPX(t2 2)=1|X(t)=1|X(t1 1)=1=e)=1=e-t-tch(t).ch(t). 由于由于 PX(tPX(t1 1

17、)=1= ch(t)=1= ch(t1 1),), 所以所以 PX(tPX(t1 1)=1,X(t)=1,X(t2 2)=1= ch(t)=1= ch(t1 1) ch().) ch(). 类似可得类似可得 PX(tPX(t1 1)=-1,X(t)=-1,X(t2 2)=-1= sh(t)=-1= sh(t1 1) ch(),) ch(), PX(t PX(t1 1)=-1,X(t)=-1,X(t2 2)=1= sh(t)=1= sh(t1 1) sh(),) sh(), PX(t PX(t1 1)=1,X(t)=1,X(t2 2)=-1= ch(t)=-1= ch(t1 1) sh().)

18、sh(). 因此因此 R RX X(t(t1 1,t,t2 2)=EX(t)=EX(t1 1)X(t)X(t2 2)1te1teee1te1te1teee平稳过程的概念与例子平稳过程的概念与例子 =11 ch(t=11 ch(t1 1) ch() ch() +(-1)(-1) sh(t +(-1)(-1) sh(t1 1) ch() ch() +(-1)1 sh(t +(-1)1 sh(t1 1) sh() sh() +1(-1) ch(t +1(-1) ch(t1 1) sh() sh() = ch(-t = ch(-t1 1)-sh(-t)-sh(-t1 1) = = = = = . =

19、. 当当t t2 2t t1 1时时, ,同理可得同理可得 R RX X(t(t1 1,t,t2 2)= = .)= = . 故对任意故对任意t t1 1,t,t2 2有有 R RX X(t(t1 1,t,t2 2)= = .)= = .eeee1te1te1te1te)(1te)(1te)(1te2e)(212tte)(212tte2e|2e|212tte平稳过程的概念与例子平稳过程的概念与例子 由于由于m mX X(t)=e(t)=e-2t-2t与时间与时间t t有关有关, ,故故X(t)X(t)不是平稳过程不是平稳过程. . 值得注意值得注意的是的是, ,就相关函数而言就相关函数而言,

20、,非平稳过程的相关函数非平稳过程的相关函数 也可以与时间的起点无关也可以与时间的起点无关. . (2)(2)由于由于EV=0,EVEV=0,EV2 2=1,=1,故由故由V V与与X(t)X(t)独立知独立知 EY(t)=EVEX(t)=0,EY(t)=EVEX(t)=0, R RY Y(t,t-)=EV(t,t-)=EV2 2EX(t)X(t-)EX(t)X(t-) = =R = =RY Y().(). 所以所以Y(t)Y(t)是平稳过程是平稳过程, ,其相关系数其相关系数R RY Y()()如图所示如图所示. .例例6.46.4 设有状态连续、时间离散的随机过程设有状态连续、时间离散的随机

21、过程X(t)=sin(X(t)=sin( 2t), 2t),其中其中是是(0,1)(0,1)上均匀分布的随机变量上均匀分布的随机变量,t,t只取只取 整数值整数值1,2,.1,2,.试讨论随机过程试讨论随机过程X(t)X(t)的平稳性的平稳性. .|2eR RY Y()()o o平稳过程的概念与例子平稳过程的概念与例子解解: : 因为因为 EX(t)=Esin(2t)EX(t)=Esin(2t) = sin(2t)f()d = sin(2t)f()d = sin(2t)d=0, = sin(2t)d=0, R RX X(t,t-)=EX(T)X(t-)(t,t-)=EX(T)X(t-) = s

22、in(2t)sin2(t-)d = sin(2t)sin2(t-)d = cos(2)-cos2(2t-)d = cos(2)-cos2(2t-)d ,=0, ,=0, 0 ,0. 0 ,0. 可见可见,X(t),X(t)是平稳过程是平稳过程. .例例6.56.5 设设X(t)=Xf(t)X(t)=Xf(t)是复随机过程是复随机过程, ,其中其中X X是均值为是均值为0 0的实的实1010102121= =平稳过程的概念与例子平稳过程的概念与例子 随机变量随机变量,f(t),f(t)是是t t的函数的函数. .试证试证X(t)X(t)是平稳过程的充要是平稳过程的充要 条件是条件是f(t)=ce

23、f(t)=cei(t+)i(t+), ,其中其中c,c,是常数是常数. .证明证明: :充分性充分性. . 令令f(t)=cef(t)=cei(t+)i(t+), ,记记DX=DX=2 2, ,因为因为EX=0, EX=0, 所以所以 m mX X(t)=EX(t)=EXf(t)=0.(t)=EX(t)=EXf(t)=0. 由于由于R RX X(t,t-)=EX(T)X(t-)(t,t-)=EX(T)X(t-) =EX =EX2 2cc2 2e ei(t+)i(t+)e e-i(t-)+-i(t-)+ =c =c2 22 2e eii, , 所以所以X(t)X(t)是平稳过程是平稳过程. .

24、必要性必要性. . 设设X(t)X(t)是平稳过程是平稳过程, ,则则 R RX X(t,t-)=EX(T)X(t-)=EX(t,t-)=EX(T)X(t-)=EX2 2f(t)f(t-),f(t)f(t-),平稳过程的概念与例子平稳过程的概念与例子 前式必与前式必与t t无关无关, ,可取可取=0=0并有并有: : |f(t)| |f(t)|2 2=c=c2 2 ( (常数常数),), 从而从而 f(t)=cef(t)=cei(t)i(t), ,其中其中(t)(t)为实函数为实函数. . 于是于是 f(t)f(t-)=cf(t)f(t-)=c2 2e ei(t)-(t-)i(t)-(t-).

25、 . 上式应与上式应与t t无关无关, ,故而有故而有 (t)-(t-)=0,(t)-(t-)=0, 即即 对一切对一切成立成立, , 因而因而 (t)=t+,(t)=t+, 所以所以 f(t)=cef(t)=cei(t+)i(t+). .dtddttddttd)()(6.2 联合平稳联合平稳随机过程随机过程 定义定义6.4 设设 X(t)，t T 和和 Y(t)，t T 是两个平稳是两个平稳过程，若它们的互相关函数过程，若它们的互相关函数EX(t)Y(t- - )及及EY(t)X(t- - )仅与仅与 有关，有关，而与而与t无关，即无关，即 RXY(t, t- - )=EX(t)Y(t- -

26、 )=RXY( ) RYX(t, t- - )=EY(t)X(t- - )=RYX( ) 则称则称X(t)和和Y(t)是是联合平稳随机过程联合平稳随机过程。 6.2 6.2 联合平稳随机过程联合平稳随机过程 命题：当命题：当X(t)和和Y(t)是联合平稳随机过程是联合平稳随机过程 时，时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程是平稳随机过程。 事实上，事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数，常数，)()()()()()()()()( )()()()()()()()( )()()()()()()()()()( WYYXXYXRRRRRtYtYEtXtYEtYtXEtXtXEtYtY

27、tXtYtYtXtXtXEtYtXtYtXEtWtWE6.2 6.2 联合平稳随机过程联合平稳随机过程 设设X(t)=Asin( t+ )， Y(t)=Bsin( t+ - - )为两个平稳过程，为两个平稳过程，其中其中A,B, 是常数，是常数， 是是(0,2 )上的均匀分布随机变量，上的均匀分布随机变量， 证明：证明：X(t)和和Y(t)是联合平稳随机过程是联合平稳随机过程。证明：证明：6.2 6.2 联合平稳随机过程联合平稳随机过程)()cos(21)22cos( )cos(21220 XYRABdtAB 2021)sin()sin()sin()sin()()(),(dttABtBtAEt

28、YtXEttRXY6.2 6.2 联合平稳随机过程联合平稳随机过程)()cos(21)22cos( )cos(21220 YXRABdtAB 2021)sin()sin()sin()sin()()(),(dttABtAtBEtXtYEttRYX所以所以X(t)和和Y(t)是联合平稳随机过程是联合平稳随机过程。联合平稳过程及相关函数的性质联合平稳过程及相关函数的性质2.2.相关函数的性质相关函数的性质 平稳过程平稳过程X(t)X(t)的相关函数的相关函数R RX X()()具有如下性质具有如下性质. .定理定理6.16.1 设设X(t),tT)X(t),tT)为平稳过程为平稳过程, , 则其相关

29、函数具有则其相关函数具有 下列性质下列性质: : (1)(1) R RX X(O)O;(O)O; (2)(2) R RX X()=R()=RX X(-);(-); (3)(3) |R |RX X()|R()|RX X(O);(O); (4)(4) R RX X()()是非负定的是非负定的, ,即对任意实数即对任意实数t t1 1,t,t2 2,t,tn n及复及复 数数a a1 1,a,a2 2,a,an n有有 R RX X(t(ti i,t,tj j)a)ai ia aj j0;0; (5) (5) 若若X(t)X(t)是周期为是周期为T T的周期函数的周期函数, ,即即X(t)=X(t+

30、T), X(t)=X(t+T), 则则 R RX X()=R()=RX X(+T);(+T); nji1,联合平稳过程及相关函数的性质联合平稳过程及相关函数的性质 (6)(6) 若若X(t)X(t)是不含周期分量的非周期过程是不含周期分量的非周期过程, ,当当| | 时时,X(t),X(t)与与X(t+)X(t+)相互独立相互独立, ,则则 lim Rlim RX X()=m()=mX Xm mX X . .证明证明: : 由平稳过程相关函数的定义得由平稳过程相关函数的定义得 (1)(1)R RX X(O)=EX(t)X(t)=E|X(t)|(O)=EX(t)X(t)=E|X(t)|2 20;

31、0; (2)(2)R RX X()=EX(t)X(t-)=EX(t-)X(t)=R()=EX(t)X(t-)=EX(t-)X(t)=RX X(-);(-); 对于实平稳过程对于实平稳过程, ,则成立则成立R RX X()=R()=RX X(-).(-).即实平稳过即实平稳过程程 的相关函数是偶函数的相关函数是偶函数. . (3)(3)由许瓦兹不等式由许瓦兹不等式, ,有有 |EX(t)X(t-)|EX(t)X(t-)|2 2E|X(t)X(t-)|E|X(t)X(t-)|2 2 E|X(t)| E|X(t)|2 2E|X(t-)|E|X(t-)|2 2 |联合平稳过程及相关函数的性质联合平稳过

32、程及相关函数的性质 从而有从而有 |R|RX X()|()|2 2RRX X(0)(0)2 2 及及R RX X()R()RX X(0).(0). (4) (4) 在第二章在第二章2.32.3复随机过程中的复随机过程中的定理定理2.22.2已经证明已经证明. . (5)(5) R RX X(+T)=EX(t)X(t-+T)=EX(t)X(t-)(+T)=EX(t)X(t-+T)=EX(t)X(t-) =R =RX X();(); (6)(6) lim R lim RX X()=lim EX(t)X(t-)()=lim EX(t)X(t-) =lim EX(t)EX(t-) =lim EX(t)EX(t-) =m =mX Xm mX X. . 联合平稳过程联合平稳过程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)的的互相关函数互相关函数具有以下